【正文】 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?卷積編碼的離散卷積表達式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?1 1 0011, 0 , 1 , 2 ,0 , 0mmmhhv l u l m G u l m G u l G u l Gu l h G lu l l??? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ???? ????卷積碼的記憶長度（段）： m約束長度（段）： 1Km?? 或 An K n??結(jié)尾處理 ：額外輸入 m 段無效的 0數(shù)據(jù) 比特，保證編碼器回到 全 0的初態(tài) 有限 L 段長消息的編碼速率為： LR漸近編碼速率 ： R1LL k k mRL n m n n L m??? ? ???????? ?, kRLn? ? ?? ?0 1 2, , 0 , 0 , , 0 , ( , , , ) , 0 , 1imkC v v u G u u u u u u u??? ??????? ? ? ? ??????? 個卷積碼的生成矩陣 G?0 1 2 10 1 2 10 1 2 1mmmmmmG G G G GG G G G GGG G G G G?????????????二元線性 ? ?,n k m 卷積碼 C定義 基本生成矩陣 BG：生成矩陣 G?的前 k 行， ? ?1mn? 列組成的子矩陣 第 i 個生成元 ig ： BG的第 i 行，描述 了所有各段輸入中的第 i 位輸入比特 對所有 輸出比特 的影響 ? ? ? ?? ?0 1 2 1 1 , , , ,TB m m i kit k K nG G G G G G g g gg?????將 BG 的元素 itg的列下標 t 表示為 , 1 , 2 , , , 0 , 1 , 2 , ,t j h n j n h m? ? ? ?則輸入 移位寄存器 中的第 h 段的第 i位輸入比特 ? ?,u l t i?參與第 j 位輸出比特的編碼 1itg ?不參與第 j 位輸出比特的編碼 0itg ?卷積碼 的子生成元或 生成序列 ： 1m?元組 ? ?,g i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?, , , 2 , , , , , , ,1 , 2 , , , 1 , 2 , , , 0 , 1 , 2 , ,ij i n j i n j i h n j i m n jg g g g gg i ji k j n h m? ? ? ?? ???? ? ???? ?,n k m 線性卷積碼的矩陣（或向量） 描述 ： 生成矩陣 G?， 基本生成矩陣 BG，生成序列（生成元） ? ?? ?,g i j系統(tǒng)卷積碼 ：卷積碼每段輸出的 n 位中有 k 位（如當前 k 位）恒等于每段輸入的 k 位 ? ?? ?00 0 , 1 , 2 , ,k knhh knG I PG P h m??? ???????其中 0 , hPP均為 ? ?k n k?? 矩陣。 167。 167。 定理 線性 ? ?,n k m 卷積碼的多項式生成矩陣 ? ?Gx? ? ? ? ? ?, knG x g i j x ?? ????對 1 , 2 , , , 1 , 2 , ,i k j n??滿足 ? ?? ?,g i j x 的 hx 冪次項系數(shù) 等于 生成序列 ? ?,g i j 的第 h 個分量， 0 , 1 , 2 , ,hm?1 即 ? ? ? ? , , , mi j i n j i m n jg i j x g g x g x??? ? ? ?? ?? ?,g i j x 的 最大次數(shù) 等于卷積碼的記 憶長度 m ，即 ? ? ? ?? ?,m a x ,ijm g i j x? ? ?2 例 前述例（ 2,1,2）卷積碼重畫如圖 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?212211v x x x u xv x x u x? ? ? ???????? ? 22[ 1 ,1 ]G x x x x? ? ? ?167。 167。 （ Viterbi）譯碼算法 卷積碼與分組碼的 明顯區(qū)別 是卷積碼編 碼器要存儲 m段信息，這些信息數(shù)據(jù)既要 因新的輸入而改變，又要影響當前的編碼 輸出，因此稱存儲表達這些數(shù)據(jù)的參量為 卷積編碼器的內(nèi)部狀態(tài)， 簡稱狀態(tài)。 ? ?,n k m 卷積編碼器有效的 存貯單元 數(shù)為 M1kiiM m k m????其中 im為每個輸入移位寄存器的 有效級數(shù) （寄存單元數(shù)）。? ）。? 的轉(zhuǎn)移過程，記為 （ ， ）或（ ? ?l? ， ? ?1l? ? ），并標 記為 ? ? ? ?/v l u l 或 /vu? 39。? 與 ? ?,u? 的關(guān)系 ? ?39。 例 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（閉合形） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖（開放形） 狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和輸出方程分別為 1211 1 22239。uvuvu???????????? ? ??????卷積編碼器工作過程： * 卷積編碼器工作初態(tài)為 （全 0狀態(tài)） ? ?00 S??* 消息段序列 產(chǎn)生輸出段序列 ? ?? ? ? ? ? ?0 , 1 , , ,u u u u l?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ,2,1,0 l????? ?* 消息段序列 產(chǎn)生狀態(tài)序列 ? ?? ? ? ? ? ?0 , 1 , , ,u u u u l? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?0 , 1 , 2 , ,l? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ?llul ??? ,1 ??? ? ? ? ? ?? ?,v l u l l???柵格圖或籬笆圖 ： 開放形的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖按時間順序級聯(lián) 編碼路徑 ：狀態(tài)序列 在柵格圖中形成一條有向路徑 ?一個卷積碼碼字 ： 有向路徑始于全 0狀態(tài) ，又終于 時的一條有向路徑 0S 0S對于 的卷積碼，常用實線表示 時輸入產(chǎn)生的轉(zhuǎn)移分支，用虛線表示 時輸入產(chǎn)生的轉(zhuǎn)移分支 1?k 0?u1?u例 前述例 （ 2， 1， 2）碼的柵格圖及幾條路徑例 路徑 A 消息 A（ 100） 輸出 A（ 11 10 11） 路徑 B 消息 B（ 10110） 輸出 B（ 11 10 00 01 01） 路徑 C 消息 C（ 110100） 輸出 C（ 11 01 10 01 11） ? ?0210 , SSSS? ?231210 , SSSSSS? ?023310 , SSSSSS（ 1）卷積碼的一個分支或轉(zhuǎn)移是柵格圖（或狀態(tài)圖）中接續(xù)狀態(tài)的容許連接。 （ 3） 卷積碼的碼字是始于零狀態(tài)并首次終于零狀態(tài)的路徑。 167。 167。 m a x39。l o gm a x?定義 定義 ??l???l?連接至狀態(tài) 幸存路徑 ： 具有最大累積度量值 的路徑 的幸存分支： 的最后分支 ? ?? ?l?? ? ? ? ? ? ?? ?1,1,0 ?? lpspspsps ?ps ? ?1?lps? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ??? ?????????????? 10101,039。l o g 39。l o g m a xlllllplpslrplplrp顯然每個狀態(tài)有 個可能的分支度量，每個狀態(tài)只有一條幸存路徑，每個時刻有 個可能的分支度量，每個時刻有 條幸存路徑 k2Mk?2M2定義 有限長度 的 Viterbi算法 ： L（ ） 段計數(shù) =0 （ ） 最大累積度量值 （ ） 幸存路徑 l? ? Mi i 2,2,1 ,00 ????? ? ? ? Mi ips 2,2,1 ,0,0 ???（ 1）初始化 （ 2）迭代 （ ） 接收序列段 （ ） 段計數(shù)加 1， （ ）對 重復(fù)進行 ??lr1?? llMi 2,2,1 ??（ ）對 分別計算分支度量值 （ ）對 分別計算累積度量值 （ ）計算最大累積度量值 （ ）形成第 狀態(tài) 的幸存分支 ，并存貯到達此狀態(tài)的幸存 路徑 k2,2,1j ?? ??lji?k2,2,1j ?? ??lji?? ? ? ? ? ?lll jjj iii ?????? 1??ldi?? ? ? ?? ?ll jkd iji ??? ? 2,2,1m a x?i ??li? ? ?1?lps i? ?1,0 ?lps i? ? ? ? ? ?? ?lllps iii d ?? ,11 ???? ? ? ? ? ?? ?1,2,01,0 ???? lpslpslps iii d（ 3）輸出 （ ）若 ，則返回第（ 2）步迭代 Ll?（ ）若 ，則求最大累積度量值為的幸存路徑 并輸出該條路 徑對應(yīng)的消息序列 。 Lu LLv例 （ 2， 1， 2）碼其自由距離 =5 fd定義