數(shù)值分析ppt課件-在線瀏覽
2025-06-29 12:11本頁面
【正文】 ?? ? ? ? ?65 6 , 0 1 0 ,y x x ?? ? ? ??觀測誤差 ? 數(shù)學(xué)模型中包含某些變量，如時間、長度、電壓等，它們一般是通過觀測來獲得。 ?截?cái)嗾`差 ? 求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值計(jì)算方法，如果是一種近似的方法，只能得到模型的近似解，由此產(chǎn)生的誤差稱為 截?cái)嗾`差 或 方法誤差。這種誤差叫 舍入誤差 或 計(jì)算誤差 。在其上運(yùn)算，會有 1 ? 3 ? 333 3, ( 002)2 ? 004 ? 0, 后者的準(zhǔn)確結(jié)果是 4 ?10?12。 |e|的上界記為 ? , 稱為 絕對誤差限 (accuracy),工程上常記為 x = x* 177。 提問：絕對誤差限的大小能否完全地表示近似值的好壞？ ? 例如： 有兩個量 問： 誰的近似程度要好一些？ 51000,110 ???? yx思考 ?定義 近似值 x* 的 相對誤差 (relative error) .????r e x xe xx.||??r εε x?定義 近似值 x* 的 相對誤差上限 (界 ) (relative accuracy) .??r ee x?由于精確值 x 未知 , 實(shí)際上總把 作為 x*的 相對誤差，并且仍記為 er , 即 ex? 注 :相對誤差一般用百分比表示 . 例 1 用最小刻度為毫米的卡尺測量直桿甲和直桿乙，分別讀出長度為 a=312mm 和 b=24mm， 問： ?(a)， ?(b)， ? r(a)， ?r(b)各是多少？兩直桿的實(shí)際長度 x 和 y 在什么范圍內(nèi)？ 解： mmymmmmxmmbbbaaammbarr,%,24)()( %,312)()( ,)()(?????????????????? 例 2 設(shè) a= ， b= 是分別由準(zhǔn)確值 x和 y 經(jīng)過四舍五入而得到的近似值， 問： ?(a)， ?(b)， ? r(a)， ?r(b) 各是多少？ 解： %0 0 2 1 2 0 0 0 0 0 )()( %,0 0 )()( 050 0 )(,0 0 )(????????bbbaaabarr???????有效數(shù)字 ( significant digits) ?四舍五入帶來的絕對誤差限 凡是由準(zhǔn)確值 x 經(jīng)四舍五入而得到近似值 x*，其絕對誤差限等于該近似值 末位 的半個單位。 ?用科學(xué)計(jì)數(shù)法，記 （其中 ） , 01 ?a 100 21* ??? ?*| | 0 5 1 0 mnx x . ?? ? ?若 (即 an 的截取按四舍五入規(guī)則 )， 則 x* 至少有 n 位有效數(shù)字，且精確到 10m ? n. ?有效數(shù)字的確定方法 ?有效數(shù)字的位數(shù) n = 近似數(shù)科學(xué)記數(shù)法的冪指 數(shù) － 絕對誤差限科學(xué)記數(shù)法的冪指數(shù) . 當(dāng)差為負(fù)整數(shù)時 ，表示沒有效數(shù)字 ! 把誤差限表示為 10m?n, 當(dāng)指數(shù) m ? n 是最小的整數(shù)時 , 有效數(shù)字的位數(shù)精確地是 n. 例 3 下列近似值的絕對誤差限都是 ， 問：各個近似值有幾位有效數(shù)字？ , ?????? cba 注 : 同一個準(zhǔn)確值的不同近似值，有效數(shù)字越多，其絕對誤差和 相對誤差都越小 . 準(zhǔn)確值的有效數(shù)字可看做有無限多位 . 3位： 1， 3， 8 1位： 3 0位 3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 1 4 1 6. 。 *?注： 由準(zhǔn)確值經(jīng)過四舍五入得到的近似值，從它的末位數(shù)字到第一位非零數(shù)字都是有效數(shù)字。12300有 5位有效數(shù)字，如果寫成 ?105，則表示只有3位有效數(shù)字。a n d位精確到小數(shù)點(diǎn)后第位有效數(shù)字有 45103 1 4 1 5141?????????????????? 函數(shù)求值的誤差估計(jì) 問題一 ：對于函數(shù) y = f (x)，若用 x* 取代 x， 將對 y 產(chǎn)生什么影響？ 分析 ： e(y) = f (x) ? f (x*) e(x) = x ? x * = f 39。(? ) ? f 39。(x*)|(x*)|倍。(x*)|為 放大因子 ( amplification factor ) 或 絕
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