【文章內(nèi)容簡介】 點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出b、c的值，通過配方法得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是沿著對(duì)稱軸直線x=1向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=1代入求出點(diǎn)M在向下平移時(shí)與AC、AB相交時(shí)y的值，即可得到m的取值范圍；（3）由題意分析可得∠MCP=90176。，則若△PCM與△BCD相似，則要進(jìn)行分類討論，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB兩種，然后利用邊的對(duì)應(yīng)比值求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)A（3，1），點(diǎn)C（0，4）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c得，解得∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+2x+4，配方得y=﹣（x﹣1）2+5，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，5）；（2）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（3，1），C（0，4）代入得，解得∴直線AC的解析式為y=﹣x+4，如圖所示，對(duì)稱軸直線x=1與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F把x=1代入直線AC解析式y(tǒng)=﹣x+4解得y=3，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（1，3），點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，1）∴1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；（3）連接MC，作MG⊥y軸并延長交AC于點(diǎn)N，則點(diǎn)G坐標(biāo)為（0，5）∵M(jìn)G=1，GC=5﹣4=1∴MC==，把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，則點(diǎn)N坐標(biāo)為（﹣1，5），∵NG=GC，GM=GC，∴∠NCG=∠GCM=45176。，∴∠NCM=90176。，由此可知，若點(diǎn)P在AC上，則∠MCP=90176。，則點(diǎn)D與點(diǎn)C必為相似三角形對(duì)應(yīng)點(diǎn)①若有△PCM∽△BDC，則有∵BD=1，CD=3，∴CP===，∵CD=DA=3，∴∠DCA=45176。，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，作PH⊥y軸，∵∠PCH=45176。，CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4，解得y=，∴P1（）；同理可得，若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，則把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=∴P2（）；②若有△PCM∽△CDB，則有∴CP==3∴PH=3247。=3，若點(diǎn)P在y軸右側(cè)，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；若點(diǎn)P在y軸左側(cè)，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．∴所有符合題意得點(diǎn)P坐標(biāo)有4個(gè)，分別為P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．類型二：拋物線與四邊形的綜合問題【同步練】（2016四川眉山）已知如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B、C分別為坐標(biāo)軸上上的三個(gè)點(diǎn)，且OA=1，OB=3，OC=4，（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中是否存在一點(diǎn)P，使得以以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)M為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)，并直接寫出|PM﹣AM|的最大值．【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a，b，c的值，即可確定出所求拋物線解析式；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：根據(jù)OA，OB，OC的長，利用勾股定理求出BC與AC的長相等，只有當(dāng)BP與AC平行且相等時(shí)，四邊形ACBP為菱形，可得出BP的長，由OB的長確定出P的縱坐標(biāo)，確定出P坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形；（3）利用待定系數(shù)法確定出直線PA解析式，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|=PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與拋物線解析式，求出當(dāng)|PM﹣AM|的最大值時(shí)M坐標(biāo)，確定出|PM﹣AM|的最大值即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），∴，解得：a=﹣，b=﹣，c=3，∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3；（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，理由為：∵OB=3，OC=4，OA=1，∴BC=AC=5，當(dāng)BP平行且等于AC時(shí)，四邊形ACBP為菱形，∴BP=AC=5，且點(diǎn)P到x軸的距離等于OB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3），當(dāng)點(diǎn)P在第二、三象限時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，則當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）時(shí)，以點(diǎn)A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為菱形；（3）設(shè)直線PA的解析式為y=kx+b（k≠0），∵A（1，0），P（5，3），∴，解得：k=，b=﹣，∴直線PA的解析式為y=x﹣，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不在同一直線上時(shí)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系|PM﹣AM|＜PA，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|=PA，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)P、A在同一直線上時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，即點(diǎn)M為直線PA與拋物線的交點(diǎn)，解方程組，得或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）或（﹣5，﹣）時(shí)，|PM﹣AM|的值最大，此時(shí)|PM﹣AM|的最大值為5．【點(diǎn)評(píng)】此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定拋物線解析式、一次函數(shù)解析式，菱形的判定，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．．類型三：拋物線與圖形變換的綜合問題【同步練】（2016重慶市A卷12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E． （1）判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PCD的面積最大時(shí)，Q從點(diǎn)P出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到拋物線的對(duì)稱軸上點(diǎn)M處，再沿垂直于拋物線對(duì)稱軸的方向運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸上的點(diǎn)N處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A處停止．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及點(diǎn)Q經(jīng)過的最短路徑的長； （3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)E在射線AE上移動(dòng)，點(diǎn)E平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E′，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，將△AOC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A1OC1的位置，點(diǎn)A，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A1，C1，且點(diǎn)A1恰好落在AC上，連接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)E′的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由． 【分析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形； （2）先求出S△PCD最大時(shí)，點(diǎn)P（，），然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長，計(jì)算即可； （3）△A′C1E′是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計(jì)算即可． 【解答】解：（1）△ABC為直角三角形， 當(dāng)y=0時(shí)，即﹣x2+x+3=0， ∴x1=﹣，x2=3 ∴A（﹣，0），B（3，0）， ∴OA=，OB=3， 當(dāng)x=0時(shí)，y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=3， 根據(jù)勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36， ∴AC2+BC2=48， ∵AB2=[3﹣（﹣）]2=48， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， （2）如圖， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴直線BC解析式為y=﹣x+3， 過點(diǎn)P作∥y軸， 設(shè)P（a，﹣ a2+a+3）， ∴G（a，﹣ a+3）， ∴PG=﹣a2+a， 設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為xD，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xC， S△PCD=（xD﹣xC）PG=﹣（a﹣）2+， ∵0＜a＜3， ∴當(dāng)a=時(shí)，S△PCD最大，此時(shí)點(diǎn)P（，）， 將點(diǎn)P向左平移個(gè)單位至P′，連接AP′，交y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)N作MN⊥拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M， 連接PM，點(diǎn)Q沿P→M→N→A，運(yùn)動(dòng)，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長， ∴P（，） ∴P′（，）， ∵點(diǎn)A（﹣，0）， ∴直線AP′的解析式為y=x+， 當(dāng)x=0時(shí)，y=， ∴N（0，）， 過點(diǎn)P′作P′H⊥x軸于點(diǎn)H， ∴AH=，P′H=，AP′=， ∴點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)得最短路徑長為PM+MN+AN=+=； （3）在Rt△AOC中， ∵tan∠OAC==， ∴∠OAC=60176。， ∵OA=OA1， ∴△OAA1為等邊三角形， ∴∠AOA1=60176。， ∴∠BOC1=30176。， ∵OC1=OC=3， ∴C1（，）， ∵點(diǎn)A（﹣，0），E（，4）， ∴AE=2， ∴A′E′=AE=2， ∵直線AE的解析式為y=x+2， 設(shè)點(diǎn)E′（a， a+2）， ∴A′（a﹣2，﹣2） ∴C1E′2=（a﹣2）2+（+2﹣）2=a2﹣a+7， C1A′2=（a﹣2﹣）2+（﹣2﹣）2=a2﹣a+49， ①若C1A′=C1E′，則C1A′2=C1E′2 即： a2﹣a+7=a2﹣a+49， ∴a=， ∴E′（，5）， ②若A′C1=A′E′， ∴A′C12=A′E′2 即： a2﹣a+49=28， ∴a1=，a2=， ∴E′（，7+），或（，7﹣）， ③若E′A′=E′C1， ∴E′A′2=E′C12 即： a2﹣a+7=28， ∴a1=，a2=（舍）， ∴E′（，3+）， 即，符合條件的點(diǎn)E′（，5），（，7+），或（，7﹣），（，3+）． 【點(diǎn)評(píng)】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)極值的確定方法，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是分類討論，也是解本題的難點(diǎn)．類型四：拋物線下的動(dòng)態(tài)最值問題【同步練】（煙臺(tái)市 2015 中考 24）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c與⊙M相交于A、B、C、D四點(diǎn)，其中A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（﹣1，0），（0，﹣2），點(diǎn)D在x軸上且AD為⊙M的直徑．點(diǎn)E是⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，過劣弧上的點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，且FH=（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及該拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試求出△PEF的周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QCM是等腰三角形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）首先根據(jù)圓的軸對(duì)稱性求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，將A、B、D三點(diǎn)代入，即可求出本題的答案；（2）由于點(diǎn)E與點(diǎn)B 關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，連接BF，直線BF與x軸的交點(diǎn)，即為點(diǎn)P，據(jù)此即可得解；（3）從CM=MQ，CM=CQ，MQ=CQ三個(gè)方面進(jìn)行分析，據(jù)此即可得解．【解答】解：（1）連接BD，∵AD是⊙M的直徑，∴∠ABD=90176?！唷鰽OB∽△ABD，∴=，在Rt△AOB中，AO=1，BO=2，根據(jù)勾股定理得：AB=，∴，∴AD=5，∴DO=AD﹣AO=5﹣1=4，∴D（4，0），把點(diǎn)A（﹣1，0）、B（0，﹣2）、D（4，0）代入y=ax2+bx+c可得：，解得：，∴拋物線表達(dá)式為：；（2）連接FM，在Rt△FHM中，F(xiàn)M=，F(xiàn)H=，∴MH==2，OM=AM﹣OA=﹣1=，∴OH=OM+MH=+2=，∴F（，），設(shè)直線BF的解析式為y=kx+b，則：，∴直線BF的解析式為：y=x﹣2，連接BF交x軸于點(diǎn)P，∵點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)P即為所求，當(dāng)y=0時(shí)，x=2，∴P（2，0）；（3）如圖，CM=拋物線的對(duì)稱軸為直線x=，∵OM=，∴點(diǎn)M在直線x=上，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于直線x=對(duì)稱，∴點(diǎn)C（3，﹣2），①當(dāng)CM=MQ=時(shí)，點(diǎn)Q可能在x軸上方，也可能在x軸下方，∴Q1（，），Q