【正文】 質(zhì)以及勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，利用分類討論得出△AGE是等腰三角形時(shí)只能∠AGE=∠AEG進(jìn)而求出是解題關(guān)鍵．　5．（2014?常州）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（，），以點(diǎn)M為圓心，OM長(zhǎng)為半徑作⊙M．使⊙M與直線OM的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B，與x軸，y軸的另一交點(diǎn)分別為點(diǎn)D，A（如圖），連接AM．點(diǎn)P是上的動(dòng)點(diǎn)．（1）寫出∠AMB的度數(shù)；（2）點(diǎn)Q在射線OP上，且OP?OQ=20，過(guò)點(diǎn)Q作QC垂直于直線OM，垂足為C，直線QC交x軸于點(diǎn)E．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；②連接QD，設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△QOD的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式及S的取值范圍．考點(diǎn)：圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）首先過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，由點(diǎn)M（，），可得∠MOH=45176。又由OM=AM，可得△AOM是等腰直角三角形，繼而可求得∠AMB的度數(shù)；（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD與OM的值，繼而可得OB的長(zhǎng)，又由動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP?OQ=20，可求得OQ的長(zhǎng)，繼而求得答案；②由OD=2，Q的縱坐標(biāo)為t，即可得S=，然后分別從當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，與當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)M作MH⊥OD于點(diǎn)H，∵點(diǎn)M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45176?！唷螦OM=45176?！唷螦MO=90176。；（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，OD=2OH=2，∴OB=4，∵動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OQE=90176?！郞E=5，∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）②∵OD=2，Q的縱坐標(biāo)為t，∴S=．如圖2，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QF⊥x軸，垂足為F點(diǎn)，∵OP=4，OP?OQ=20，∴OQ=5，∵∠OFC=90176?！鄑=QF=，此時(shí)S=；如圖3，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)重合時(shí)，Q點(diǎn)在y軸上，∴OP=2，∵OP?OQ=20，∴t=OQ=5，此時(shí)S=；∴S的取值范圍為5≤S≤10．點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．　6．（2014?漳州）閱讀材料：如圖1，在△AOB中，∠O=90176。時(shí)，PE+PF是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題；等邊三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；弦切角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；探究型．分析：（1）易證：OA=OB，∠AOB=90176。．∵AB=BC=2，∴AC=2．∴OA=．∵OA=OB，∠AOB=90176。．∵AB=4，AD=3，∴BD=5．∴OA=OB=OC=OD=．∵PE∥OB，PF∥AO，∴△AEP∽△AOB，△BFP∽△BOA．∴，．∴==1．∴+=1．∴EP+FP=．∴PE+PF的值為．（3）當(dāng)∠ADG=∠BCH=30176?！唷螦BD=30176。．∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形．∴AD=OA=4．同理可得：BC=4．∵PE∥BC，PF∥AD，∴△AEP∽△ACB，△BFP∽△BDA．∴，．∴==1．∴=1．∴PE+PF=4．∴當(dāng)∠ADG=∠BCH=30176。得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根據(jù)“點(diǎn)到直線之間，垂線段最短”可得：當(dāng)DP⊥AC時(shí)，DP最短，此時(shí)DE也最短，對(duì)應(yīng)的四邊形DEPF的面積最?。柚谌切蜗嗨疲纯汕蟪鯠P⊥AC時(shí)DP的值，就可求出四邊形DEPF面積的最小值．解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PH∥OA，交OC于點(diǎn)H，如圖1所示．∵PH∥OA，∴△CHP∽△COA．∴==．∵點(diǎn)P是AC中點(diǎn)，∴CP=CA．∴HP=OA，CH=CO．∵A（3，0）、C（0，4），∴OA=3，OC=4．∴HP=，CH=2．∴OH=2．∵PH∥OA，∠COA=90176。．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）．設(shè)直線DP的解析式為y=kx+b，∵D（0，﹣5），P（，2）在直線DP上，∴∴∴直線DP的解析式為y=x﹣5．（2）①若△DOM∽△ABC，圖2（1）所示，∵△DOM∽△ABC，∴=．∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0．﹣5），∴BC=3，AB=4，OD=5．∴=．∴OM=．∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）②若△DOM∽△CBA，如圖2（2）所示，∵△DOM∽△CBA，∴=．∵BC=3，AB=4，OD=5，∴=．∴OM=．∵點(diǎn)M在x軸的正半軸上，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）．綜上所述：若△DOM與△CBA相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）．（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90176。．∴S△PED=S△PFD．∴S四邊形DEPF=2S△PED=2PE?DE=PE?DE=DE．∵∠DEP=90176。．∴∠AOC=∠DPC．∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，∴△AOC∽△DPC．∴=．∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，∴=．∴DP=．∴DE2=DP2﹣=（）2﹣=．∴DE=，∴S四邊形DEPF=DE=．∴四邊形DEPF面積的最小值為．點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求直線的解析式、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、垂線段最短等知識(shí)，考查了分類討論的思想．將求DE的最小值轉(zhuǎn)化為求DP的最小值是解決第3小題的關(guān)鍵．另外，要注意“△DOM與△ABC相似”與“△DOM∽△ABC“之間的區(qū)別．　8．（2014?湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過(guò)點(diǎn)PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0）．（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；（2）在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)OE=a，OF=b，試用含a的代數(shù)式表示b；（3）作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′，經(jīng)過(guò)M、E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q，連接QE．在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以點(diǎn)Q、O、E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P、M、F為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）連接PM，PN，運(yùn)用△PMF≌△PNE證明；（2）分兩種情況：①當(dāng)t＞1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上；②當(dāng)0＜t≤1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸或原點(diǎn)上，再根據(jù)（1）求解，（3）分兩種情況，當(dāng)1＜t＜2時(shí)，當(dāng)t＞2時(shí)，三角形相似時(shí)還各有兩種情況，根據(jù)比例式求出時(shí)間t．解答：證明：（1）如圖，連接PM，PN，∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，∴∠PMF=∠PNE=90176?！逷E⊥PF，∠NPE=∠MPF=90176。BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD=6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使∠EQF=90176。就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90176。？若存在，請(qǐng)求出符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：圓的綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系；特殊角的三角函數(shù)值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題；存在型．分析：（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運(yùn)用三角形全等、矩形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)即可解決問(wèn)題．（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點(diǎn)Q唯一，然后通過(guò)添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)即可求出BQ長(zhǎng)．（3）要滿足∠AMB=60176。．∵PA=PD，AB=DC，∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．∴BP=CP．∵BC=4，∴BP=CP=2．②以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P′，如圖①，則DA=DP′．∴△P′AD是等腰三角形．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=DC，∠C=90176。．過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②．∵EG⊥BC，OQ⊥BC，∴EG∥OQ．∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90176?！螮GB=90176。時(shí)，BQ的長(zhǎng)為3+．（3）在線段CD上存在點(diǎn)M，使∠AMB=60176。．∴OP=AP?tan30176。OM=OA=90．．∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，∴HM===30．∵AE=400，OP=45，∴DH=400﹣45．若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DM=DH+HM=400﹣45+30．∵400﹣45+30＞340，∴DM＞CD．∴點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去．若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DM=DH﹣HM=400﹣45﹣30．∵400﹣45﹣30＜340，∴DM＜CD．∴點(diǎn)M在線段CD上．綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使∠AMB=60176。AC=2BC，過(guò)C作AB的垂線l交⊙O于另一點(diǎn)D，垂足為E．設(shè)P是上異于A，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交l于點(diǎn)F，連接PC與PD，PD交AB于點(diǎn)G．（1）求證：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的長(zhǎng)；（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)=x，tan∠AFD=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（不要求寫出x的取值范圍）考點(diǎn)：圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）證明相似，思路很常規(guī)，就是兩個(gè)角相等或邊長(zhǎng)成比例．因?yàn)轭}中因圓周角易知一對(duì)相等的角，那么另一對(duì)角相等就是我們需要努力的方向，因?yàn)樯婕皥A，傾向于找接近圓的角∠DPF，利用補(bǔ)角在圓內(nèi)作等量代換，等弧對(duì)等角等知識(shí)易得∠DPF=∠APC，則結(jié)論易證．（2）求PD的長(zhǎng)，且此線段在上問(wèn)已證相似的△PDF中，很明顯用相似得成比例，再將其他邊代入是應(yīng)有的思路．利用已知條件易得其他邊長(zhǎng)，則PD可求．（3）因?yàn)轭}目涉及∠AFD與也在第一問(wèn)所得相似的△PDF中，進(jìn)而考慮轉(zhuǎn)化，∠AFD=∠PCA，連接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，過(guò)G點(diǎn)作AB的垂線，若此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)那么結(jié)論易求，因?yàn)楦鶕?jù)三角函數(shù)或三角形與三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所對(duì)的這條高線．但是“此線是否過(guò)PB與AC的交點(diǎn)”？此時(shí)首先需要做的是多畫幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，觀察我們的猜想．驗(yàn)證得我們的猜想應(yīng)是正確的，可是證明不能靠畫圖，如何求證此線過(guò)PB與AC的交點(diǎn)是我們解題的關(guān)鍵．常規(guī)作法不易得此結(jié)論，我們可以換另外的輔助線作法，先做垂線，得交點(diǎn)H，然后連接交點(diǎn)與B，再證明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因?yàn)镃、D關(guān)于AB對(duì)稱，可以延長(zhǎng)CG考慮P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．根據(jù)等弧對(duì)等角，可得∠HBG=∠PCA，進(jìn)而得解題思路．解答：（1）證明：∵，∴∠DPF=180176。﹣所對(duì)的圓周角=180176?！鰽PO、△AEF都為等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∵AC=2BC，∴AB2=BC2+AC2=5BC2，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，∴CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2， AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4，∵△AEF為等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO為等腰直角三角形，AO=?AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．（3）解：如圖2，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB，交AC于H，連接HB，以HB為直徑作圓，連接CG并延長(zhǎng)交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C、G都在以HB為直徑的圓上，∴∠HBG=∠ACQ，∵C、D關(guān)于AB對(duì)稱，G在AB上，∴Q、P關(guān)于AB對(duì)稱，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，∴y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==，∴y==x．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角、相似三角形、三角函數(shù)等性質(zhì)，前兩問(wèn)思路還算簡(jiǎn)單，但最后一問(wèn)需要熟練的解題技巧需要長(zhǎng)久的磨練總結(jié)．總體來(lái)講本題偏難，學(xué)生練習(xí)時(shí)加強(qiáng)理解，重點(diǎn)理解分析過(guò)程，自己如何找到思路．　11．（2014?寧波）木匠黃師傅用長(zhǎng)AB=3，寬BC=2的矩形木板做一個(gè)盡可能大的圓形桌面，他設(shè)計(jì)了四種方案：方案一：直接鋸一個(gè)半徑最大的圓；方案二：圓心OO2分別在CD、AB上，半徑分別是O1C、O2A，鋸兩個(gè)外切的半圓拼成一個(gè)圓；方案三：沿對(duì)角線AC將矩形鋸成兩個(gè)三角形，適當(dāng)平移三角形并鋸一個(gè)最大的圓；方案四：鋸一塊小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板鋸一個(gè)盡可能大的圓．（1）寫出方案一中圓的半徑；（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案二和方案三中，哪個(gè)圓的半徑較大？（3）在方案四中，設(shè)CE=x（0＜x＜1），圓的半徑為y．①求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；②當(dāng)x取何值時(shí)圓的半徑最大，最大半徑為多少？并說(shuō)明四種方案中哪一個(gè)圓形桌面的半徑最大．考點(diǎn)：圓的綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：壓軸題．分析：（1）觀察圖易知，截圓的直徑需不超過(guò)長(zhǎng)方形長(zhǎng)、寬中最短的邊，由已知長(zhǎng)寬分別為3，2，那么直接取圓直徑最大為2，則半徑最大為1．（2）方案二、方案三中求