【文章內容簡介】 點C的坐標代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點M的坐標；（2）點M是沿著對稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得∠MCP=90176。，則若△PCM與△BCD相似，則要進行分類討論，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對應比值求出點坐標．【解答】解：（1）把點A（3，1），點C（0，4）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴點M的坐標為（1，5）；（2）設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（3，1），C（0，4）代入得，解得∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點E、點F把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3，則點E坐標為（1，3），點F坐標為（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；（3）連接MC，作MG⊥y軸并延長交AC于點N，則點G坐標為（0，5）∵MG=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，則點N坐標為（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45176。，∴∠NCM=90176。，由此可知，若點P在AC上，則∠MCP=90176。，則點D與點C必為相似三角形對應點①若有△PCM∽△BDC，則有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45176。，若點P在y軸右側，作PH⊥y軸，∵∠PCH=45176。，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若點P在y軸左側，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3247。=3，若點P在y軸右側，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若點P在y軸左側，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合題意得點P坐標有4個，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【同步練】（2016四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C分別為坐標軸上上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標系xOy中是否存在一點P，使得以以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）若點M為該拋物線上一動點，在（2）的條件下，請求出當|PM﹣AM|的最大值時點M的坐標，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．【分析】（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點坐標代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當BP與AC平行且相等時，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標，確定出P坐標，當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關系|PM﹣AM|＜PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當|PM﹣AM|的最大值時M坐標，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．【解答】解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3；（2）在平面直角坐標系xOy中存在一點P，使得以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形，理由為：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，當BP平行且等于AC時，四邊形ACBP為菱形，∴BP=AC=5，且點P到x軸的距離等于OB，∴點P的坐標為（5，3），當點P在第二、三象限時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當點P的坐標為（5，3）時，以點A、B、C、P為頂點的四邊形為菱形；（3）設直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k=，b=﹣，∴直線PA的解析式為y=x﹣，當點M與點P、A不在同一直線上時，根據(jù)三角形的三邊關系|PM﹣AM|＜PA，當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|=PA，∴當點M與點P、A在同一直線上時，|PM﹣AM|的值最大，即點M為直線PA與拋物線的交點，解方程組，得或，∴點M的坐標為（1，0）或（﹣5，﹣）時，|PM﹣AM|的值最大，此時|PM﹣AM|的最大值為5．【點評】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：二次函數(shù)的性質，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標與圖形性質，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關鍵．．類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【同步練】（2016重慶市A卷12分）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E． （1）判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）經過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止．當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經過的最短路徑的長； （3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E′，點A的對應點為點A′，將△AOC繞點O順時針旋轉至△A1OC1的位置，點A，C的對應點分別為點A1，C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E′的坐標；若不能，請說明理由． 【分析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點坐標，再用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形； （2）先求出S△PCD最大時，點P（，），然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長，計算即可； （3）△A′C1E′是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計算即可． 【解答】解：（1）△ABC為直角三角形， 當y=0時，即﹣x2+x+3=0， ∴x1=﹣，x2=3 ∴A（﹣，0），B（3，0）， ∴OA=，OB=3， 當x=0時，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3， 根據(jù)勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36， ∴AC2+BC2=48， ∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， （2）如圖， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直線BC解析式為y=﹣x+3， 過點P作∥y軸， 設P（a，﹣ a2+a+3）， ∴G（a，﹣ a+3）， ∴PG=﹣a2+a， 設點D的橫坐標為xD，C點的橫坐標為xC， S△PCD=（xD﹣xC）PG=﹣（a﹣）2+， ∵0＜a＜3， ∴當a=時，S△PCD最大，此時點P（，）， 將點P向左平移個單位至P′，連接AP′，交y軸于點N，過點N作MN⊥拋物線對稱軸于點M， 連接PM，點Q沿P→M→N→A，運動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長， ∴P（，） ∴P′（，）， ∵點A（﹣，0）， ∴直線AP′的解析式為y=x+， 當x=0時，y=， ∴N（0，）， 過點P′作P′H⊥x軸于點H， ∴AH=，P′H=，AP′=， ∴點Q運動得最短路徑長為PM+MN+AN=+=； （3）在Rt△AOC中， ∵tan∠OAC==， ∴∠OAC=60176。， ∵OA=OA1， ∴△OAA1為等邊三角形， ∴∠AOA1=60176。， ∴∠BOC1=30176。， ∵OC1=OC=3， ∴C1（，）， ∵點A（﹣，0），E（，4）， ∴AE=2， ∴A′E′=AE=2， ∵直線AE的解析式為y=x+2， 設點E′（a， a+2）， ∴A′（a﹣2，﹣2） ∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7， C1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49， ①若C1A′=C1E′，則C1A′2=C1E′2 即： a2﹣a+7=a2﹣a+49， ∴a=， ∴E′（，5）， ②若A′C1=A′E′， ∴A′C12=A′E′2 即： a2﹣a+49=28， ∴a1=，a2=， ∴E′（，7+），或（，7﹣）， ③若E′A′=E′C1， ∴E′A′2=E′C12 即： a2﹣a+7=28， ∴a1=，a2=（舍）， ∴E′（，3+）， 即，符合條件的點E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）． 【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)極值的確定方法，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是分類討論，也是解本題的難點．類型四：拋物線下的動態(tài)最值問題【同步練】（煙臺市 2015 中考 24）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點，其中A、B兩點的坐標分別為（﹣1，0），（0，﹣2），點D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點E是⊙M與y軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FH⊥AD于點H，且FH=（1）求點D的坐標及該拋物線的表達式；（2）若點P是x軸上的一個動點，試求出△PEF的周長最小時點P的坐標；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．【解析】（1）首先根據(jù)圓的軸對稱性求出點D的坐標，將A、B、D三點代入，即可求出本題的答案；（2）由于點E與點B 關于x軸對稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點，即為點P，據(jù)此即可得解；（3）從CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三個方面進行分析，據(jù)此即可得解．【解答】解：（1）連接BD，∵AD是⊙M的直徑，∴∠ABD=90176?！唷鰽OB∽△ABD，∴=，在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，根據(jù)勾股定理得：AB=，∴，∴AD=5，∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，∴D（4，0），把點A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：，解得：，∴拋物線表達式為：；（2）連接FM，在Rt△FHM中，F(xiàn)M=，F(xiàn)H=，∴MH==2，OM=AM﹣OA=﹣1=，∴OH=OM+MH=+2=，∴F（，），設直線BF的解析式為y=kx+b，則：，∴直線BF的解析式為：y=x﹣2，連接BF交x軸于點P，∵點E與點B關于x軸對稱，∴點P即為所求，當y=0時，x=2，∴P（2，0）；（3）如圖，CM=拋物線的對稱軸為直線x=，∵OM=，∴點M在直線x=上，根據(jù)圓的對稱性可知，點C與點B關于直線x=對稱，∴點C（3，﹣2），①當CM=MQ=時，點Q可能在x軸上方，也可能在x軸下方，∴Q1（，），Q