20xx年中考?jí)狠S題專(zhuān)題：與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(附答案)(編輯修改稿)
2025-07-25 07:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ，0），∵直線y=﹣x+k為直線y=﹣x向上平移k個(gè)單位得到，∴∠PCD=45176。，∴△PCD為等腰直角三角形，∵CP和OB為⊙A的切線，∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四邊形ABDE為矩形，∠APE=45176。，∴DE=AB=1，∵△APE為等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt△PCD中，∵PC=PD，∴2+k=（+1），解得k=﹣1，∴n+m的最大值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵是確定直線y=﹣x+k與⊙A相切時(shí)n+m的最大值．例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1. 解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，∴CE=AB=．∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．2.（1）；（2）；變式題：（2011?邯鄲一模）如圖是某種圓形裝置的示意圖，圓形裝置中，⊙O的直徑AB=5，AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，tan∠CAB=．其運(yùn)動(dòng)過(guò)程是：點(diǎn)P在弧AB上滑動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．（1）當(dāng)PC= 時(shí)，CQ與⊙O相切；此時(shí)CQ= ．（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】（1）當(dāng)CQ為圓O的切線時(shí)，CQ為圓O的切線，此時(shí)CP為圓的直徑，由CQ垂直于直徑CP，得到CQ為切線，即可得到CP的長(zhǎng)；由同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出CQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，如圖1所示，此時(shí)CP⊥AB于D，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB與AB的長(zhǎng)，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC與BC的長(zhǎng)，再由三角形ABC的面積由兩直角邊乘積的一半來(lái)求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD的一半來(lái)求，求出CD的長(zhǎng)，得到CP的長(zhǎng)，同弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的長(zhǎng)即可求出CQ；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，由P是弧AB的中點(diǎn)，得到∠PCB=45176。，得到三角形EBC為等腰直角三角形，由CB的長(zhǎng)，求出CE與BE的長(zhǎng)，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函數(shù)定義求出PE的長(zhǎng)，由CP+PE求出CP的長(zhǎng)，即可求出CQ的長(zhǎng)．【解答】解：（1）當(dāng)CP過(guò)圓心O，即CP為圓O的直徑時(shí)，CQ與⊙O相切，理由為：∵PC⊥CQ，PC為圓O的直徑，∴CQ為圓O的切線，此時(shí)PC=5；∵∠CAB=∠CPQ，∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ===，則CQ=；故答案為：5；；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)時(shí)，如圖1所示，此時(shí)CP⊥AB于D，圖1圖2又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90176。，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3，又∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，即34=5CD，∴CD=，∴PC=2CD=，在Rt△PCQ中，∠PCQ=90176。，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ==；（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖2所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，∵P是弧AB的中點(diǎn)，∠PCB=45176。，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，∴tan∠CPB=tan∠CAB==，∴PE==BE=，∴PC=CE+PE=2+=，由（2）得，CQ=PC=．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．再變式：如圖3時(shí)，CQ最長(zhǎng)。圖3例三、正弦定理1. 解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45176。，AB=2∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的半徑為1，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60176。，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1=，由垂徑定理可知EF=2EH=，故答案為：．例三1答圖例三2答圖2. 【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理．【分析】當(dāng)CD∥AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC長(zhǎng)即可．【解答】解：法①：如圖：當(dāng)CD∥AB時(shí)，PM長(zhǎng)最大，連接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，OM過(guò)O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90176。，∴四邊形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直徑AB=8，∴半徑OC=4，即PM=4，故答案為：4．法②：連接CO，MO，根據(jù)∠CPO=∠CM0=90176。，所以C，M，O，P，四點(diǎn)共圓，且CO為直徑．連接PM，則PM為⊙E的一條弦，當(dāng)PM為直徑時(shí)PM最大，所以PM=CO=4時(shí)PM最大．即PMmax=4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的CD的位置，題目比較好，但是有一定的難度．例四、柯西不等式、配方法1. 過(guò)O作OE⊥PD，垂足為E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90176。，∴四邊形OACE為矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x2+12x﹣16=﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴當(dāng)x=3時(shí)，PD?CD的值最大，最大值是2．第1題答圖第2題答圖2. 解：如圖，分別作∠A與∠B角平分線，交點(diǎn)為P．∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AP與BP為CD、CE垂直平分線．又∵圓心O在CD、CE垂直平分線上，則交點(diǎn)P與圓心O重合，即圓心O是一個(gè)定點(diǎn)．連接OC．若半徑OC最短，則OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30176。，AB=4，∴OA=OB，∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC?tan∠OAC=2tan30176。=．故選：B．3. 解：（1）線段AB長(zhǎng)度的最小值為4，理由如下：連接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中點(diǎn)C，∴AB=2OC；當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，即AB最短，此時(shí)AB=4．故答案為：4．（3題答圖）例四、相切的應(yīng)用（有公共點(diǎn)、最大或最小夾角）1. 求CE最小值，就是求半徑OD的最小值。2.；3. 【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】壓軸題．【分析】因?yàn)镻Q為切線，所以△OPQ是Rt△．又OQ為定值，所以當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最?。鶕?jù)垂線段最短，知OP=3時(shí)PQ最?。鶕?jù)勾股定理得出結(jié)論即可．【解答】解：∵PQ切⊙O于點(diǎn)Q，∴∠OQP=90176。，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，∵點(diǎn)O到直線l的距離為3，∴OP的最小值為3，∴PQ的最小值為=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，如何確定PQ最小時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，難度中等偏上．例五、其他幾何知識(shí)的運(yùn)用1. 解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：．∴拋物線得解析式為y=x2﹣6x+4．（2）如圖所示： 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（m，m2﹣6m+4），∵平行四邊形的面積為30，∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．∴m（5+m2﹣6m+
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