定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(1)-在線瀏覽
2025-06-16 06:12本頁面
【正文】 2M1N 2N?1S?2S?定積分的幾何應(yīng)用 42 sK ??? ?設(shè)曲線 C是光滑的， .0是基點(diǎn)MMM ??定義 sK s ??????0l im曲線 C 在點(diǎn) M處的曲率 為 sss ddl i m0???????在 .dd sK ??,sMM ???⌒ .??切線轉(zhuǎn)角為的弧段 MM ? 平均曲率 為 存在的條件下 , xyOss??C??????0M MM?定積分的幾何應(yīng)用 43 (2). 曲率的計算公式 (1) 直線的曲率處處為零 。0?? t ax ?2? .2 ??? t說明 :擺線一拱的面積等于其母圓面積的三倍 . 定積分的幾何應(yīng)用 13 分成若干塊上面討論過的那兩種區(qū)域 , 只要分別 (6) 一般情況下 ,由曲線圍成的有界區(qū)域 , 總可以 算出每塊的面積再相加即可 . (2) (1) (1) (2) ????? ? ? ?定積分的幾何應(yīng)用 14 ?d??? ?面積元素 ?Ad曲邊扇形的面積 .d)]([21 2 ???? rA ?? )(?rr ?由極坐標(biāo)方程 )(?rr ?給出的平面曲線 )(, ?????? ???所圍成的面積 A. ?? d)]([21 2r和射線 曲邊扇形 ?? d????O x定積分的幾何應(yīng)用 15 解 利用 對稱性 知 ???? d)c o sc o s21( 202 ??? ?a????02 2si n41si n223?????? ??? a 223 a?????? drA 2)]([21???A)c o s1( ??? ar?? d)c o s1(21 22 ??a?2 ?0 xyO 2例 3 求心形線 ? ?( 1 c o s ) , 0r a a?? ? ?所圍成圖形的面積 . 定積分的幾何應(yīng)用 16 例 4 求由圓 2 s i nr ?? 和雙紐線 2 c o s 2r ?? 所圍成的公共部分的面積 . 21,6 ?? r??交點(diǎn) O xy? ? 26406112 2 s i n c o s 222A d d???? ? ? ???????????? ?1 3 3 36 ?? ? ?定積分的幾何應(yīng)用 17 例 5 求由 2222 2 2x y x ya b c????????所圍成圖形的面積 . 注意 : 求封閉曲線所圍成圖形的面積時 , 1. 先分析對稱性 。1 第八節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用 第六章 定積分的應(yīng)用 建立積分模型的微元法 求平面圖形的面積 求空間立體的體 積 求平面曲線的弧長與曲率 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 小結(jié) 思考題 作業(yè) 2 究竟哪些量可用定積分來計算呢 . 首先討論這個問題 . 結(jié)合曲邊梯形面積的計算 一、建立積分模型的微元法 可知 , 用定積分計算的量 應(yīng)具有如下 及定積分的定義 許多部分區(qū)間 , (即把 [a, b]分成 兩個特點(diǎn) : (1) 所求量 I 即與 [a, b]有關(guān) 。 (2) I 在 [a, b]上具有可加性 . 則 I 相應(yīng)地分成許多部分量 , 而 I 等于所有部分量之和 ) 定積分的幾何應(yīng)用 3 按定義建立積分式有 四步曲 : “分割、 ? ?? ba xxfI d)(有了 NL公式后 , 對應(yīng)用問題來說 關(guān)鍵 就在于 方法 簡化步驟 如何寫出 被積表達(dá)式 . inii xf ????)(lim10??得到 這個復(fù)雜的極限運(yùn)算問題得 到了解決 . xxf d)( xxfI d)(d ?)1(是所求量 I 的微分 .iI??于是 , 稱 xxfI d)(d ? 為量 I 的 微元 或 元素 . 取近似、 求和、 取極限 ” , 定積分的幾何應(yīng)用 4 元素法 或 微元法 . 簡化步驟 (1) 由具體情況選取一個變量 ,如 ,為積分變量 , 并確定它的變化區(qū)間 ? ?,abx( 2 ) [ , ] [ , d ] ,a b x x x?在 上 任 取 一 小 區(qū) 間求出這一小區(qū)間上的部分量的近似值 ,即 ( ) d .I f x x?? 記為 : ( ) d .d I f x x?(3) 以 dI 為被積表達(dá)式在 ? ?,ab 上作定積分 , 得 : ( ) dbbaaI dI f x x????這種簡化了的建立積分式的方法稱為 定積分的幾何應(yīng)用 5 O xya b)( xfy ??x xx d??bxaxxfy ??? 、直線設(shè)曲邊梯形由 )(.軸圍成與 x這個小區(qū)間上所 對應(yīng)的小曲邊梯形面積 面積元素 xxfA d)(d ?(3)得 曲邊梯形面積的積分式也可以用 元素法 建立如下 . ?A xxf d)(?ba近似 地等于長為 f(x)、寬為 dx 的 小矩形面積 , 故有 Adxxf d)((1) 選 x為積分變量 , ? ?,x a b?( 2 )
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1