【正文】 點D，在△AN2D與△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2點的縱坐標為．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．綜上所述，符合條件的點N的坐標為（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．【點評】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進行分類討論．【同步練】（煙臺市 2015 中考 24）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0），（0，﹣2），點D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點E是⊙M與y軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FH⊥AD于點H，且FH=（1）求點D的坐標及該拋物線的表達式；（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出△PEF的周長最小時點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．類型五：拋物線下的動態(tài)存在問題【例題5】（棗莊市 2015 中考 25）如圖，直線y=x+2與拋物線（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．思路分析：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識解題時注意聯(lián)系，對于題（1）已知B（4，m）在直線y=x+2上，很容易求得m的值，又因為已知拋物線圖象上的A、B兩點坐標，可將其代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求得待定系數(shù)的值．（2）要弄清PC的長，實際是直線AB與拋物線函數(shù)值的差．可設(shè)出P點橫坐標，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標，進而得到關(guān)于PC與P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出PC的最大值．對于題（3）當△PAC為直角三角形時，根據(jù)直角頂點的不同，需要結(jié)合圖形從三種情況進行分類討論，分別求解．解題過程：解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在拋物線上，∴，解得，∴拋物線的解析式為．（2）設(shè)動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（，），∴PC=（+2）﹣（），=，=，∵PC＞0，∴當n=時，線段PC最大且為．（3）∵△PAC為直角三角形，i）若點P為直角頂點，則∠APC=90176。因此這種情形不存在；ii）若點A為直角頂點，則∠PAC=90176。．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴拋物線的對稱軸為直線x=2．如答圖3﹣2，作點A（，）關(guān)于對稱軸x=2的對稱點C，則點C在拋物線上，且C（，）．當x=時，y=x+2=．∴P2（，）．∵點P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）． 規(guī)律總結(jié)：熟練把握關(guān)于二次函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)最值的應(yīng)用以及直角三角形的判定、函數(shù)圖象交點坐標的求法等知識是解此類綜合性強的問題的關(guān)鍵．【同步練】（2016？（4）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得∠PBF被BA平分？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．類型六：拋物線與相似的綜合問題【例題6】（煙臺市 2014 中考 26）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A，C分別在y軸，x軸上，∠ACB=90176。∵∠ACB=90176。∴∠ACO=∠CBF，∵∠AOC=∠CFB=90176?！唷鱋CD≌△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，∴點B、C、D在同一直線上，∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱，∴點B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上．（3）過點E作EG⊥y軸于點G，設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b，則，解得k=﹣，∴y=﹣x+，代入拋物線的表達式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，當x=﹣2時y=﹣x+=﹣（﹣2）+=，∴點E的坐標為（﹣2，），∵tan∠EDG===，∴∠EDG=30176。∴∠OAC=∠EDG，∴ED∥AC． 【點評】本題考查了待定系數(shù)法求解析式，三角形相似的判定及性質(zhì)，以及對稱軸的性質(zhì)和解三角函數(shù)等知識的理解和掌握．【同步練】（201614分）如圖，直線y=﹣x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，兩動點D，E分別從點A，點B同時出發(fā)向點O運動（運動到點O停止），運動速度分別是1個單位長度/秒和個單位長度/秒，設(shè)運動時間為t秒，以點A為頂點的拋物線經(jīng)過點E，過點E作x軸的平行線，與拋物線的另一個交點為點G，與AB相交于點F．（1）求點A，點B的坐標；（2）用含t的代數(shù)式分別表示EF和AF的長；（3）當四邊形ADEF為菱形時，試判斷△AFG與△AGB是否相似，并說明理由．（4）是否存在t的值，使△AGF為直角三角形？若存在，求出這時拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【達標檢測】1. （20168分）科技館是少年兒童節(jié)假日游玩的樂園．如圖所示，圖中點的橫坐標x表示科技館從8：30開門后經(jīng)過的時間（分鐘），縱坐標y表示到達科技館的總?cè)藬?shù)．圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=，10：00之后來的游客較少可忽略不計．（1）請寫出圖中曲線對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）為保證科技館內(nèi)游客的游玩質(zhì)量，館內(nèi)人數(shù)不超過684人，后來的人在館外休息區(qū)等待．從10：30開始到12：00館內(nèi)陸續(xù)有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內(nèi)人數(shù)減少到624人時，館外等待的游客可全部進入．請問館外游客最多等待多少分鐘？2. （201612分）正方形OABC的邊長為4，對角線相交于點P，拋物線L經(jīng)過O、P、A三點，點E是正方形內(nèi)的拋物線上的動點．（1）建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担僦苯訉懗鯫、P、A三點坐標；②求拋物線L的解析式；（2）求△OAE與△OCE面積之和的最大值．3. （201612分）如圖1，已知開口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過點A（m，1），與y軸交于點C，頂點為B，將拋物線y1繞點C旋轉(zhuǎn)180176。黑龍江齊齊哈爾湖北荊州福建龍巖浙江省湖州市）如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，1），點C（0，4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；（2）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P是直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）將點A、點C的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；（2）點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得∠MCP=90176?！唷螻CM=90176。則點D與點C必為相似三角形對應(yīng)點①若有△PCM∽△BDC，則有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45176。CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若點P在y軸左側(cè)，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3247。四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點坐標代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標，確定出P坐標，當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當|PM﹣AM|的最大值時M坐標，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3；（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，∴點P的坐標為（5，3），當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形；（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k=，b=﹣，∴直線PA的解析式為y=x﹣，當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，∴當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，解方程組，得或，∴點M的坐標為（1，0）或（﹣5，﹣）時，|PM﹣AM|的值最大，此時|PM﹣AM|的最大值為5．【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．．類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【同步練】（201612分）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E． （1）判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）經(jīng)過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止．當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經(jīng)過的最短路徑的長； （3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為點E′，點A的對應(yīng)點為點A′，將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至△A1OC1的位置，點A，C的對應(yīng)點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E′的坐標；若不能，請說