【正文】 ?????????代替 。 ?????nixx ii pp11)1(解： 似然函數(shù)為 ,)1( 11???? ???niinii xnxpp???nii pxfpL1),()(),1l n ()()l n ()(ln11pxnpxpLniinii ???? ????對數(shù)似然函數(shù)為： 對 p 求導(dǎo)，并令其等于零，得 .0)(111)(ln11????? ????niinii xnpxpdppLd xn上式等價于 .11pxpx???解上述方程，得 .11pxpx???. xp ?換成 X換成 p?的極大似然估計。 解： 似然函數(shù)為 ,)2( 21),(12222)(212212)(2?????????? ?niiixnnixeeL??????????,)(2 1ln2)2l n (2),( ln12222 ? ??????niixnnL ??????對數(shù)似然函數(shù)為 似然方程組為 由第一個方程，得到 ??????? ??????? ???????.0)(212),(ln,0)(1),(ln124222122niiniixnLxL???????????； 1?1xxn nii ?????代入第二方程，得到 .)(1?122 ? ???nii xxn? 是 L(?,?2)的 最大值點(diǎn)， 即 ? 和 ?2 的極大似然估計。 例 3： 設(shè)總體 X 服從泊松分布 P(? )，求參數(shù) ? 的極大似然估計。它，的唯一極大值點(diǎn)。 解： 因 ?????????],[ ,0 ],[ ,1),(baxbaxabbaxf???????????? ??. ,0 , , ,2 ,1 ],[ ,)(1 ),(),(1其他nibaxabbaxfbaLinnii?所以 ?????????????????????????. 0, ,}{m a x}{m i n ,)(1 ,0 , , ,2 ,1 ],[ ,)(1),(11其他其他bxxaabnibaxabbaLiniininin?????? ????? ????. 0, ,}{m a x}{m i n ,)(1),( 11其他bxxaabbaL iniinin 由上式看到： L(a,b)作為 a和 b的二元函數(shù)是不連續(xù)的， 所以 我們不能用似然方程組來求極大似然估計，而必須從極大似然估計的定義出發(fā)，求 L(a,b)的最大值。 但 b不能小于 max{x1,x2,? ,xn}。類似地， a 不能大于 min{x1,x2,? ,xn}。 求 θ的極大似然估計。為所以， ln?1?? ????niiXn 從前面兩節(jié)的討論中可以看到 : ● 同一參數(shù)可以有幾種不同的估計，這時就需 要判斷采用哪一種估計為好的問題。 估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則就是： 評價一個估計量 “ 好 ” 與 “ 壞 ” 的標(biāo)準(zhǔn)。 估計量的優(yōu)良性準(zhǔn)則 設(shè)總體的分布參數(shù)為 θ ， 對一切可能的 θ成立 ,則稱 為 ? 的無偏估計。 ),(? 21 nXXX ???? 如果 的 均值等于 θ ，即 ,)],(?[ 21 ?? ?nXXXE ?????簡記為 是 θ 的一個估計 (注意 ! 它是一個統(tǒng)計量，是隨機(jī)變量。 “一切可能的 ? ”是指：在參數(shù)估計問題中，參數(shù) ? 一切可能的取值。自然要求它在參數(shù) ? 的一切可能取值的范圍內(nèi)都成立 說明： 無偏性的意義是：用估計量 估計 ??.)],(?[ 21 ?? ?nXXXE ?例 1： 設(shè) X1, X2, ? , Xn 為抽自均值為 ? 的總體 X的隨機(jī)樣本，考慮 ? 的如下幾個估計量： 例如： 若 ? 指的 是正態(tài)總體 N(? , ?2)的均值 ?,則其一切可能取值范圍是 (∞ ,∞ )。 的無偏估計。是所以因 ? , ,)?( 2? 22212????????EXX的無偏估計。 2? 14 X??是有偏估計。 .)(11 ,1 2121XXnSXnX niinii ? ???????.)( , )( 22 ?? ?? SEXE則X 2S證明： 因?yàn)? X1, X2, ? , Xn 獨(dú)立同分布，且 E(Xi )=μ , 所以 ；?? ??????????? ????nnXEnXnEXEniinii1)(11)(11另一方面，因 , )(2)(21221 1221XnXXnXXXXXniininiiinii???? ??????????,)]([)()(,)]([)()(22222222????????????iii XEXDXEnXEXDXE于是，有 . )(11 )()(11)(222222122????????????????????????????????????nnnnXnEXEnSEnii注意到 的無偏估計。但必須注意的作為用的一個估計，我們通常是參數(shù)如果)()?(?)()?(?????????gggg 前面兩節(jié)中，我們曾用矩法和極大似然法分別求得了正態(tài)總體 N(μ , σ2) 中參數(shù) σ2 的估計 ,均為 .)(1? 212 XXnnii ?????很顯然，它不是 σ2 的無偏估計。 例 2： 求證：樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S 不是總體標(biāo)準(zhǔn)差 ? 的無偏估計。 例 3： 設(shè)總體 X的 k階原點(diǎn)距為 ak=E(Xk)， X1, X2, ? , Xn是 X 的隨機(jī)樣本，樣本 k 階原點(diǎn)距為 Ak, 則Ak是 ak的無偏估計， k=1,2, ? 。 這就是人們?yōu)槭裁闯Ｓ脴颖? k 階矩估計總體 k 階矩的主要原因之一。 ?????? ??.0,0,0,),( /1xxexf x ???若 X1, X2, ? ,Xn 是 X 的隨機(jī)樣本 ，記 ),m in ( 21 nXXXZ ??則 nZ 為 θ 的無偏估計。 ?????? ?.0,0,0,)/(),( )/(zzenzf znZ ??? 用估計量 估計 ?， 估計誤差 均方誤差準(zhǔn)則 ),(? 21 nXXX ?? 是隨機(jī)變量，通常用其均值衡量估計誤差的大小。 注意： 均方誤差可分解成兩部分 : , ? ? 21 ??? 和的兩個估計對證明： .])?([)?()?( 2???? ??? EDM S E)]?(?[])?([2 ])?([)]?(?[ ]})?([)]?(?{[ )?()?(2222???????????????EEEEEEEEEEM S E??????????????.])?([)?( 2??? ??? ED 上式表明，均方誤差由兩部分構(gòu)成：第一部分是估計量的方差， 第二部分是估計量的 偏差的平方和。這種判定估計量優(yōu)劣的準(zhǔn)則稱為方差準(zhǔn)則。)?()?( ?? DM S E ?例 5： 設(shè) X1, X2, ? , Xn 為抽自均值為 ? 的總體 ,考慮 ? 的如下兩個估計的優(yōu)劣： 我們看到 : 顯然兩個估計都是 ? 的無偏估計。優(yōu)于方差小，比于是， ? ? ii XX ?? ??這表明：當(dāng)用樣本均值去估計總體均值時，使用全樣本總比不使用全樣本要好。點(diǎn)估計就是利用樣本計算出的值 (即實(shí)軸上點(diǎn) ) 來估計未知參數(shù)。 區(qū)間估計 其優(yōu)點(diǎn)是： 可直地告訴人們 “未知參數(shù)大致是多少”； 缺點(diǎn)是： 并未反映出估計的誤差范圍 (精度 )。 而區(qū)間估計正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計的這一不足之處 。 的 問題中 ,若根據(jù)一組實(shí)際樣本，得到 181。 一個可以想到的估計辦法是：給出一個區(qū)間，并告訴人們