【正文】 3 離散隨機(jī)過(guò)程功率譜密度定義 3 隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì) 4 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 4 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 4 無(wú)偏性 4 有效性 5 相合性 5 3 經(jīng)典譜估計(jì)及其仿真 5 周期圖 5 周期圖的定義 5 周期圖的性能 7 平均周期圖 9 加窗周期圖 10 周期圖的仿真 12 平均周期圖的仿真 13 加窗周期圖的仿真 14 BT 法 16 BT法 16 BT法的仿真 19 4 AR模型法 21 AR 模型法的基 本理論 21 AR模型的 YuleWalker方法 22 AR模型的協(xié)方差方法與修正協(xié)方差方法 22 burg遞推法 25 AR 模型法的仿真 25 YuleWalker方法 25 協(xié)方差方法與修正協(xié)方差方法 26 burg遞推法 27 AR模型階的選擇 28 5 結(jié)論 30 I 摘要 功率譜估計(jì)是信號(hào)處理領(lǐng)域的重要問(wèn)題之一。 本論文研究了功率譜估計(jì)的幾種常用的方法，包括經(jīng)典法和參數(shù)法中的 AR 模型法，對(duì)每種方法的估計(jì)質(zhì)量做了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，給出仿真程序及仿真圖，在仿真圖的基礎(chǔ)上對(duì)每種方法的性能進(jìn)行了討論。 從仿真圖中可以看出，經(jīng)典法無(wú)論是在譜分辨率還是在主瓣寬度，旁瓣幅度等方面都存在不足。 關(guān)鍵字：功率譜估計(jì)；周期圖； BT 法； AR模型法。功率譜是隨機(jī)信號(hào) 的 一種重要的表征形式，在雷達(dá)信號(hào)處理中，由回波信號(hào)功率譜密度、譜峰的密度、高度和位置，可以確定運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的位置、輻射強(qiáng)度和運(yùn)動(dòng)速度等。功率譜估計(jì)在各種隨機(jī)信號(hào)處理中得到了十分 廣泛的應(yīng)用。 功率譜估計(jì)分為兩大類(lèi)。非參數(shù)化方法又叫經(jīng)典譜估計(jì)法，它實(shí)質(zhì)上仍依賴于傳統(tǒng)的傅里葉變換法。它首先對(duì)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，然后再估計(jì)信號(hào)的功率譜。 經(jīng)典法的缺點(diǎn)表現(xiàn)為，除了得到的 N 個(gè)數(shù)據(jù)以外，序列的其他值均被認(rèn)為是零（或者等效，序列的自相關(guān)函數(shù)值除了能估計(jì)出的有限個(gè)值之外，其他的值被當(dāng)做零），但序列或其自相關(guān)函數(shù)的那些未能觀測(cè)到或未估計(jì)出來(lái)的值，實(shí)際上并不全是零。 本篇文章將首先討論各種方法的理論依據(jù)，然后針對(duì)每種方法進(jìn)行 MATLAB 仿真，給出詳細(xì)的仿真程序，并在仿真圖的基礎(chǔ)上分析它的性能。 （ 2） 離散型隨機(jī)過(guò)程： ()Xt 對(duì)于任意的 tT? ， ()Xt 都是離散型隨機(jī)變量，也就是時(shí)間連續(xù)，狀態(tài)離散的情況。例如在時(shí)間域 {0, , 2 ,3 , }s s st t t …上對(duì)接收機(jī)輸出噪聲電壓過(guò)程 ()Xt 進(jìn)行采樣，就可得到一個(gè)連續(xù)序列0 , 1 2, kX X X X… ， ，其中 kX = ()sXkt 。例如，對(duì)連續(xù)型隨機(jī)序列再進(jìn)行量化，即得到離散隨機(jī)序列。 離散隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程 {}nX 的均值或數(shù)學(xué)期望定義為 [ ] ( 。 )nXE g X g x f x n d x????? ? 均值有下列性質(zhì)： （ 1） [ ] [ ] [ ]n m n mE X Y E X E Y? ? ?，即和的均值等于均值的和。 基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn) 3 （ 3） 若 [ ] [ ] [ ]n m n mE X Y E X E Y? ，則稱 nX 與 mY 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 )nX n XE X x f x n d x??????? ? 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的方差定義為 22[ ] [ ( ) ]nnX n n XD X E X m? ? ? ? 由于和的均值等于均值的和，所以容易證明上式可寫(xiě)成 2 2 2 2 2[ ] [ ]n n nX n n X XE X E X m??? ? ? ? 2nX? 為非負(fù)函數(shù)，其平方根稱作離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，即 2 []nnX X nDX???? 一般來(lái)說(shuō)，均值，均方值， 方差都是 n 的函數(shù)，但對(duì)平穩(wěn)離散隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，它們與 n 無(wú)關(guān)，都是常數(shù)，即 []Xnm E X? 22[]XnEX? ? 22[( ) ]X n XE X m? ?? 離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)定義為 121 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) [ ] ( , 。 隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì) 1， 功率譜密度為非負(fù)的。 3， 對(duì)于實(shí)隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，功率譜密度是 ? 的偶函數(shù)。 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 可以證明，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間構(gòu)成傅里葉 變換對(duì)，即 ( ) ( ) jXXG R e d??? ? ??? ???? ? 以及 1( ) ( )2 jXXR G e d??? ? ?? ?? ???? ? 這一關(guān)系就是著名的維納 —— 辛欽定理。 估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 無(wú)偏性 設(shè) 12, , , nX X X… 是總體 X 的一個(gè)樣本。 無(wú)偏性的描述如下 基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn) 5 若估計(jì)量 12? ?( , , , )nX X X??? … 的數(shù)學(xué)期望 ?[]E? 存在，且對(duì)于任意 ??? 有 ?[]E??? 則稱 ?? 是 ? 的無(wú)偏估計(jì)量。 有效性 設(shè) 1 1 1 2? ? ( , , , )nX X X??? …與 2 2 1 2? ? ( , , , )nX X X??? …都是 ? 的無(wú)偏估計(jì)量，若對(duì)于任意??? ，有 12? ?[ ] [ ]DD??? 且至少對(duì)于某一個(gè) ??? 上式中的不等號(hào)成立，則稱 1?? 較 2?? 有效。我們自然希望隨著樣本容量的增大，一個(gè)估計(jì)量的值穩(wěn)定于待估參數(shù)的真值。 設(shè) 12? ?( , , , )nX X X??? … 為參 數(shù) ? 的估計(jì)量，若對(duì)于任意 ??? ，當(dāng) n?? 時(shí)12?( , , , )nX X X? … 依概率收斂于 ? ，則稱 ?? 是 ? 的相合估計(jì)量。 可以證明，樣本 ( 1)kk? 階矩是總體 X 的 k 階矩的相合估計(jì)量。 3 經(jīng)典譜估計(jì)及其仿真 經(jīng)典譜估計(jì)方法分為兩種： BT 法和周期圖法。 周期圖 周期圖的定義 對(duì)于一個(gè)離散隨機(jī)過(guò)程，由公式 (21)，以及樣本的一階矩就是對(duì)總體期望的無(wú)基于 MATLAB 的譜估計(jì)實(shí)現(xiàn) 6 偏估計(jì)可得： 101? [ ] [ ] [ ]NmXnR m X n X n mN?????? (31) 其中 N 是信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)， ? []XRm是對(duì)此離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)量。而 []Ym的傅里葉變換 10[ ] [ ] [ ] [ ] ( )Nj m j m j m jNm m mY m e d m X m e X m e X e? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ()jNXe? 是有限長(zhǎng)序列 []Xn的傅里葉變換，顯然 ()jNXe? 是周期性的。 根據(jù)功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系，功率譜估計(jì)為自相關(guān)函