【正文】 式即可。（學(xué)生活動(dòng)）思考：解本題是否還有其它的方法？答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對(duì)O的力矩必然是平衡的。應(yīng)用：若原題中繩長(zhǎng)不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？解：此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜（多一個(gè)正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。如圖17所示，一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿，細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細(xì)桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。試問(wèn)：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些，至少需要多大的水平推力？解說(shuō)：這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。同理，木板插進(jìn)去時(shí)，球體和木板之間的摩擦f′= = F′。第四講 摩擦角及其它一、摩擦角全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。此時(shí)，要么物體已經(jīng)滑動(dòng)，必有：φm = arctgμ（μ為動(dòng)摩擦因素），稱動(dòng)摩擦力角；要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時(shí)更方便、更簡(jiǎn)捷。在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí)，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。的力拉物體時(shí)，物體勻速前進(jìn)。解說(shuō)：這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。法一，正交分解。）法二，用摩擦角解題。再將兩圖重疊成圖18的右圖。的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15176。答案： 。答：Gsin15176。如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng)，而斜面體始終靜止。重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對(duì)斜面體的摩擦力大小。法一，隔離法。注意，滑塊和斜面隨有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，但從平衡的角度看，它們是完全等價(jià)的，可以看成一個(gè)整體。受力分析比較簡(jiǎn)單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。（學(xué)生活動(dòng)）地面給斜面體的支持力是多少？解：略。應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動(dòng)，就必須施加一個(gè)大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。解說(shuō)：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動(dòng)用一切可能的工具解題。由第一個(gè)物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ對(duì)第二個(gè)物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對(duì)相互作用力只用兩個(gè)字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置（見(jiàn)圖21中的α角）。在圖22右邊的矢量三角形中，有： = = ⑵注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶解⑴⑵⑶式可得F和α的值。慣性的量度觀念意義，突破“初態(tài)困惑”二、牛頓第二定律定律理解要點(diǎn)a、矢量性b、獨(dú)立作用性：ΣF → a ，ΣFx → ax …c、瞬時(shí)性。適用條件a、宏觀、低速b、慣性系對(duì)于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析三、牛頓第三定律定律理解要點(diǎn)a、同性質(zhì)（但不同物體）b、等時(shí)效（同增同減）c、無(wú)條件（與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、空間選擇無(wú)關(guān)）第二講 牛頓定律的應(yīng)用一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用單獨(dú)應(yīng)用牛頓第一定律的物理問(wèn)題比較少，一般是需要用其解決物理問(wèn)題中的某一個(gè)環(huán)節(jié)。有質(zhì)量的物體才有慣性。如圖1所示，在馬達(dá)的驅(qū)動(dòng)下，皮帶運(yùn)輸機(jī)上方的皮帶以恒定的速度向右運(yùn)動(dòng)。較難突破的是A選項(xiàng)，在為什么不會(huì)“立即跟上皮帶”的問(wèn)題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣFx → ∞ ，必然會(huì)出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)？因?yàn)槿耸强梢孕巫儭⒅匦目梢哉{(diào)節(jié)的特殊“物體”）此外，本題的D選項(xiàng)還要用到勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律。答案：A、D思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= ，g取10 m/s2 ，試求工件到達(dá)皮帶右端的時(shí)間t（過(guò)程略，）進(jìn)階練習(xí)：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v0 ，其它條件不變，再求t（學(xué)生分以下三組進(jìn)行）——① v0 = 1m/s (答： + 37/8 = )② v0 = 4m/s (答： + = )③ v0 = 1m/s (答：)質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。由于“彈簧不會(huì)立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時(shí)B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。但在Q點(diǎn)剪斷彈簧時(shí)，彈簧卻是沒(méi)有慣性的（沒(méi)有質(zhì)量），遵從理想模型的條件，彈簧應(yīng)在一瞬間恢復(fù)原長(zhǎng)！即彈簧彈力突變?yōu)榱?。二、牛頓第二定律的應(yīng)用應(yīng)用要點(diǎn)：受力較少時(shí)，直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。在難度方面，“瞬時(shí)性”問(wèn)題相對(duì)較大。解說(shuō)：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應(yīng)用答案：gsinθ。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。）進(jìn)階練習(xí)1：在一向右運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂中，用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車(chē)廂的加速度。）進(jìn)階練習(xí)如圖4所示，小車(chē)在傾角為α的斜面上勻加速運(yùn)動(dòng)，車(chē)廂頂用細(xì)繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個(gè)穩(wěn)定的夾角β。解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為θ，則θ=（90176。（βα） （1）對(duì)灰色三角形用正弦定理，有 = （2）解（1）（2）兩式得：ΣF = 最后運(yùn)用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車(chē)加速度）答： 。斜面上用一條與斜面平行的細(xì)繩系一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)斜面加速度為a時(shí)（a＜ctgθ），小球能夠保持相對(duì)斜面靜止。解說(shuō)：當(dāng)力的個(gè)數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時(shí)，宜用正交分解處理受力，在對(duì)應(yīng)牛頓第二定律的“獨(dú)立作用性”列方程。解法一：先介紹一般的思路。于是可得兩方程ΣFx = ma ，即Tx － Nx = maΣFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg代入方位角θ，以上兩式成為T(mén) cosθ－N sinθ = ma （1）T sinθ + Ncosθ = mg （2）這是一個(gè)關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ解法二：下面嘗試一下能否獨(dú)立地解張力T 。這時(shí)，在分解受力時(shí)，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個(gè)坐標(biāo)軸上，是需要分解的。根據(jù)獨(dú)立作用性原理，ΣFx = max即：T － Gx = max即：T － mg sinθ = m acosθ顯然，獨(dú)立解T值是成功的。答案：mgsinθ + ma cosθ思考：當(dāng)a＞ctgθ時(shí)，張力T的結(jié)果會(huì)變化嗎？（從支持力的結(jié)果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒(méi)有意義。）學(xué)生活動(dòng)：用正交分解法解本節(jié)第2題“進(jìn)階練習(xí)2”進(jìn)階練習(xí)：如圖9所示，自動(dòng)扶梯與地面的夾角為30176。當(dāng)扶梯以a = 4m/s2的加速度向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對(duì)扶梯靜止。解：這是一個(gè)展示獨(dú)立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學(xué)生選擇兩種坐標(biāo)（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對(duì)比解題過(guò)程，進(jìn)而充分領(lǐng)會(huì)用牛頓第二定律解題的靈活性。如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知。解說(shuō)：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時(shí)調(diào)節(jié)”這一難點(diǎn)（從即將開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)來(lái)反推）。答案：a甲 = gsinθ ；a乙 = gtgθ 。答：2g ；0 。在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。對(duì)N個(gè)對(duì)象，有N個(gè)隔離方程和一個(gè)（可能的）整體方程，這（N + 1）個(gè)方程中必有一個(gè)是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。如圖12所示，光滑水平面上放著一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個(gè)沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？解說(shuō)：截取隔離對(duì)象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？解：分兩種情況，（1）能拉動(dòng)；（2）不能拉動(dòng)。第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(Ll)的右段沒(méi)有張力，x＞(Ll)的左端才有張力。若棒不能被拉動(dòng)，且F = μMg時(shí)（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當(dāng)x＜(Ll)，N≡0 ；當(dāng)x＞(Ll)，N = 〔x 〈Ll〉〕。答：B 。）思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v0一起上沖，以上結(jié)論會(huì)變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒(méi)有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v0一起上沖，球應(yīng)對(duì)盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力？解：略。如圖15所示，三個(gè)物體質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計(jì)，繩子的質(zhì)量也不計(jì)，為使三個(gè)物體無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，水平推力F應(yīng)為多少？解說(shuō)：此題對(duì)象雖然有三個(gè)，但難度不大。就足以解題了。思考：若將質(zhì)量為m3物體右邊挖成凹形，讓m2可以自由擺動(dòng)（而不與m3相碰），如圖16所示，其它條件不變。解：此時(shí)，m2的隔離方程將較為復(fù)雜。答：當(dāng)m1 ≤ m2時(shí)，沒(méi)有適應(yīng)題意的F′；當(dāng)m1 ＞ m2時(shí)，適應(yīng)題意的F′= ?，F(xiàn)將系木棒的繩子剪斷，同時(shí)貓相對(duì)棒往上爬，但要求貓對(duì)地的高度不變，則棒的加速度將是多少？解說(shuō)：法一，隔離法。法二，“新整體法”。0 + M a1 解棒的加速度a1十分容易。四、特殊的連接體當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)體的加速度不相等時(shí)，經(jīng)典的整體法不可用。此時(shí)，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。解說(shuō)：本題涉及兩個(gè)物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。（學(xué)生活動(dòng)）定型判斷斜面的運(yùn)動(dòng)情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，加速度矢量a1和a2也具有這樣的關(guān)系。對(duì)滑塊，列y方向隔離方程，有：mgcosθ N = ma1y ③對(duì)斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：Nsinθ= Ma2 ④解①②③④式即可得a2 。（學(xué)生活動(dòng)）思考：如何求a1的值？解：a1y已可以通過(guò)解上面的方程組求出；a1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma1x ，得:a1x = gsinθ 。答：a1 = 。當(dāng)棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a（且a＞gtgθ）時(shí)，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時(shí)間。動(dòng)力學(xué)方面，只需要隔離滑套C就行了。沿棒與垂直棒建直角坐標(biāo)后，S1x表示S1在x方向上的分量。答案：t = 另解：如果引進(jìn)動(dòng)力學(xué)在非慣性系中的修正式 Σ+ * = m （注：*為慣性力），此題極簡(jiǎn)單。注意，滑套相對(duì)棒的加速度a相是沿棒向上的，故動(dòng)力學(xué)方程為：F*cosθ mgsinθ= ma相 （1）其中F* = ma （2）而且，以棒為參照，滑套的相對(duì)位移S相就是b ，即：b = S相 = a相 t2 （3）解（1）（2）（3）式就可以了。例題選講針對(duì)“教材”第三章的部分例題和習(xí)題。 質(zhì)點(diǎn)2． 參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系（解題時(shí)要記住所選的是參照系，而不僅是一個(gè)點(diǎn)）4．絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：v絕=v相+v牽 二．運(yùn)動(dòng)的描述1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)3．速度：v=limΔt→0Δr/：v=dr/dt, 表示r對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)an:法向加速度，速度方向的改變率，且an=v2/ρ,ρ叫做曲率半徑，（這是中學(xué)物理競(jìng)賽求曲率半徑的唯一方法）aτ: 切向加速度，速度大小的改變率?？墒侨A導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因?yàn)榕ｎD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。）6．由于以上三個(gè)量均為矢量，所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好三．等加速運(yùn)動(dòng)v(t)=v0+atr(t)=r0+v0t+1/2 at2 此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處，以v0平拋物體的軌跡。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個(gè)方向飛去。）四．剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1． 我們講過(guò)的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng) 角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt 有限的角位移是標(biāo)量，而極小的角位移是矢量4． ，VC五．課后習(xí)題：一只木筏離開(kāi)河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時(shí)刻木筏在航線上的確切位置。（vA＝）（2）拋體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一般處理方法1. 平拋運(yùn)動(dòng)2. 斜拋運(yùn)動(dòng)3. 常見(jiàn)的處理方法（1）將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題（3）將