【正文】 , SRF 樣本回歸函數(shù) ? 問題： 能否從一次抽樣中獲得總體的近似信息？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？ ? 在例 ， 能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)？ 回答：能 表 2 . 1. 3 家庭消費(fèi)支出與可支配收入的一個隨機(jī)樣本 X 800 1 100 1400 1700 2022 2300 2600 2900 3200 3500 Y 594 638 1 122 1 155 1408 1595 1969 2078 2585 2530 ? 該樣本的 散點(diǎn)圖（ scatter diagram)： ? 畫一條直線以盡好地擬合該散點(diǎn)圖，由于樣本取自總體，可以該直線近似地代表總體回歸線。 ? 樣本回歸線的函數(shù)形式為： iii XXfY 10 ??)(? ?? ???稱為 樣本回歸函數(shù) （ sample regression function， SRF） 。 ? 由于方程中引入了隨機(jī)項(xiàng)，成為計量經(jīng)濟(jì)模型，因此也稱為 樣本回歸模型 （ sample regression model） 。 iiiii eXeYY ????? 10 ??? ?? iiiii XXYEY ???? ????? 10)|(167。 ? 實(shí)際上這些假設(shè)與所采用的估計方法緊密相關(guān)。所以，在有些教科書中稱為 “ The Assumption Underlying the Method of Least Squares”。 關(guān)于模型關(guān)系的假設(shè) ? 模型設(shè)定正確假設(shè)。 The regression model is linear in the parameters。 X values are fixed in repeated sampling. More technically, X is assumed to be nonstochastic. 注意：“ in repeated sampling”的含義是什么？ ? 與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)假設(shè)。 c ov ( , ) 0 , 1 , 2 , ,( ) 0 , 1 , 2 , ,iiiiX i nE X i n??????? 觀測值變化假設(shè)。 There is no perfect multicollinearity among the explanatory variables. 適用于多元線性回歸模型。 隨著樣本容量的無限增加，解釋變量 X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。 The conditional mean value of μi is zero. ? 同方差假設(shè)。 ( ) 0 , 1 , 2 , ,iiE X i n? ??2( ) , 1 , 2 , ,iiV a r X i n?? ??是否滿足需要檢驗(yàn)。 The correlation between any two μi and μj is zero. 是否滿足需要檢驗(yàn)。在利用參數(shù)估計量進(jìn)行統(tǒng)計推斷時，需要假設(shè)隨機(jī)項(xiàng)的概率分布。可以利用中心極限定理（ central limit theorem, CLT）進(jìn)行證明。 The μ’s follow the normal distribution. 22~ ( 0 , ) ~ ( 0 , )iiN? ? ? ?? N ID CLRM 和 CNLRM ? 以上假設(shè)（正態(tài)性假設(shè)除外）也稱為線性回歸模型的 經(jīng)典假設(shè) 或 高斯（ Gauss）假設(shè) ，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為 經(jīng)典線性回歸模型 （ Classical Linear Regression Model, CLRM）。 167。 220111?( ) ( ( ) )nni i i iM i n Q Y Y Y X??? ? ? ? ???? 為什么取平方和？ 正規(guī)方程組 ? 該關(guān)于參數(shù)估計量的線性方程組稱為 正規(guī)方程組 （ normal equations）。 二、參數(shù)估計的最大似然法 (ML) 最大似然法 ? 最大似然法 (Maximum Likelihood,ML)，也稱最大或然法 ，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)。 ? ML必須已知隨機(jī)項(xiàng)的分布。 ? 但是，分布參數(shù)的估計結(jié)果不同。 ? 準(zhǔn)則： – 線性性 (linear)，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)； – 無偏性 (unbiased)，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值； – 有效性 (efficient)，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。 擁有這類性質(zhì)的估計量稱為 最佳線性無偏估計量（ best liner unbiased estimator, BLUE） 。 高斯 — 馬爾可夫定理 (GaussMarkov theorem) ? 在給定經(jīng)典線性回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線性無偏估計量。 ★ 2 、無偏性 ， 即估計量 0?? 、 1?? 的均值（期望）等于總體回歸參數(shù)真值 ? 0 與 ? 1 證： ? ? ? ? ???????? iiiiiiiiii kXkkXkYk ??????? 10101 )(?易知 02 ??? ??iii xxk ? ? 1ii Xk故 ??? iik ??? 11??? ????? 1111 )()()?( ?????? iiii EkkEE同樣地，容易得出 ? ? ????? 0000 )()()()?( ?????? iiii EwEwEE3 、有效性（最小方差性） ， 即在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量 0?? 、 1?? 具有最小方差。 ???????????)/l i m ()/l i m ()l i m ()l i m ()l i m ()?l i m (212111nxPnxPxxPPkPPiiiiiiii???????1110),( ???? ?????XC o v四、參數(shù)估計量的概率分布及隨機(jī)干擾項(xiàng)方差的估計 參數(shù)估計量的概率分布 ),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN隨機(jī)誤差項(xiàng) ?的方差 ?2的估計 ? ?2又稱為 總體方差 。 ? 可以證明 ， ?2的 最小二乘估計量 為： 2?22?? ?ne i?它是關(guān)于 ?2的無偏估計量。 neXYniii?????? 22102 )??(1? ???0)??( 210212*2 22 ??????? iin XYL ???????167。 ? 盡管從 統(tǒng)計性質(zhì) 上已知，如果有足夠多的重復(fù) 抽樣，參數(shù)的估計值的期望（均值）就等于其總體的參數(shù)真值，但在一次抽樣中，估計值不一定就等于該真值。 ? 主要包括 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、變量的顯著性檢驗(yàn)及參數(shù)的區(qū)間估計。 ? 問題： 采用普通最小二乘估計方法，已經(jīng)保證了模型最好地擬合了樣本觀測值，為什么還要檢驗(yàn)擬合程度？ 總離差平方和的分解 ii XY 10 ??? ?? ??)?(? YYy ii ??iiiiiii yeYYYYYYy ?)?()?( ????????Y的 i個觀測值與樣本均值的離差 由回歸直線解釋的部分 回歸直線不能解釋的部分 離差分解為兩部分之和 對于所有樣本點(diǎn)，則需考慮離差的平方和 ： 記 ? ? ???22 )( YYyTS S ii總體平方和 （ Total Sum of Squares） ? ? ??? 22 )?(? YYyE SS ii 回歸平方和 （ Explained Sum of Squares） ? ? ??? 22 )?( iii YYeR S S 殘差平方和 （ Residual Sum of Squares ） TSS=ESS+RSS Y的觀測值圍繞其均值的 總離差 (tot