【正文】 原來的固有頻率的比 值為 。 ？ 2 m k a l 例 題 6 圖示結(jié)構(gòu)中，桿在水平位置處于平衡，若 k、 m、 a、 l 等均為已知。 ? 能量法 對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用 能量守恒原理 建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率。 2 計(jì)算固有頻率的能量法 m k 靜平衡位置 O x )s in ( ?? ?? tAx n)c o s ( ??? ??? tAxv nn?)(c os2121 2222 ??? ??? tAmmvT nnm gxxkV stst ???? ])[(21 22 ??)(s i n2121 222 ?? ??? tkAkxV n物塊的動(dòng)能為 取靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)，有 在靜平衡位置處，有 mgk st ??22m a x 21 AmTn??2m a x 21 kAV ?m a xm a x VT ?mkn ??)(c os2121 2222 ??? ??? tAmmvT nn)(s i n2121 222 ?? ??? tkAkxV n物塊在平衡位置處，其動(dòng)能最大 物塊在偏離平衡位置的極端處，其勢(shì)能最大 無阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 m k a l ? )s in ( ??? ?? tA n2222m a xm a x 21)(21nAmllmT ?? ?? ?222m a xm a x 21)(21 AkaakV ?? ?m a xm a x VT ?mklan ??解： 設(shè) OA桿作自由振動(dòng)時(shí)， 其擺角 ? 的變化規(guī)律為 系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 系統(tǒng)的最大勢(shì)能為 由機(jī)械能守恒定律有 例 題 7 由能量法解 例題 6 例 題 8 半徑為 r、 質(zhì)量為 m的均質(zhì) 圓柱體，在半徑為 R 的剛性 圓槽內(nèi)作純滾動(dòng) 。 R C O R C O ? 解： 取擺角 ? 為廣義坐標(biāo) 222121CCC JmvT ????c o s)( rRmgV ???由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知： rrRrvrRvCCC?????)()(?????22)(43 ??rRmT ??系統(tǒng)的動(dòng)能 系統(tǒng)的勢(shì)能 拉氏函數(shù)為 ?? c o s)()(43 22 rRmgrRmVTL ?????? ?R C O ? ?? c o s)()(43 22 rRmgrRmVTL ?????? ??? s in)( rRmgL ??????? ?? 2)(23 rRmL ?????? ??? 2)(23)(dd rRmLt ????0)(dd ?????? ?? LLt ?0s in)(23 ??? ?? grR ?? 0)(3 2 ??? ?? rR g??R C O ? 0)(dd ?????? ?? LLt ?0s in)(23 ??? ?? grR ?? 0)(3 2 ??? ?? rR g??)(32rRgn ???R C O 例 題 9 由能量法求固有頻率 ? )s in ( ??? ?? tA n2s i n)(2)c o s1)((2 ?? rRmgrRmgV ?????解： 設(shè)擺角 ? 的變化規(guī)律為 系統(tǒng)的最大動(dòng)能為 取平衡位置處為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為 2222m a x2m a x)(43)(43nArRmrRmT?????? ??? ?s in有考慮到微振動(dòng)時(shí),2)(21 ?rRmgV ?? 2m a x )(21 ArRmgV ??R C O ? 2222m a x2m a x)(43)(43nArRmrRmT?????? ?2m a x )(21 ArRmgV ??m a xm a x VT ?)(32rRgn ???由機(jī)械能守恒定律有 例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺 擺球質(zhì)量 m 剛桿質(zhì)量忽略 每個(gè)彈簧的剛度 2k求 : (1) 倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率 l m a k/2 k/2 解法 1： 廣義坐標(biāo) ?動(dòng)能 2222121 ?? ?? mlIT ??勢(shì)能 ma xma x UT ? m a x0m a x ??? ??220 mlm glka ???平衡位置 1 ? ? ? ??? c os121212 2 ?????????? m glakV零平衡位置 1 ?)(21 222 ?? m glka ??22222s i n2112121 ???????? ?????? ???? ?? m glka22 )(21 ?m glka ??l m a k/2 k/2 解法 2： 平衡位置 2 動(dòng)能 2222121 ?? ?? mlIT ??勢(shì)能 ? ??? c os21212 2 m glakV ?????????0)(22 22 ??? ???? ???? mg lkaml? ? 0?? UTdtd0)(22 22 ??? ?? m g lkaml ??220 mlm glka ???零平衡位置 2 ??????? ??? 2s i n2121 222 ?? m glka2222121 ?? m glm glka ???m glm glka ??? 22 )(21 ?l m a k/2 k/2 例：均質(zhì)圓柱 質(zhì)量 m，半徑 R 與地面純滾動(dòng) 在 A、 B點(diǎn)掛有彈簧 確定系統(tǒng)微振動(dòng)的固有頻率 k1 a b R k1 k2 k2 A B 解： k1 a b R k1 k2 k2 A B 廣義坐標(biāo)：圓柱微轉(zhuǎn)角 ?圓柱做一般運(yùn)動(dòng)，由柯希尼定理，動(dòng)能： 22 )23(21 ??mRT ?C點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)瞬心 勢(shì)能： C A點(diǎn)速度： ??)( aRvA ??B點(diǎn)速度： ??)( bRv B ???)( aRx A ???)( bRx B ??222221 ))(2(21))(2(21 ?? bRkaRkU ????解： k1 a b R k1 k2 k2 A B 動(dòng)能： 22 )23(21 ??mRT ?勢(shì)能： C 222221 ))(2(21))(2(21 ?? bRkaRkU ????m a x0m a xm a xm a x , ??? ?? ?UT])1()1([3 42/3 ])()([2 22212222120 RbkRakmmRbRkaRk ?????????])1()1([3 4 22210 RbkRakm ?????? 瑞利法 利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限。 m k x 0 例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng) 設(shè)彈簧的動(dòng)能 : 221 xmTtt ??系統(tǒng)最大動(dòng)能： 2m a x2m a xm a x 2121 xmxmTt ?? ??系統(tǒng)最大勢(shì)能： 2m a xm a x 21 kxV ?m a x0m a x xx ???tmmk??0?若忽略 ，則 增大 tm 0?2m a x)(21 xmmt ???tm彈簧等效質(zhì)量 mt m k x 0 教學(xué)內(nèi)容 ? 無阻尼自由振動(dòng) ? 能量法 ? 瑞利法 ? 等效質(zhì)量和等效剛度 ? 阻尼自由振動(dòng) ? 等效粘性阻尼 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 拉格朗日方程 本章是將達(dá)朗伯原理和虛位移原理結(jié)合起來推導(dǎo)出動(dòng)力學(xué)普遍方程和拉格朗日方程。對(duì)于解決復(fù)雜的非自由質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，應(yīng)用拉格朗日方程往往要比用動(dòng)力學(xué)普遍方程簡(jiǎn)便得多。形式簡(jiǎn)潔、結(jié)構(gòu)緊湊。 ? 方程中不出現(xiàn)約束反力，因而在建立體系的方程時(shí)，只需分析已知的主動(dòng)力，不必考慮未知的約束反力。 ? 拉氏方程是從能量的角度來描述動(dòng)力學(xué)規(guī)律的，能量是整個(gè)物理學(xué)的基本物理量而且是標(biāo)量，因此拉氏方程為把力學(xué)規(guī)律推廣到其他物理學(xué)領(lǐng)域開辟了可能性，成為力學(xué)與其他物理學(xué)分支相聯(lián)系的橋梁。 ? 等效質(zhì)量和等效剛度 方法 1： 選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫成如下形式： 221 xMTe ?? 221 xKVe?當(dāng) 、 分別取最大值時(shí)： x? x則可得出： m a xTT ? m axVV ?ee MK /0 ??Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度 Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量 這里等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等 等效質(zhì)量： 使系統(tǒng)在選定的坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而需要在此坐標(biāo)方向上施加的力，叫做系統(tǒng)在這個(gè)坐標(biāo)上的等效質(zhì)量 動(dòng)能 2221 ??mlT ?勢(shì)能 220 mlm glka ???22 )(21 ?m glkaV ??2mlM e ?mg lkaK e ?? 2零平衡位置 1 ?l m a k/2 k/2 k1 a b R k1 k2 k2 A B 動(dòng)能 勢(shì)能 22 )23(21 ??mRT ?223 mRMe ?22221 ]))(2())(2[(21 ?bRkaRkU ????2221 ))(2())(2( bRkaRkK e ????2/3])()([22222120 mRbRkaRk ?????? 阻尼自由振動(dòng) 前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。盡管已經(jīng)