【正文】 右側(cè) 的開環(huán)零、極點的個數(shù)之和為奇數(shù)，則該線段是實軸上的根軌跡。 *1 2 31 2 3 4K ( s z ) ( s z ) ( s z )G(s)H(s) =( s p ) ( s p ) ( s p ) ( s p )1P 4P z1 z2 z3 、23PP解：實軸上的根軌跡必須滿足繪制根軌跡的相角條件，即 ??mn jij = 1 i = 1∠ ( s Z ) ∠ ( s P ) = 177。 + k 360176。 選擇 so作為試驗點 開環(huán)極點到 s0點的向量的相角為 θ i 開環(huán)零點到 s0點的向量的相角為Φ i 實軸上 ， s0點左側(cè)的開環(huán)極點 P4和開環(huán)零點 z3構(gòu)成的向量的夾角均為零度 ， 而 s0點右側(cè)的開環(huán)零點 z1 、z2和開環(huán)零點 p1構(gòu)成的向量的夾角均為 180o。 法則四 根軌跡的漸近線 當(dāng)開環(huán)極點數(shù) n大于開環(huán)零點數(shù) m時，系統(tǒng)有 nm條根軌跡終止于 S平面的無窮遠(yuǎn)處，這 nm條根軌跡變化趨向的直線叫做根軌跡的漸近線，因此，浙近線也有 nm條，且它們交于實軸上的一點。 解 對于該系統(tǒng)有 n=4， m=1， nm=3；三條漸近線與 實軸交點位置為 它們與實軸正方向的交角分別是 *2K ( s + 2 )G(s)H(s) =s ( s + 1 ) ( s + 4 )a 1 4 + 2σ = = 13π (k = 0)3π (k = 1)π (k = 2)3? ? j 4 3 2 1 0 B C A a ? 60o 60o 300o a ? 180o 法則五 根軌跡的分離點和分離角 分離點：兩條或兩條以上的根軌跡分支在 S平面上相遇又立即分開的點，稱為根軌跡的分離點。如圖 45上的分離點 d1和 d2。顯然，復(fù)平面上的分離點表明系統(tǒng)特征方程的根中至少有兩對相等的共軛復(fù)根存在。 ? ? ll2 k + 1 π ,k = 0 ,1 ,. . . , 1 只有那些在根軌跡上的解才是根軌跡的分離點。 例如：當(dāng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? ? ? ? 1G s H s = s ( s + 2 )?ni = 1 i1 1 1= + = 0d P d 0 d + 2時，系統(tǒng)根軌跡分離點方程為： 解方程得： d＝－ 1，由于實軸上的根軌跡為（－ 2 ， 0）段，由此可見 d=－ 1位于根軌跡上，故，根軌跡分離點為： d＝－ 1 例 4－ 1 設(shè)某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試?yán)L制其概略根軌跡。 2）實軸上的根軌跡： (1,0)、（－ 3，－ 2）。 *KG(s)H(s) = ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )解 本系統(tǒng)無有限開環(huán)零點 ， 其根軌跡分離點坐標(biāo)滿足： 解方程得： 由規(guī)則五知 ， 實軸上的根軌跡為 1到 2線段和 3到 ∞ 線段 。 是實軸根軌跡上的點 ， 所以是根軌跡在實軸上的分離點 。 1 1 1+ + = 0d + 1 d + 2 d + 312d = 1 . 4 2 d = 2 . 5 81d = 1 .4 22d = 法則六 根軌跡的起始角和終止角 當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點或零點時，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題 , 先給出定義如下： ⑴ 起始角 ：根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點處在切線方向與實軸正方向的夾角。 ?zi? ? , , , , .. ..mnz jz i p jz ijjjikk? ? ? ????????? ? ? ? ? ? ?????112 1 0 1 2zi? ? , , , , .. ..mnzj p i p jp ijjjikk? ? ????????? ? ? ? ? ? ?????112 1 0 1 2piθ?j?3P2P1P0[s]1p?2p??j?[s]1z2z1p2p1z?2z?0法則七 根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸的交點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的純虛根 （ 實部為零 ） 。 Kc 的物理含義是使系統(tǒng)由穩(wěn)定 （ 或不穩(wěn)定 ） 變?yōu)椴环€(wěn)定 （ 或穩(wěn)定 ） 的系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益的臨界值 。 例：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡 。 此外 ， 尚須注意以下幾點規(guī)范畫法 。 ⑵ 根軌跡由起點到終點是隨系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益 K* 值的增加而運(yùn)動的 ， 要用箭頭標(biāo)示根軌跡運(yùn)動的方向 。 還有一些要求標(biāo)出的閉環(huán)極點 S1 及其對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益 K1 ， 也應(yīng)在根軌跡圖上標(biāo)出 ， 以便于進(jìn)行系統(tǒng)的分析與綜合 。 rKG(s)H(s) =s ( s + 1 ) ( s + 2 )解 （ 1）該系統(tǒng)的特征方程為 這是一個三階系統(tǒng)，由規(guī)則一知，該系統(tǒng)有三條根軌跡在 s平面上。 ⑶ 根軌跡的起點是該系統(tǒng)的三個開環(huán)極點 ， 即 P1=0 P2=1 P3=2 由于沒有開環(huán)零點 （ m=0） , 三條根軌跡的終點均在無窮遠(yuǎn)處 。 ⑸ 由規(guī)則五知 ， 實軸上的根軌跡為實軸上 P1 到 P2 的線段和由 P3 至實軸上負(fù)無窮遠(yuǎn)線段 。 解虛部方程得 23rK 3 ω + j ( 2 ω ω ) = 01ω =0 2,3ω =177。合理的交點應(yīng)為 將 代入實部方程得到對應(yīng)的開環(huán)根軌跡增益的臨界值 Krc=6 。 cω =177。 用 s=j? 代入特征方程得 32 rjω 3 ω + j 2 ω + K = 02,3ω =177。 (2)由開環(huán)傳遞函數(shù)可知，該系統(tǒng)有一個開環(huán)實零點 z1=2 和一對開環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點 P1,2= 1177。 (3)由規(guī)則五知，實軸上由 2至 ∞ 的線段為實軸上的根軌跡。分離點方程是 例 48 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。 02 222??????????? dssssdsd0242 ??? dd ??d ??d⑸ 由規(guī)則七 ， 可求出開環(huán)復(fù)數(shù)極點 （ 根軌跡的起點 ） 的起始角 。 180176。 18 0176。 180176。 ytg x177。 21z 1p 2p 將上式等號左邊合并可得到 將上式等號兩邊取正切 ， 則有 22122v 2 v ( u + 1 )u+2 ( u + 1 ) ( v 1 )t g = 177。v 2 v ( u + 1 )1 + u+2 ( u + 1 ) ( v 1 )22v 2 v ( u + 1 ) = 0u+2 ( u + 1 ) ( v 1 )22u + 4 u + 2 + v = 02 2 2( u + 2 ) + v = ( 2 )方程表示在 S平面上的根軌跡是一個圓心位于點 （－ 2， j0) 、半徑為 的圓弧。 2?j?[s]0123)0(1?rKP1p?)0(2?rKP2p?4 1 1?d1d4rK??11)(1??rKZ 由本例不難發(fā)現(xiàn) ， 由兩個開環(huán)極點 （ 實極點或復(fù)數(shù)極點 ） 和一個開環(huán)實零點組成的二階系統(tǒng) ， 只要實零點沒有位于兩個實極點之間 ， 當(dāng)開環(huán)根軌跡增益由零變到無窮大時 ， 復(fù)平面上的閉環(huán)根軌跡 ， 是以實零點為圓心 ， 以實零點到分離點的距離為半徑的一個圓 （ 當(dāng)開環(huán)極點為兩個實極點時 ） 或圓的一部分 （ 當(dāng)開環(huán)極點為一對共軛復(fù)數(shù)極點時 ） 。 前面介紹的普通根軌跡或一般根軌跡的繪制規(guī)則是以開環(huán)根軌跡增益 K* 為可變參數(shù)的 ， 大多數(shù)系統(tǒng)都屬于這種情況 。 一 . 參數(shù)根軌跡 167。 2G(s)H(s) =s ( T s + 1 ) ( s + 1 ) 解 ⑴系統(tǒng)的特征方程 或 s ( T s + 1 ) ( s + 1 ) + 2 = 022Ts (s + 1) + s + s + 2 = 022T s ( s + 1 )1 + = 0s + s + 2 令 ?? 22T s ( s + 1 )G ( s ) H ( s ) = s + s + 2??1 + G ( s ) H ( s ) = 0 則有： 為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。 (2) 系統(tǒng)特征方程的最高階次是 3， 由規(guī)則一和規(guī)則二知 ，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對稱于實軸的根軌跡 ， 根軌跡的終點(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個零點 ， 即 Z1=Z2=0， Z3=1 ；本例中 ， 系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點數(shù) m=3,極點數(shù)n=2， 即 m＞ n。 因此 ， 本例的三條根軌跡的起點 (T=0)分別為 P1=+ ， P2= ， 和無窮遠(yuǎn)處 （ 無限極點 ） 。 由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個交點 ， 用 s=j?代入特征方程得 由此得到虛部方程和實部方程分別為 解虛部方程得 ? 的合理值為 ， 代入實部方程求 Tc=1 秒 ， 所以 ?c=?1 為根軌跡與虛軸的兩個交點 。 由此可知 ， 參數(shù)根軌跡在研究非開環(huán)根軌跡增益 對系統(tǒng)性能的影響是很方便的 。 ⑵ 根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則和等效開環(huán)傳遞函數(shù) 繪制出系統(tǒng)的參數(shù)根軌跡 。 + k 360176。 相角條件 ， 而正反饋系統(tǒng)的根軌跡遵循 0176。 故正反饋系統(tǒng)根軌跡又稱為零度根軌跡 。 ⑶ 正反饋系統(tǒng)的起始角和終止角應(yīng)為 下面通過示例進(jìn)一步說明正反饋系統(tǒng)根軌跡的繪制方法 。 解： 由修改后的規(guī)則三知 ， 實軸上的根軌跡是由 0至 +∞ 線段和由 1至 2線段 。 （ k = 0） 、 120176。 （ k = 2） 。 這種情況在本例中正好相反 ， 由于是正反饋系統(tǒng) ， 實軸上的根軌跡改變了 ， d2= 在實軸的根軌跡上 ， 它是根軌跡與實軸交點 （ 分離點 ） 的合理值 ， 而 d1= 不在實軸的根軌跡上 ， 應(yīng)舍去 。 本例無共軛復(fù)數(shù)開環(huán)零 、 極點 ， 不存在起始角和終止角問題 ， 根軌跡與虛軸也無交點 。 由圖 416可看出 ， 三條根軌跡中 ， 有一條從起點到終點全部位于 S平面右半部 ， 這就意味著無論 Kr 為何值 ， 系統(tǒng)都存在 S平面右半部的閉環(huán)極點 ， 該正反饋系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的 。 ?[s]?j1)0(PKr???rK0?1 20?? 1 201??rK??rK3)0(PKr?)0(2?rKP2 2d圖 416 正反饋系統(tǒng)的根軌跡 三 非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 所謂非最小相位系統(tǒng) ， 是指那些在 S平面右半部有開環(huán)極點和 （ 或 )開環(huán)零點的控制系統(tǒng) 。 本章前面介紹的示例都是最小相位系統(tǒng) 。 該非最小相位系統(tǒng)除了有位于 s平面右半部的開環(huán)零、極點外，其繪制根軌跡的規(guī)則和步驟與最小相位系統(tǒng)完全相同。 相角條件 ?j?[s])(1??