數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文等價(jià)無(wú)窮小量性質(zhì)的理解推廣及應(yīng)用-在線瀏覽
2025-07-25 19:39本頁(yè)面
【正文】 x??所以.201lim(cos)inxxe???442022()()88limlim33o1xx xox??????12?例 5 由拉格朗日中值定理,對(duì)任意的 ＞1,存在 ,使得?(1)?.證明 .ln(1)l()ln(10)xx??????0li()2x??解 因 2ln(1)(),ox??,x??所以,根據(jù)題設(shè)所給條件有 2()()1oxo????即,2()x??所以,.2022()lim()lixxo?????以上例子能使我們更加深刻的理解無(wú)窮小與無(wú)窮小或函數(shù)與無(wú)窮小的相關(guān)運(yùn)算,能更好的理解泰勒公式在求函數(shù)極限中的巧妙運(yùn)用. 等價(jià)無(wú)窮小量在判斷級(jí)數(shù)收斂中的應(yīng)用34在正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂判別法中,用得比較多的是比較審斂法的極限形式,它也是無(wú)窮小：設(shè) 和 都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),1nu???1nv?① 如果 =l(0≤l+∞) ,且級(jí)數(shù) 收斂,則級(jí)數(shù) ??1n?1nu??② 如果 =l0 或 l =+∞,且級(jí)數(shù) 發(fā)散,則級(jí)數(shù) ??1nv?1n?當(dāng)①=1 時(shí),∑ ,∑ 就是等價(jià)無(wú)窮小量 .由比較審斂法的極限形式知,∑ 與∑ 同斂nu unv散性,只要已知∑un,∑ 中某一個(gè)的斂散性 ,例 6 n1sec()??????????判 定 的 斂 散 性解 .2n21limlin?????211(,0,sec())nn???此 時(shí),所以, ??又 收 斂 n1sec()????????? 例 7 研究 的斂散性1l()n????解 ∵ = =1 limn??lin(1)??而∑ 發(fā)散, 1∴ ()????9從以上的例題可以看出,在級(jí)數(shù)斂散性的判別中,很多題目中,我們需要綜合運(yùn)用羅比達(dá)法則、等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì)、泰勒級(jí)數(shù)等相關(guān)知識(shí),才能達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.4等價(jià)無(wú)窮小量的優(yōu)勢(shì) 這一部分的內(nèi)容是我在聽(tīng)了鄭老師和郭老師的數(shù)學(xué)分析課以后,由于他們教學(xué)方法的鮮明對(duì)比而深受啟發(fā),在他們講解數(shù)學(xué)分析其他部分的比較與分析時(shí),我也希望自己能找到一個(gè)他們沒(méi)有整理過(guò)的知識(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)自己的努力完成對(duì)它的比較與分析,因此我選擇： 運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量求函數(shù)極限的優(yōu)勢(shì)例8 求 0ln(13)imsx??解 解法一（等價(jià)無(wú)窮小量替換）：,由無(wú)窮小替換定理有： =由 于 l(+)等 價(jià) 于 ,ix等 價(jià) 于 3則 0ln(13)imsx??.03xlim1??解法二（兩個(gè)重要極限）：由于,1300sinlimn(),l1xx x????所 以 有= .0ln(13)isx?1300l(1)ln()iims3sxxx?????解法三（洛必達(dá)法則）：= .0ln(13)imsx??00113lilicoscs3()xxx????由此例可以發(fā)現(xiàn),、兩個(gè)重要極限、多角度的思考,找出最適合、,我們很容易地發(fā)現(xiàn)恰當(dāng)利用無(wú)窮小替換能夠快速、準(zhǔn)確地求解一些函數(shù)極限.例 9 求 ln(12im3)xx????）解法一（等價(jià)無(wú)窮小量替換）：由于當(dāng)x→∞ 時(shí),有 ,20,3xx?,則由無(wú)窮小替換定理有xln(12),ln(1)3xx?等 價(jià) 于 等 價(jià) 于：= .ln(12im)xx????） li3x?????解法二（洛必達(dá)法則）：= .ln(12i3)xx????） ln2112ilim33x xxx???????????????我們知道通常碰到求解未定式極限的問(wèn)題時(shí),由此例看求解上述極限時(shí),很顯然利用等價(jià)無(wú)窮小量替換更簡(jiǎn)單、,值得注意的是對(duì)本例在使用洛必達(dá)法則計(jì)算時(shí),如果不把 寫到分母上,而是繼續(xù)使用洛必達(dá)法23x則,就會(huì)出現(xiàn)循環(huán)計(jì)算,.同時(shí)本例還說(shuō)明不僅是在極限存在時(shí)而且在極限為無(wú)窮大時(shí)同樣都可以使用等價(jià)無(wú)窮小量替換. 等價(jià)無(wú)窮小量在求函數(shù)極限過(guò)程中的優(yōu)勢(shì)如果直接使用洛比達(dá)法則,而201lim()snxx??20xsinlim??上 式 可 化 為,分母上的求導(dǎo)運(yùn)算不 用 “等 價(jià) 無(wú) 窮 小 替 換 ”， 那 么 在 四 次 使 用 洛 比 達(dá) 法 則 的 過(guò) 程 中 用等價(jià)無(wú)窮小量 來(lái)替換,便可將上sixx式化為較為簡(jiǎn)單的式子 ,雖然讓使用洛比達(dá)法則,但是其運(yùn)算過(guò)程就變的240xsinli??： 例 10 0tan(si)limx?? 解 原式= （用羅比塔法則）220ec(i)oslistaxx? =
教學(xué)教案相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1