【正文】 式即可。（學(xué)生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點看成轉(zhuǎn)軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。應(yīng)用：若原題中繩長不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它條件不變，m1與m2的比值又將是多少？解：此時用共點力平衡更加復(fù)雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。如圖17所示，一個半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長為L的輕質(zhì)細桿，細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進一些，至少需要多大的水平推力？解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。同理，木板插進去時，球體和木板之間的摩擦f′= = F′。第四講 摩擦角及其它一、摩擦角全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。此時，要么物體已經(jīng)滑動，必有：φm = arctgμ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達到最大運動趨勢，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時，應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。應(yīng)用整體法時應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。的力拉物體時，物體勻速前進。解說：這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目。法一，正交分解。）法二，用摩擦角解題。再將兩圖重疊成圖18的右圖。的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15176。答案： 。答：Gsin15176。如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運動，而斜面體始終靜止。重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。法一，隔離法。注意，滑塊和斜面隨有相對運動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。（學(xué)生活動）地面給斜面體的支持力是多少？解：略。應(yīng)用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。解說：這是一道難度較大的靜力學(xué)題，可以動用一切可能的工具解題。由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置（見圖21中的α角）。在圖22右邊的矢量三角形中，有： = = ⑵注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶解⑴⑵⑶式可得F和α的值。慣性的量度觀念意義，突破“初態(tài)困惑”二、牛頓第二定律定律理解要點a、矢量性b、獨立作用性：ΣF → a ，ΣFx → ax …c、瞬時性。適用條件a、宏觀、低速b、慣性系對于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析三、牛頓第三定律定律理解要點a、同性質(zhì)（但不同物體）b、等時效（同增同減）c、無條件（與運動狀態(tài)、空間選擇無關(guān)）第二講 牛頓定律的應(yīng)用一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用單獨應(yīng)用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環(huán)節(jié)。有質(zhì)量的物體才有慣性。如圖1所示，在馬達的驅(qū)動下，皮帶運輸機上方的皮帶以恒定的速度向右運動。較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣFx → ∞ ，必然會出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因為人是可以形變、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”）此外，本題的D選項還要用到勻變速運動規(guī)律。答案：A、D思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= ，g取10 m/s2 ，試求工件到達皮帶右端的時間t（過程略，）進階練習(xí)：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v0 ，其它條件不變，再求t（學(xué)生分以下三組進行）——① v0 = 1m/s (答： + 37/8 = )② v0 = 4m/s (答： + = )③ v0 = 1m/s (答：)質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。但在Q點剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質(zhì)量），遵從理想模型的條件，彈簧應(yīng)在一瞬間恢復(fù)原長！即彈簧彈力突變?yōu)榱?。二、牛頓第二定律的應(yīng)用應(yīng)用要點：受力較少時，直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。在難度方面，“瞬時性”問題相對較大。解說：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應(yīng)用答案：gsinθ。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。）進階練習(xí)1：在一向右運動的車廂中，用細繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。）進階練習(xí)如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運動，車廂頂用細繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個穩(wěn)定的夾角β。解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用，但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些（正弦定理解三角形）。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為θ，則θ=（90176。（βα） （1）對灰色三角形用正弦定理，有 = （2）解（1）（2）兩式得：ΣF = 最后運用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）答： 。斜面上用一條與斜面平行的細繩系一質(zhì)量為m的小球，當(dāng)斜面加速度為a時（a＜ctgθ），小球能夠保持相對斜面靜止。解說：當(dāng)力的個數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應(yīng)牛頓第二定律的“獨立作用性”列方程。解法一：先介紹一般的思路。于是可得兩方程ΣFx = ma ，即Tx － Nx = maΣFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg代入方位角θ，以上兩式成為T cosθ－N sinθ = ma （1）T sinθ + Ncosθ = mg （2）這是一個關(guān)于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ解法二：下面嘗試一下能否獨立地解張力T 。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標軸上，是需要分解的。根據(jù)獨立作用性原理，ΣFx = max即：T － Gx = max即：T － mg sinθ = m acosθ顯然，獨立解T值是成功的。答案：mgsinθ + ma cosθ思考：當(dāng)a＞ctgθ時，張力T的結(jié)果會變化嗎？（從支持力的結(jié)果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。）學(xué)生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進階練習(xí)2”進階練習(xí)：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30176。當(dāng)扶梯以a = 4m/s2的加速度向上運動時，站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對扶梯靜止。解：這是一個展示獨立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學(xué)生選擇兩種坐標（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進而充分領(lǐng)會用牛頓第二定律解題的靈活性。如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知。解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調(diào)節(jié)”這一難點（從即將開始的運動來反推）。答案：a甲 = gsinθ ；a乙 = gtgθ 。答：2g ；0 。在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中必有一個是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質(zhì)直棒，現(xiàn)給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣？解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。思考：如果水平面粗糙，結(jié)論又如何？解：分兩種情況，（1）能拉動；（2）不能拉動。第（2）情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(Ll)的右段沒有張力，x＞(Ll)的左端才有張力。若棒不能被拉動，且F = μMg時（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質(zhì)量），當(dāng)x＜(Ll)，N≡0 ；當(dāng)x＞(Ll)，N = 〔x 〈Ll〉〕。答：B 。）思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v0一起上沖，以上結(jié)論會變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v0一起上沖，球應(yīng)對盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力？解：略。如圖15所示，三個物體質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計，繩子的質(zhì)量也不計，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應(yīng)為多少？解說：此題對象雖然有三個，但難度不大。就足以解題了。思考：若將質(zhì)量為m3物體右邊挖成凹形，讓m2可以自由擺動（而不與m3相碰），如圖16所示，其它條件不變。解：此時，m2的隔離方程將較為復(fù)雜。答：當(dāng)m1 ≤ m2時，沒有適應(yīng)題意的F′；當(dāng)m1 ＞ m2時，適應(yīng)題意的F′= ?，F(xiàn)將系木棒的繩子剪斷，同時貓相對棒往上爬，但要求貓對地的高度不變，則棒的加速度將是多少？解說：法一，隔離法。法二，“新整體法”。0 + M a1 解棒的加速度a1十分容易。四、特殊的連接體當(dāng)系統(tǒng)中各個體的加速度不相等時，經(jīng)典的整體法不可用。此時，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。方法：“微元法”先看位移關(guān)系，再推加速度關(guān)系。解說：本題涉及兩個物體，它們的加速度關(guān)系復(fù)雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。（學(xué)生活動）定型判斷斜面的運動情況、滑塊的運動情況。根據(jù)運動學(xué)規(guī)律，加速度矢量a1和a2也具有這樣的關(guān)系。對滑塊，列y方向隔離方程，有：mgcosθ N = ma1y ③對斜面，仍沿合加速度a2方向列方程，有：Nsinθ= Ma2 ④解①②③④式即可得a2 。（學(xué)生活動）思考：如何求a1的值？解：a1y已可以通過解上面的方程組求出；a1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma1x ，得:a1x = gsinθ 。答：a1 = 。當(dāng)棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運動，加速度為a（且a＞gtgθ）時，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時間。動力學(xué)方面，只需要隔離滑套C就行了。沿棒與垂直棒建直角坐標后，S1x表示S1在x方向上的分量。答案：t = 另解：如果引進動力學(xué)在非慣性系中的修正式 Σ+ * = m （注：*為慣性力），此題極簡單。注意，滑套相對棒的加速度a相是沿棒向上的，故動力學(xué)方程為：F*cosθ mgsinθ= ma相 （1）其中F* = ma （2）而且，以棒為參照，滑套的相對位移S相就是b ，即：b = S相 = a相 t2 （3）解（1）（2）（3）式就可以了。例題選講針對“教材”第三章的部分例題和習(xí)題。 質(zhì)點2． 參照系——固連于參照物上的坐標系（解題時要記住所選的是參照系，而不僅是一個點）4．絕對運動，相對運動，牽連運動：v絕=v相+v牽 二．運動的描述1．位置：r=r(t) 2．位移：Δr=r(t+Δt)－r(t)3．速度：v=limΔt→0Δr/：v=dr/dt, 表示r對t 求導(dǎo)數(shù)an:法向加速度，速度方向的改變率，且an=v2/ρ,ρ叫做曲率半徑，（這是中學(xué)物理競賽求曲率半徑的唯一方法）aτ: 切向加速度，速度大小的改變率?？墒侨A導(dǎo)數(shù)為什么不是呢？因為牛頓第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。）6．由于以上三個量均為矢量，所以在運算中用分量表示一般比較好三．等加速運動v(t)=v0+atr(t)=r0+v0t+1/2 at2 此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處，以v0平拋物體的軌跡。燈泡爆裂，所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個方向飛去。）四．剛體的平動和定軸轉(zhuǎn)動1． 我們講過的圓周運動是平動而不是轉(zhuǎn)動 角位移φ=φ（t）, 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt 有限的角位移是標量，而極小的角位移是矢量4． ，VC五．課后習(xí)題：一只木筏離開河岸，初速度為V，方向垂直于岸邊，航行路線如圖。河水速度恒定U用作圖法找到在2T，3T，4T時刻木筏在航線上的確切位置。（vA＝）（2）拋體運動問題的一般處理方法1. 平拋運動2. 斜拋運動3. 常見的處理方法（1）將斜上拋運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動（2）將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸，分別分解初速度和加速度后用運動學(xué)公式解題（3）將