【正文】 碼例與碼的重構(gòu) 譯碼的概念 檢錯(cuò)譯碼：譯碼器輸出為當(dāng)前接收向量 r和 r是否有差錯(cuò)的標(biāo)志 s， 即 。 c? cy ??糾錯(cuò)譯碼的譯碼成功狀態(tài)：譯碼器能夠在達(dá)到譯碼碼字差錯(cuò)概率最小條件下輸出一個(gè)確切的碼字 ，即 。 c?定義： (n,k）線形分組碼的伴隨式是一個(gè) r(r=nk)維向量 s ? ?110 , ??? rT sssrHs ?TeHs ?，則傳輸中一定有錯(cuò)誤發(fā)生 ??s，則傳輸中要么無差錯(cuò)發(fā)生，要么差錯(cuò)圖案恰好為一個(gè)碼字。 2res? ?? ?es,r? ?? ?es,eerc ???167。 線性分組碼的譯碼 167。 1210 , ?mhhh ? mHamming碼的對偶碼是一個(gè) 線性分組碼，稱為最大長度碼，由于所有非零碼字的重量均為 ，又稱為等距碼或單形（ simplex）碼。 階實(shí) Hadamard矩陣由元素為 +1， 1的矩陣遞歸定義為 ? ?mNN 2?? ???????????????2/2/2/2/1 1NNNNNHHHHHH例如 ????????????????????????????????????????1111111111111111,111142HH Hadamard矩陣為正交矩陣，即 中的任意不同兩行（列）的點(diǎn)積為 0，即 NH10 , Ni j ik jkkh h h h i j?? ? ? ??NTNN INHH ??? 超正交矩陣 ： Hadamard矩陣 中的第 1列（全 +1列）去掉后由于任兩行的點(diǎn)積為 1。具體的 Hadamard碼的選擇構(gòu)成有正交碼、雙正交碼和超正交碼三種形式。 NH???????????????? 1222/l og22mmmNdmNkNMNn最小碼距信息位長碼字?jǐn)?shù)碼長（ B）雙正交碼：以 和 的全部行向量的 0/1映射向量為碼字。 NH~?????????????? 122/2121mmmNdNMNn可以證明正交碼、雙正交碼和超正交碼均是線性分組碼。 2） 為 矩陣 ， 由所有可能的 m元組組成矩陣的列向量 。 兩向量的叉積為 4） 為 的所有三不同行向量的叉積構(gòu)成其全部行向量的矩陣 。 0Gm21?1Gmm 2?2G 1G? ?nn babababa ????? , 2211 ?3G 1G1GrG r 例 的 階 RM碼的各個(gè)子矩陣有 3?m r? ? ? ?????????????????????????32110010101010110011001111000011111111gggGgG? ?? ?? ?? ?1000000010001000 10100000 11000000 321323121?????????ggggggggg 碼的對偶碼仍是一個(gè) ReedMuller碼，為 碼。 循環(huán)碼 167。 167。 167。 167。 循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述 167。 167。 167。 RS碼 更好的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)線性分組碼的方法是引入特定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)來界定某一類線性分組碼。 循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?0 1 2 111 0 1 3 21 1 0 1 1, , , , 0 , 1, , , , , , , , , , , , 1 , 2 , ,n n in n nin i n i n n ia a a a a aa a a a a aa a a a a a a i n??? ? ?? ? ? ? ? ???????????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?121 2 1 01 1 2 22 3 1 01 2 1 11 2 1 0 10 , 1nnn n innn n ni n n i i in i n i n n ia x a x a x a x a aa x a x a x a x a x aa x a x a x a x a x a x a????????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 m o d 1 m o d 1ni ina x x a x xa x x a x x????定義 如果一個(gè)線性分組碼的任意一個(gè)碼字 c(n元組 )都是另外一個(gè)碼字 c’ 的循環(huán)移位 ,稱此線性分組碼為一個(gè)循環(huán)碼 . 將循環(huán)碼的碼字用多項(xiàng)式 c(x)，稱為碼多項(xiàng)式（簡稱碼式）表示后，循環(huán)碼集合表示 C(x), ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,iiC c c b b C C x c x c x b x b x C x? ? ? ? ? ? ?例 如下確定的 CA是線性循環(huán)碼， CB是非循環(huán)的線性分組碼， CC是非線性的循環(huán)碼。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,C x c x c x a x g x a x k? ? ? ? ?循環(huán)碼由生成多項(xiàng)式的倍式組成 定理： g(x)是（ n,k）循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式， 當(dāng)且僅當(dāng) g(x)是 xn1的 r=nk次因式。 167。 167。 167。 RS碼 (n,k)循環(huán)碼的生成矩陣為 0 1 2 10 1 2 10 1 1, , , , , , 0 , , 00 , , , , , , , , 00 , 0 , , 0 , , , , , rrr r rrr kng g g g gg g g g gGg g g g???? ??????????(n,k)循環(huán)碼的校驗(yàn)矩陣為 101010, , , 0 , 0 , 00 , , , , 0 , 00 , 0 , , ,kkkkk rnh h hh h hHh h h?? ????????????167。 167。 167。 167。 167。 167。 167。 RS碼 多項(xiàng)式運(yùn)算電路 因?yàn)槎囗?xiàng)式 ? ?11 1 0nnnna x a x a x a x a??? ? ? ? ?表示時(shí)間序列 ? ?0 1 2 1, , , , ,nna a a a a a??所以多項(xiàng)式的計(jì)算表現(xiàn)為對時(shí)間序列的操作 . 多項(xiàng)式 a(x)與 b(x相加電路 a(x)與 g(x)的一般乘法電路 167。 167。 167。 167。 循環(huán)碼的多項(xiàng)式描述 167。 系統(tǒng)循環(huán)碼 167。 循環(huán)碼的編碼電路 167。 BCH碼與 RS碼 循環(huán)碼的譯碼分成檢錯(cuò)譯碼與糾錯(cuò)譯碼兩類 . 循環(huán)碼的糾錯(cuò)譯碼要達(dá)到碼的最小距離依賴于具體的循環(huán)碼的結(jié)構(gòu) . 167。 167。 167。 167。對于任意的整數(shù) m和可達(dá)到糾錯(cuò)數(shù) t，都可以構(gòu)造出一個(gè)設(shè)計(jì)距離為 d0的二元本原 BCH碼滿足： n=2m1,r=nk≤mt,dmin≥d0=2t+1 RS碼是多元 BCH碼的一個(gè)子類，碼字向量 的每個(gè)分量可以表示 `為 m比特，其基本參數(shù)為： 碼長： n=2m1( 符號 )=m(2m1)（比特） 校驗(yàn)位長： r=nk=2t(符號 )=m 卷積碼 167。 167。 167。 167。 （ Viterbi）譯碼算法 卷積碼編碼 ： 當(dāng)前輸出 ? ?vl 不僅與當(dāng)前輸入消息 ? ?ul相關(guān)，還與此前輸入的 m 個(gè)消息 ? ? ? ?1 , ,u l u l m?? 相關(guān)， ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, 1 , , , 0 ,1 , 2 ,v l f u l u l u l m l? ? ? ?? ?,n k m 二元線性卷積碼 ： f 是僅由模二加運(yùn)算組成的 布爾函數(shù) u 的長度恒為 k 比特， v 的 長度恒為 n比特，均稱為一段 任意一輸入段 ? ?u l h? 與輸出段 ? ?vl的關(guān)系都是一個(gè)特殊的 ? ?,nk線性分組碼的編碼 ? ? ? ? , 0 ,1 , 2 , ,hv l u l h G h m? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0101 1 01 1 0001 0 10 1 11 1 2 1mmmmv u Gv u G u Gv m u G u G u m G u m Gv m u G u G u m G u m G?????