【正文】 返回本章目錄頁 。 ? 結論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動的概念 ? 結論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動的概念 ? 結論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動的概念 ? 結論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動的概念 ? 對于多自由度系統(tǒng)，固有頻率怎樣定義？ ? 多自由度系統(tǒng)的振動有什么特點？ ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動是否也是簡諧振 動？ ? 結論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動的概念 一般情形下，多自由度系統(tǒng)的自由振動 并不是簡諧振動。 ? 結論與討論 ? 單自由度線性系統(tǒng) 簡諧激勵的受迫振動要點 ? 穩(wěn)態(tài)響應的振幅是穩(wěn)定的，不會因受 干擾而偏離；無阻尼系統(tǒng)共振時，振幅將 越來越大。 穩(wěn)態(tài)受迫振動中最重要的是共振區(qū)、彈性區(qū)和慣性 區(qū)幅頻特性和相頻特性研究。 這兩部分振動疊加就是運動微分方程滿足初始條件 的齊次解。即使系統(tǒng)有阻尼，振幅也不會隨時間衰減。 ? 結論與討論 ? 單自由度線性系統(tǒng) 簡諧激勵的受迫振動要點 ? 激勵引起的穩(wěn)態(tài)受迫振動，即微分方程的特解。 ? 單自由度線性系統(tǒng) 自由振動要點 ? 固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，它僅與系統(tǒng)的等效剛度 和等效質量有關。 力矩方向 與廣義坐標方向相同時為正，反之為負 。 ? 結論與討論 ? 關于運動微分方程 ? 建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學原理 ? 拉格朗日方程－ 對于無阻尼的情形 2eq2eq 2121 qkVqmT ?? ,?VTLqLqLt －＝，＝－ 0dd ?????????????2eq2eq 2121 qkVqmT ?? ,?2eq2121 qcqqqqcΦ iiii ???? ??????????????? rrVTLqΦqLqLt －＝，＝－－ ?? ??????????????dd? 結論與討論 ? 關于運動微分方程 ? 建立振動系統(tǒng)運動微分方程所用的動力學原理 ? 拉格朗日方程－ 對于有阻尼的情形 ? 結論與討論 ? 關于運動微分方程 ? 動量矩定理－ 對于有一固定軸，并且繞固定軸 轉動的系統(tǒng)，特別對于扭轉振動的情形，采用動 量矩定理更好。 ? 結論與討論 ? 關于運動微分方程 ? 建立系統(tǒng)運動方程屬于動力學第二類問題，即：已知 主動力求運動的問題。對有阻尼系統(tǒng)， 僅在弱阻尼時運動才有振動形態(tài)。系統(tǒng)可以是單自由度，也可以是多自由度，乃至無 限多自由度。 ? 結論與討論 ? 按激勵不同，可將振動分為自由振動、強迫振動和自 激振動等，若按系統(tǒng)特性分類，則可分為線性振動和非線 性振動。 當振幅到達 B0時，激勵力所作 之功與阻尼耗散的能量相等，系 統(tǒng)能夠維持等幅振動。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動 的穩(wěn)態(tài)響應有一個穩(wěn)定的振幅。這樣，激勵力在一個周期內所作之功為 ? ? ????? s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T ??? ? ?? ? txtFW T dc o ss in0 0F ???? ?? ?? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 第二部分的相位與位移的相位相同，一個周期內作功為 零。 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 激勵力超前位移 ? 相位，可將其分解為與速度和位移同 相位的兩部分。 阻尼力和速度反相 ，因此始終作負功，在一個周期內所作 的負功為 ? ? 220 222200 cc πdc o sdd BcttBctxctxFW TT ???? ?? ????? ??? ??? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動 ? 受迫振動中的能量關系 若力與速度相位相差 ?/2 ，則力在一個周期內作功等于 零。 有阻尼自由振動 阻尼不斷耗散能量，而外界又無能量補充，因此振動 幅值隨時間衰減。根據(jù)疊加原理，穩(wěn)態(tài)響應也由兩部分疊加而成 : ? ? ? ?2211 c o ss i n ???? ???? tBtBx? ? ? ? 2222012a r c t a n,211??????? ??????eqkFB? ? ? ? 212221 12a r c t a n,211??????? ?????? aB 對于僅有彈簧的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應幅值和滯后相位差 ? ? ? ? 222222 12a r c t a n,212??????????????? aB 對于僅有阻尼的運動激勵，穩(wěn)態(tài)響應幅值和滯后相位差 ? ? ? ? 212221 12a r c t a n,211??????? ?????? aB? ? ? ? ? ??????? ????? tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝? ?? ? ? ? ? ? 2232222212a r c t a n,2121??????????????????? aB? ? ? ? 222222 12a r c t a n212??????????????? ,aB? ? ? ? 212221 12a r c t a n211??????? ?????? ,aB? ? ? ? ? ??????? ????? tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝? ?? ? ? ? ? ? 2232222212a r c t a n2121??????????????????? ,aB? ?? ? ? ? ? ? 2232222212a r c t a n,2121??????????????????? aB幅頻特性和相頻特性曲線 本例所研究的實際上是隔振問題－將外界振源盡 可能與研究對象隔離（稱為被動隔振）。 解 ： 假設觀察者在不動的 地面上觀察儀器的運動，儀 器在鉛垂方向的位移 x 作為 廣義坐標，以平衡位置為廣 義坐標的原點。 對于同一 ? 值，阻尼較 大時， B /a 趨 近于 1。 因此，設計時 應當使測振儀具有比較低 的固有頻率，才能有比較 大的 ? 值 。 k c m Fe xr O xe O1 解： 應用達朗貝爾原理，在 質量塊上附加慣性力 Fe ，建立系 統(tǒng)的運動微分方程。 系統(tǒng)的運動為非慣性系 運動。 k c m 解： 在測振儀外殼上固 結動坐標系 O－ xr， 系統(tǒng) 的牽連運動為平移。儀器內置質量塊相對 于外殼 (被測振動的物體 ) 的運動被轉換成電信號輸 出。 例 題 8 慣性測振儀的內部安裝 有“ 質量 (m)－ 彈簧 (k)－ 阻 尼器 (c)”系統(tǒng)。 阻尼影響顯著且阻尼愈小，幅頻響應曲線愈陡峭。 ? ? ? ? 幅頻特性與相頻特性 ? ＝ 1的附近區(qū)域 (共振區(qū) )， ? 急劇增大并在 ?＝ 1略為 偏左處有峰值。 ? 1的區(qū)域 (高頻區(qū)或慣性控制區(qū) )， ? → 0， ? → ?， 響 應與激勵反相；阻尼影響也不大。 有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下，運動微分方程的全解 )()( 21 txtxx ??：－ 分方程的解有阻尼自由振動運動微)(1 tx? ??? ??? tnAx nnt 221 s ine －設其為運動微分方程的特解,－)(2 tx)s in (2 ?? ?? tbx22222222t a n4)(????????????nnnnhb代入微分方程，解得 )s i n ()s i n (e 22n ???? ????? tbtnAx nt－運動微分方程的通解為： 在簡諧激勵的作用下，有阻尼系統(tǒng)的總響應由二部分組成： 第一部分是 衰減振動 ；第二部分是 受迫振動 。 167。 2121 特解通解 ???? xxxxx微分方程的解為： )s in (1 ?? ?? tAx n)s in (2 ?? ?? tbx將 x2 代入微分方程，得 )s i n ()s i n ()s i n ( 22 ???????? ?????? thtbtb n解得 22 ?? ??nhb)s i n ()s i n ( 22 ?????? ????? thtAxnn2. 受迫振動的振幅 22 ?? ??nhbkHhbn??? 200 ??(1)若., ?????bbnn單調上升頻率隨著振幅0(2)若?????.0, ????bb????增大而減小隨著頻率振幅( 3 ) 若 n幅頻特性曲線 3. 共振現(xiàn)象 當 ? ＝ ?n 時 ，激振力頻率等于系統(tǒng) 的固有頻率時，振幅在理論上應趨于 無窮大，這種現(xiàn)象稱為 共振 。一般的周期性激勵可以通過傅里葉級數(shù)展開成簡諧激勵的疊加。 激勵形式 外界激勵一般為時間的函數(shù)，可以是周期函數(shù)，也可以是非周期函數(shù)。 欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動 tAe 0???tAe 0????dTt)(txAA?0評價阻尼對振幅衰減快慢的影響 1????ii?與 t 無關，任意兩個相鄰振幅之比均為 ?衰減振動的頻率為 ，振幅衰減的快慢取決于 n ，這兩個重要的特征反映在特征方程的特征根的實部和虛部 d?1 , 2 dni??? ? ?減幅系數(shù) ?單自由度系統(tǒng)自由振動 定義為相鄰兩個振幅的比值： ()dntn t TA