【正文】 022/6/4 9 11 mc ?2122 mmc ??312133 23 mmmmc ??? 41221312244 61243 mmmmmmmc ????? 對于零均值隨機變量 ,三階以下的矩與累量相等 ,而 42244 3 mmmc ???(MC公式 ): 階矩與高階累量的關系 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 10 平穩(wěn)隨機過程的累量 )]()()([),( 11121 ?? ??? kkkx nxnxnxEm ????? ??),( 121 ?kkxc ??? ?)](,),(),([ 11 ???? knxnxnxcu m ?? ?對于零均值實平穩(wěn)隨機過程 {x(n)},其 k階矩(k階相關函數(shù) )和 k階累量分別為 : 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 11 44( 0 , 0 , 0 )xxc γ?xx rc 33 )0,0( ?xx rc 222 )0( ?? ?為方差 為斜度 為峭度 0321 ??? ???當 時 ,特別稱 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 12 高斯過程的累積量 01 ?c 22 ??c 0?kc )3( ?k??? ????為奇數(shù)為偶數(shù)kkkm kk 0)]1(,531[ ??2)(ln)(22 ???? ????? )2e x p ()(22??? ???單個高斯隨機變量 n維零均值高斯隨機矢量 Tnxxx ],[ 21 ??x 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 13 ?????????????nnnnnnccccccccc?????212222111211c其方差矩陣為 nkixxEc kiik ?,2,1,][ ??其中 令聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ?????? ?? ? xcxcx 12/12/ 21ex p)2(1)( Tnp?高斯隨機矢量 高斯過程的累積量 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 14 ?????? ??? c ωωω T21ex p)(Tn ],[ 21 ??? ??ω? ?? ????????nijinjijT c1 12121)(ln)( ??c ωωωω則特征函數(shù)為： 顯然，與單個變量類似，由于第二特征函數(shù)僅為 的二階多項式，大于二階的導函數(shù)必然為零。所以 IID過程 {w(t)}又稱廣義白噪聲過程 ?kr第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 22 歸一化累積量 ? 在盲解卷積中，有時希望累積量與信號的幅度無關，即 W和 aW的累積量是一樣的， a是非零常數(shù)。通常階數(shù) p、 q取為 pq。當采用歸一化累積量時，顯然有 成立，即歸一化累積量與信號 的幅度無關。 、 非參數(shù)法譜估計 基本思路： 假定 n=0或 n=N+1范圍內(nèi) ,樣本值 x(n)=0, 由高階譜的定義直接構造譜估計式。但與功率譜估計的傳統(tǒng)方法一樣，它存在以下三個主要問題： 頻譜泄漏 ：平穩(wěn)隨機過程的樣本序列應為雙邊無限序列，在非參數(shù)法高階譜估計中假定 n=0或 n=N+1時x(n)恒等于零，必將導致矩函數(shù)的估計結(jié)果被“截尾”，與傳統(tǒng)的功率譜估計方法類似，這將在所估計的高階譜中產(chǎn)生“頻譜泄漏”。 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 34 頻率分辨率 ：在非參數(shù)法高階譜估計中，其富里葉變換都是用 DFT實現(xiàn)的。即用于計算 DFT的時間序列長度越長，則頻率分辨率越高。為減少估計方差，可采用時域平滑或頻域平滑的方法，但平滑的結(jié)果必然使頻率分辨率下降。 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 36 10)()(102???? ???? NkenxkX Nnnki N?2)(1)( kXNkP x ?)()()(1),( 212121 kkXkXkXNkkB x ?? ?)()()()(1),( 321321321 kkkXkXkXkXNkkkT x ??? ?確定性信號的高階譜 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 37 ? 平滑周期圖法 (直接法 ) ? ???? 102)()()()(1 MnnMinjj exMY???KjkkYYYB jkjLLkLLkkjj,2,1)(1),( 2121)()()()()(2021)(2211111211 ??????????? ???? ? ? ??????????? Kjjx BKB121)(21 ),(1),( ????????? Kjjx BKB121)(21 ),(1),( ????KMN ?01 )12( NLM ?? 00 / Nf s??主要方法： 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 38 MATLAB實現(xiàn)： [bspec,waxis]=bispecd(x,nfft,wind,samp_seg,overlap) x：時域信號； nfft： FFT的長度； wind： Rao最優(yōu)窗函數(shù)的長度； samp_seg：每個分段的長度； overlap：每段重迭長度； bspec：等高線顯示的直接法雙譜； waxis：頻率點矩陣； 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 39 ?間接法：先估計高階累量，再進行 DFT。但與功率譜估計不同之處在于： 它不限定信號模型為最小相位系統(tǒng) ,并且廣義白噪聲過程 {e(n)}應為非高斯分布。所以傳遞函數(shù)必在單位園外收斂，其單位取樣響應必為因果序列 )則得 ????? ???01111 )()()(),(jkkekkx jhjhjhrc ???? ?? 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 45 ???????032143214 )()()()(),(jex jhjhjhjhrc ????????????0213213 )()()(),(jex jhjhjhrc ????? 對于常用的雙譜和三譜估計 ,則有 : 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 46 由己知的一段樣本序列 {x(n)}估計 k階累量 ,一般 k=４； ? 按一定算法建立 k階累量與信號模型參數(shù)的關係式 ,求解此關係式得模型參數(shù)； ? 按 BBR公式求信號 {x(n)}的 k階譜。 ? 對巳知信號進行去均值的予處理； 譜估計的基本思路： 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 47 基于 MA因果信號模型的算法推導思路與功率譜參數(shù)法類似，以 BBR公式 (相當于第一章所述的譜分解定理 )的時域形式為基礎進行推導。公式在理論推導中經(jīng)常用到。 第三章 高 階 譜 估 計 2022/6/4 54 ② GM方法 假定線性系統(tǒng)為 MA模型 23( ) ( , ) ( ) ( )x x xllh l c l l h l R l? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ?? ??????qlqlxxx lRlbllclb0 023 )()(),()( ????)1( ?q 個未知數(shù)。 (b) 系數(shù)矩陣可能不能滿足列滿秩條件，這樣就沒有唯一最小二乘解，而只能計算最小二乘最小范數(shù)解。 (c) 當觀察數(shù)據(jù)中含有加性高斯噪聲時，由于噪聲自相關函數(shù)的存