定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用李用-在線(xiàn)瀏覽
2025-06-16 05:34本頁(yè)面
【正文】 ? ? ?212xy?4xy??X型求解法 Y型求解法 練習(xí) 1 （ 例 2 變式題） ： 計(jì)算由曲線(xiàn) xy 22 ? 和直線(xiàn) 4?? xy 所圍成的圖形的面積 解 : 兩曲線(xiàn)的交點(diǎn) ).4,8(),2,2( ????????422xyxyxy 22 ?4?? xy12280222 2 2 4()S S Sx d x x x d x??? ? ? ???1S1S2S2yx?332 2 822022 2 2 2 1243 3 2| ( ) |x x x x? ? ? ? ? 練習(xí) 1 6 6 4 2 6 183 3 3? ? ? ?212xy?4xy??4 221422 [ ( ) ]s y y d y?? ? ??法 ： 2 3 4 211426( ) |y y y ?? ? ? 18?練習(xí) 2 ： 計(jì)算由曲線(xiàn) xxy 63 ?? 和 2xy ? 所圍成的圖形的面積 . 解 : 兩曲線(xiàn)的交點(diǎn) ).9,3(),4,2(),0,0( ????????23 6xyxxy3 201 2 )6( xAd xx x? ????23 32 0 ( 6 )xA x x dx? ? ??2xy?xxy 63 ??1A2A于是所求面積 21 AAA ??dxxxxA )6( 20 2 3 ??? ?? dxxxx )6( 3230 ??? ? .12253?說(shuō)明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式． 練習(xí) 練習(xí) 3 3xy ?x 20y 1?解 所圍成的圖形如圖所示： 3xy ?求 2 ,1 ??? xx與直線(xiàn) 軸所圍成的及 x平面圖形的面積。(弄清相對(duì)位置關(guān)系 ) (2)求交點(diǎn)坐標(biāo) 。 =s 的幾何意義 : ()ba f x dx?類(lèi)型一 .求由一條曲線(xiàn) y=f(x)和直線(xiàn) x=a,x=b(ab)及 x軸所圍成平面圖形的面積 S ???? ????? bccabcca dxxfdxxfdxxfdxxfS )()()(|)(| )3(?? ba dxxfS )( )1(??? ba dxxfS )( )2((2) x y o a b c )(xfy?(3) (1) x y o )( xfy ?a b練習(xí) . 求拋物線(xiàn) y=x21，直線(xiàn) x=2， y=0所圍成的 圖形的面積。 當(dāng) f ( x ) ? 0 時(shí)，積分 dxxfba)(? 在幾 何 上 表示由 y = f ( x ) 、 當(dāng) f(x)?0時(shí) 積分 ? baf ( x ) dx 在幾何上表 示 由 y?f (x)、 x?a、 x?b與 x 軸所圍成的曲邊梯形面積的負(fù)值 x y O a b y?f (x) ?ba f ( x )dx ??ca f ( x )dx ? ?bc f ( x )dx 。 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 定積分在幾何中的應(yīng)用 ?? ba dxxfA )( ? ?? ba dxxfxfA )]()([ 12 : ( ) ( ) | ( ) ( )b baaf x dx F x F b F a? ? ??[其中 F180。(x)=f(x)] xyo)( xfy ?a bA xyo)(1 xfy ?)(2 xfy ?a bA : 一、復(fù)習(xí) 因?yàn)?f(x)在 [a,b]內(nèi)連續(xù) 是 f(x)的一個(gè)原函數(shù) . 又 F(x)是 f(x)的原函數(shù)， ∴ F(x)= + x=a,則由 得到 C=F(a) 移項(xiàng)得 令 即得 ? xa f (t)d t? xa f (t)d t? aa f (t) d t = 0? ?? xa f ( t ) d t = F ( x ) F a? ? ? ? ? ?? bax = b , f x d x = F b F a .證明： O x y a b y?f (x) x?a、 x?b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 ??S ?ba f ( x )dx ??ca f ( x )dx ? ?bc f ( x )dx 。 y x 解：如圖：由 x21=0得到拋物線(xiàn)與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 (1,0)， (1,0).所求面積如圖陰影所示： 所以： ?? ? ???? 1 1 221 2 )1()1( dxxdxxS38)3()3(113123??????xxxx類(lèi)型一：由一條曲線(xiàn)和直線(xiàn)所圍成平面圖形的面積的求解 類(lèi)型 2：由兩條曲線(xiàn) y=f(x)和 y=g(x)，直線(xiàn)x=a,x=b(ab)所圍成平面圖形的面積 S y x o b a )(xfy?)(xgy? (2) )(xfy?)(xgy?(1) 總結(jié) ： 當(dāng) x ∈ [ a ， b ] 有 f ( x ) g ( x ) 時(shí)，由直線(xiàn) x ＝ a ， x ＝ b ( a ≠ b )和曲線(xiàn) y ＝ f ( x ) ， y ＝ g ( x ) 圍成的平面圖形的面積 S ＝ . ? ? ? ?baf x g x d x??????注 ： 例 1. 計(jì)算由兩條拋物線(xiàn) xy ?2 和 2xy ? 圍成 圖形的面積 . 解 :作出 y2=x,y=x2的圖象如圖所示 : 即兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)為 (0,0),(1,1) ? 1 20S = ( x x ) d x 32 3 102( ) |33xx?? .31?邊 邊曲 梯 形 OA BC 曲 梯 形 OABDS = S So x y 2yx?2yx?2xy ?yx?A B C D O 11 200x dx x dx??????????????????????11
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