【正文】 平衡的例題。以球和桿為對象，研究其對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動平衡，設木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：f R + N（R + L）= G（R + L） ①球和板已相對滑動，故：f = μN ②解①②可得：f = 再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。同理，木板插進去時，球體和木板之間的摩擦f′= = F′。答案： 。第四講 摩擦角及其它一、摩擦角全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φm表示。此時，要么物體已經(jīng)滑動，必有：φm = arctgμ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達到最大運動趨勢，必有：φms = arctgμs（μs為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。二、隔離法與整體法隔離法：當物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時，應注意相互作用力的大小和方向關系。整體法：當各個體均處于平衡狀態(tài)時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進行分析處理，稱整體法。應用整體法時應注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。三、應用物體放在水平面上，用與水平方向成30176。的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進，求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。解說：這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目?？梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學生留下深刻印象。法一，正交分解。（學生分析受力→列方程→得結果。）法二，用摩擦角解題。引進全反力R ，對物體兩個平衡狀態(tài)進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30176。的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φm = 15176。最后，μ= tgφm 。答案： 。（學生活動）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進的最小F值是多少？解：見圖18，右圖中虛線的長度即Fmin ，所以，F(xiàn)min = Gsinφm 。答：Gsin15176。（其中G為物體的重量）。如圖19所示，質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ，傾角為30176。，重力加速度g = 10m/s2 ，求地面對斜面體的摩擦力大小。解說：本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。法一，隔離法。簡要介紹……法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。做整體的受力分析時，內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。答案： 。（學生活動）地面給斜面體的支持力是多少？解：略。答：135N 。應用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個F的大小和方向。解說：這是一道難度較大的靜力學題，可以動用一切可能的工具解題。法一：隔離法。由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——Fx = f + mgsinθFy + mgcosθ= N且 f = μN = Ntgθ綜合以上三式得到：Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①對斜面體，只看水平方向平衡就行了——P = fcosθ+ Nsinθ即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ代入μ值，化簡得：Fy = mgcosθ ②②代入①可得：Fx = 3mgsinθ最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（設α為F和斜面的夾角）。答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。法二：引入摩擦角和整體法觀念。仍然沿用“法一”中關于F的方向設置（見圖21中的α角）。先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ α) = P ⑴再隔離滑塊，分析受力時引進全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個力（R、mg和F），可以將矢量平移后構成一個三角形，如圖22所示。在圖22右邊的矢量三角形中，有： = = ⑵注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶解⑴⑵⑶式可得F和α的值。第二部分 牛頓運動定律第一講 牛頓三定律一、牛頓第一定律定律。慣性的量度觀念意義，突破“初態(tài)困惑”二、牛頓第二定律定律理解要點a、矢量性b、獨立作用性：ΣF → a ，ΣFx → ax …c、瞬時性。合力可突變，故加速度可突變（與之對比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測量手段”）。適用條件a、宏觀、低速b、慣性系對于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析三、牛頓第三定律定律理解要點a、同性質(zhì)（但不同物體）b、等時效（同增同減）c、無條件（與運動狀態(tài)、空間選擇無關）第二講 牛頓定律的應用一、牛頓第一、第二定律的應用單獨應用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環(huán)節(jié)。應用要點：合力為零時，物體靠慣性維持原有運動狀態(tài)；只有物體有加速度時才需要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。如圖1所示，在馬達的驅(qū)動下，皮帶運輸機上方的皮帶以恒定的速度向右運動。現(xiàn)將一工件（大小不計）在皮帶左端A點輕輕放下，則在此后的過程中（ ）A、一段時間內(nèi)，工件將在滑動摩擦力作用下，對地做加速運動B、當工件的速度等于v時，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力C、當工件相對皮帶靜止時，它位于皮帶上A點右側(cè)的某一點D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對靜止的狀態(tài)解說：B選項需要用到牛頓第一定律，A、C、D選項用到牛頓第二定律。較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣFx → ∞ ，必然會出現(xiàn)“供不應求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因為人是可以形變、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”）此外，本題的D選項還要用到勻變速運動規(guī)律。用勻變速運動規(guī)律和牛頓第二定律不難得出只有當L ＞ 時（其中μ為工件與皮帶之間的動摩擦因素），才有相對靜止的過程，否則沒有。答案：A、D思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= ，g取10 m/s2 ，試求工件到達皮帶右端的時間t（過程略，）進階練習：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v0 ，其它條件不變，再求t（學生分以下三組進行）——① v0 = 1m/s (答： + 37/8 = )② v0 = 4m/s (答： + = )③ v0 = 1m/s (答：)質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問：① 如果在P處剪斷細繩，在剪斷瞬時，B的加速度是多少？② 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時，B的加速度又是多少？解說：第①問是常規(guī)處理。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。第②問需要我們反省這樣一個問題：“彈簧不會立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質(zhì)量），遵從理想模型的條件，彈簧應在一瞬間恢復原長！即彈簧彈力突變?yōu)榱?。答案? ；g 。二、牛頓第二定律的應用應用要點：受力較少時，直接應用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時，結合正交分解與“獨立作用性”解題。在難度方面，“瞬時性”問題相對較大?；瑝K在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。解說：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應用答案：gsinθ。思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對靜止，斜面應具備一個多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應注意區(qū)別。答：gtgθ。）進階練習1：在一向右運動的車廂中，用細繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）進階練習如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運動，車廂頂用細繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個穩(wěn)定的夾角β。試求小車的加速度。解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應用，但數(shù)學處理復雜了一些（正弦定理解三角形）。分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應的夾角。設張力T與斜面方向的夾角為θ，則θ=（90176。+ α） β= 90176。（βα） （1）對灰色三角形用正弦定理，有 = （2）解（1）（2）兩式得：ΣF = 最后運用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）答： 。如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運動。斜面上用一條與斜面平行的細繩系一質(zhì)量為m的小球，當斜面加速度為a時（a＜ctgθ），小球能夠保持相對斜面靜止。試求此時繩子的張力T 。解說：當力的個數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應牛頓第二定律的“獨立作用性”列方程。正交坐標的選擇，視解題方便程度而定。解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程ΣFx = ma ，即Tx － Nx = maΣFy = 0 ， 即Ty + Ny = mg代入方位角θ，以上兩式成為T cosθ－N sinθ = ma （1）T sinθ + Ncosθ = mg （2）這是一個關于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ解法二：下面嘗試一下能否獨立地解張力T 。將正交分解的坐標選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。根據(jù)獨立作用性原理，ΣFx = max即：T － Gx = max即：T － mg sinθ = m acosθ顯然，獨立解T值是成功的。結果與解法一相同。答案：mgsinθ + ma cosθ思考：當a＞ctgθ時，張力T的結果會變化嗎？（從支持力的結果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。答：T = m 。）學生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進階練習2”進階練習：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30176。，但扶梯的臺階是水平的。當扶梯以a = 4m/s2的加速度向上運動時，站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s2，試求扶梯對人的靜摩擦力f 。解：這是一個展示獨立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學生選擇兩種坐標（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進而充分領會用牛頓第二定律解題的靈活性。答：208N 。如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知?，F(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時加速度。解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。（學生活動）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時釋放，會有什么現(xiàn)象？原因是什么？結論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調(diào)節(jié)”這一難點（從即將開始的運動來反推）。知識點，牛頓第二定律的瞬時性。答案：a甲 = gsinθ ；a乙 = gtgθ 。應用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當懸掛吊籃的細繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？解：略。答：2g ；0 。三、牛頓第二、第三定律的應用要點：在動力學問題中，如果遇到幾個研究對象時，就會面臨如何處理對象之間的力和對象與外界之間的力問題，這時有必要引進“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念，并適時地運用牛頓第三定律。在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過程簡化，使過程的物理意義更加明晰。對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中必有一個是通解方程，如何取舍，視解