【正文】 水平地面上，平衡時(shí)球面上的A點(diǎn)和地面接觸；再將它置于傾角為30176。（學(xué)生活動(dòng)）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？答：變小；不變。分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環(huán)的支持力。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的B點(diǎn)。對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程加以分析，物體必有加速和減速兩個(gè)過(guò)程。靜力學(xué)的知識(shí)，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。時(shí)，甲板的彈力最小。法二，函數(shù)法。解說(shuō)：法一，平行四邊形動(dòng)態(tài)處理。條件：Σ= 0 ，或ΣM+ =ΣM 如果物體靜止，肯定會(huì)同時(shí)滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。（學(xué)生活動(dòng)）思考：放在斜面上的均質(zhì)長(zhǎng)方體，按實(shí)際情況分析受力，斜面的支持力會(huì)通過(guò)長(zhǎng)方體的重心嗎？解：將各處的支持力歸納成一個(gè)N ，則長(zhǎng)方體受三個(gè)力（G 、f 、N）必共點(diǎn)，由此推知，N不可能通過(guò)長(zhǎng)方體的重心。二、共點(diǎn)力的合成平行四邊形法則與矢量表達(dá)式一般平行四邊形的合力與分力的求法余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解按效果分解按需要——正交分解第二講 物體的平衡一、共點(diǎn)力平衡特征：質(zhì)心無(wú)加速度。叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。乘法矢量的乘法有兩種：叉乘和點(diǎn)乘，和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。差矢量的方向可以用正弦定理求得。法則：三角形法則。如圖1所示。推薦典型參考書(shū)目——① 孫尚禮 毛 瑾主編《高中物理奧林匹克基礎(chǔ)知識(shí)及題解》（上、下冊(cè)），科學(xué)技術(shù)出版社，1994年10月第一版；② 張大同主編《通向金牌之路》，陜西師范大學(xué)出版社（版本逐年更新）；③ 湖南省奧林匹克競(jìng)賽委員會(huì)物理分會(huì)編《物理奧林匹克競(jìng)賽教程》，湖南師范大學(xué)出版社，1993年6月第一版；④ 湖南省奧林匹克委員會(huì)物理分會(huì)、湖南省物理奧林匹克培訓(xùn)基地編《新編物理奧林匹克教程》，湖南師范大學(xué)出版社，1999年5月第一版；⑤ 舒幼生主編《奧林匹克物理》（分3 … 多冊(cè)出版），湖南教育出版社，第一冊(cè)1993年8月第一版。② 高二：針對(duì)“競(jìng)賽要求”，瞄準(zhǔn)復(fù)賽難度。二、知識(shí)體系高中物理的三檔要求：一般要求（會(huì)考）→高考要求→競(jìng)賽要求。除初賽外，均含理論和試驗(yàn)兩部分（試驗(yàn)滿分60分）。集訓(xùn)隊(duì)成員經(jīng)短期培訓(xùn)后推薦3~7名參加（全國(guó)）決賽。全國(guó)命題，各市、縣組考，市統(tǒng)一閱卷，選前30名（左右）參加（全省）復(fù)賽。成績(jī)最佳者記100% ，積分在90%以上者獲金獎(jiǎng)，78%~89者獲銀獎(jiǎng)，65~77%者獲銅獎(jiǎng)。② 幾乎每年一屆，參賽國(guó)逐年增加，每國(guó)代表不超過(guò)5人。③ 中國(guó)參賽始于1986年的第十七屆，此后未間斷，成績(jī)一直輝煌。國(guó)家（Chinese Physics Olympiad 簡(jiǎn)稱(chēng)CPhO）①1984年以前，中學(xué)物理競(jìng)賽經(jīng)常舉行，但被冠以各種名稱(chēng)，無(wú)論是組織，還是考綱、知識(shí)體系都談不上規(guī)范。 復(fù)賽：九月下旬考試。決賽：全國(guó)統(tǒng)一組織。湖南省奧賽簡(jiǎn)況① 至1998年，湖南選手獲CPhO決賽一等獎(jiǎng)29人次，% ；在IPhO中獲金牌5枚、銀牌2枚、銅牌2枚，居各省之首。競(jìng)賽知識(shí)的特點(diǎn)：①初賽——對(duì)高中物理基礎(chǔ)融會(huì)貫通，更注重物理方法的運(yùn)用；②復(fù)賽——知識(shí)點(diǎn)更多，對(duì)數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用更深入。高二知識(shí)一步到位，高一知識(shí)做短暫的回顧與加深。第一部分 力＆物體的平衡第一講 力的處理一、矢量的運(yùn)算加法表達(dá)： + = 。和矢量大小：c = ，其中α為和的夾角。如圖2所示。一條直線上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 由于有兩處涉及矢量減法，設(shè)兩個(gè)差矢量 = － ，= － ，根據(jù)三角形法則，它們?cè)趫D3中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線）。⑴ 叉乘表達(dá)： = 名詞：稱(chēng)“矢量的叉積”，它是一個(gè)新的矢量。顯然，≠，但有：= －⑵ 點(diǎn)乘表達(dá)：條件：Σ = 0 ，或 = 0 ， = 0例題：如圖5所示，長(zhǎng)為L(zhǎng) 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示，求橫桿的重心位置。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn)，這時(shí)，N就過(guò)重心了）。非共點(diǎn)力的合成大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。對(duì)球體進(jìn)行受力分析，然后對(duì)平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移，使它們構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖8的左圖和中圖所示。看圖8的中間圖，對(duì)這個(gè)三角形用正弦定理，有： = ，即：N2 = ，β在0到180176。把一個(gè)重為G的物體用一個(gè)水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開(kāi)始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個(gè)？解說(shuō)：靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問(wèn)題和準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的問(wèn)題，但本題是一個(gè)例外。水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。據(jù)物理常識(shí)，加速時(shí)，f ＜ G ，而在減速時(shí)f ＞ G 。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。（學(xué)生活動(dòng)）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。（學(xué)生活動(dòng)）反饋練習(xí)：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過(guò)滑輪將一小球從圖13所示的A位置開(kāi)始緩慢拉至B位置。的粗糙斜面上，平衡時(shí)球面上的B點(diǎn)與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30176。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn)，可以畫(huà)出重心的具體位置。答： 。對(duì)兩球進(jìn)行受力分析，并進(jìn)行矢量平移，如圖16所示。答案：1 ： 。答：2 ：3 。以球和桿為對(duì)象，研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡，設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：f R + N（R + L）= G（R + L） ①球和板已相對(duì)滑動(dòng)，故：f = μN(yùn) ②解①②可得：f = 再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱(chēng)摩擦角，一般用φm表示。二、隔離法與整體法隔離法：當(dāng)物體對(duì)象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí)，有必要各個(gè)擊破，逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開(kāi)來(lái)分析處理，稱(chēng)隔離法。三、應(yīng)用物體放在水平面上，用與水平方向成30176。可以通過(guò)不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。引進(jìn)全反力R ，對(duì)物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析，再進(jìn)行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φm指摩擦角。最后，μ= tgφm 。（其中G為物體的重量）。解說(shuō)：本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。做整體的受力分析時(shí)，內(nèi)力不加考慮。答：135N 。使?jié)M足題意的這個(gè)F的大小和方向。對(duì)滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——Fx = f + mgsinθFy + mgcosθ= N且 f = μN(yùn) = Ntgθ綜合以上三式得到：Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①對(duì)斜面體，只看水平方向平衡就行了——P = fcosθ+ Nsinθ即：4mgsinθcosθ=μN(yùn)cosθ+ Nsinθ代入μ值，化簡(jiǎn)得：Fy = mgcosθ ②②代入①可得：Fx = 3mgsinθ最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（設(shè)α為F和斜面的夾角）。先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ α) = P ⑴再隔離滑塊，分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R和摩擦角φ，由于簡(jiǎn)化后只有三個(gè)力（R、mg和F），可以將矢量平移后構(gòu)成一個(gè)三角形，如圖22所示。合力可突變，故加速度可突變（與之對(duì)比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測(cè)量手段”）。a可以突變而v、s不可突變。用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律和牛頓第二定律不難得出只有當(dāng)L ＞ 時(shí)（其中μ為工件與皮帶之間的動(dòng)摩擦因素），才有相對(duì)靜止的過(guò)程，否則沒(méi)有。第②問(wèn)需要我們反省這樣一個(gè)問(wèn)題：“彈簧不會(huì)立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。受力比較多時(shí)，結(jié)合正交分解與“獨(dú)立作用性”解題。思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對(duì)靜止，斜面應(yīng)具備一個(gè)多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對(duì)象仍為滑塊。（和“思考”題同理，答：gtgθ。分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應(yīng)的夾角。如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運(yùn)動(dòng)。正交坐標(biāo)的選擇，視解題方便程度而定。將正交分解的坐標(biāo)選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。結(jié)果與解法一相同。但扶梯的臺(tái)階是水平的。答：208N 。（學(xué)生活動(dòng)）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時(shí)釋放，會(huì)有什么現(xiàn)象？原因是什么？結(jié)論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。應(yīng)用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？解：略。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，使過(guò)程的物理意義更加明晰。答案：N = x 。答：若棒仍能被拉動(dòng)，結(jié)論不變。（方向沿斜面向上。隔離m2 ，豎直方向有一個(gè)平衡方程；隔離m1 ，水平方向有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程；整體有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。是否可以選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)腇′，使三者無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)？如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；如果有，求出這個(gè)F′的值。一根質(zhì)量為M的木棒，上端用細(xì)繩系在天花板上，棒上有一質(zhì)量為m的貓，如圖17所示。據(jù)Σ= m1 + m2 + m3 + … + mn ，貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a1 = 0 ，所以：（ M + m ）g = m如果各個(gè)體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。、如圖18所示，一質(zhì)量為M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。位移矢量示意圖如圖19所示。答案：a2 = 。如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ，可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng)，開(kāi)始時(shí)與棒的A端相距b ，相對(duì)棒靜止。（學(xué)生活動(dòng)）思考：為什么題意要求a＞gtgθ？（聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”）定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S1表示滑套的位移。過(guò)程如下——以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖24所示。第三部分 運(yùn)動(dòng)學(xué)第一講　基本知識(shí)介紹一． 基本概念1． ４．加速度a=an+aτ。（a對(duì)t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度”。一道經(jīng)典的物理問(wèn)題：二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究，當(dāng)大炮的位置固定，以同一速度v0沿各種角度發(fā)射，問(wèn)：當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí)，不會(huì)有危險(xiǎn)？（注：結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞€，此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。求碎片落到地板上的半徑（認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的，即切向速度不變，法向速度反向；碎片和地板的碰撞是完全非彈性的，即碰后靜止。3． 求G的速度。五、處理問(wèn)題的一般方法（1）用微元法求解相關(guān)速度問(wèn)題例1：如圖所示，物體A置于水平面上，A前固定一滑輪B，高臺(tái)上有一定滑輪D，一根輕繩一端固定在C點(diǎn)，再繞過(guò)B、D，BC段水平，當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí)，A沿水平面前進(jìn)，求當(dāng)跨過(guò)B的兩段繩子的夾角為α?xí)r，A的運(yùn)動(dòng)速度。求解雨滴相對(duì)于地的運(yùn)動(dòng)。問(wèn)汽車(chē)兩次速度之比為多少時(shí)，司機(jī)都是看見(jiàn)冰雹都是以豎直方向從車(chē)的正面玻璃上彈開(kāi)？（冰雹相對(duì)地面是豎直下落的）模型飛機(jī)以相對(duì)空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長(zhǎng)2km的等邊三角形飛行，設(shè)風(fēng)速u(mài) = 21km/h ，方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同，試求：飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間？v1v2（俯視）。答案為：3。答案：（或12min.）。但鑒于桿子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖，應(yīng)有v牽 = vAcosθ，v轉(zhuǎn) = vA，可知B端相對(duì)A的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為：v轉(zhuǎn) + vAsinθ= 。且= m，其中ρ表示軌跡在考查點(diǎn)的曲率半徑。圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理：運(yùn)動(dòng)學(xué)參量v、ω、n、a、f、T之間的關(guān)系，向心力的尋求于合成；臨界問(wèn)題的理解。因而相互作用的物體間有引力勢(shì)能。試求小船渡河的最短時(shí)間和最小位移。針對(duì)這一思想，有以下兩種解法解法一： t = 其中v合可用正弦定理表達(dá)，故有 t = = 解法二： t = = = 此外，結(jié)合靜力學(xué)正交分解的思想，我們也可以建立沿河岸合垂直河岸的坐標(biāo)x、y，然后先將v1分解（v2無(wú)需分解），再合成，如圖2所示。）求渡河的位移和最小位移在上面的討論中，小船的位移事實(shí)上已經(jīng)得出，即S合 = = = 但S合（θ）函數(shù)比較復(fù)雜，尋求S合的極小值并非易事。結(jié)論得出后，我們還不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)v2＜v1時(shí)，Smin＜d ，這顯然與事實(shí)不符。我們可以通過(guò)v1與v2合成v合矢量圖探討v合與下游河岸夾角的最大可能。此時(shí)，v合⊥v1 ，vv2和v合構(gòu)成一個(gè)直角三角形，αmax = arcsin并且，此時(shí)：θ= arccos有了αmax的值，結(jié)合圖1可以求出：S合min = d最后解決v2＜v1時(shí)結(jié)果不切實(shí)際的問(wèn)題。（學(xué)生活動(dòng)）如果v1恒定不變，v2會(huì)恒定嗎？若恒定，說(shuō)明理由；若變化，定性判斷變化趨勢(shì)。故只能引入瞬時(shí)方位角θ，看v1和v2的瞬時(shí)關(guān)系。解法一：在圖6（乙）中，當(dāng)我們挖掘、分析了滑輪繩子端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)后，不難得出：船的沿水面運(yùn)動(dòng)是v2合運(yùn)動(dòng)，端點(diǎn)參與繩子的縮短運(yùn)動(dòng)v1和隨繩子的轉(zhuǎn)動(dòng)v轉(zhuǎn) ，從而肯定乙方案是正確的。由于過(guò)程極短，等腰三角形ACD的頂角∠A→0，則底角∠ACD→90176。所以：v2 = v1 / cosθ三、斜拋