數(shù)列習(xí)題課(一)-在線瀏覽
2025-05-12 02:51本頁面
【正文】 (4)數(shù)列可化為，…，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.反思與感悟 這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運(yùn)算得到，故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(diǎn)(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動(dòng)數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1 由數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出通項(xiàng)公式：(1)1，－7,13，－19,25，…(2)，…(3)1，－，－，…考點(diǎn) 數(shù)列的通項(xiàng)公式題點(diǎn) 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式解 (1)數(shù)列每一項(xiàng)的絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1(6n－5).(2)數(shù)列化為，…，分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝.(3)數(shù)列化為，－，－，…，所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1.類型二 利用遞推公式求通項(xiàng)公式例2 (1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，對(duì)任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，求an.考點(diǎn) 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式求法題點(diǎn) 一階線性遞推數(shù)列解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，等式兩邊同時(shí)相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)由條件知＝，分別令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)個(gè)等式累乘之，即3n－2.于是an＝{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，則通項(xiàng)公式an＝________.答案 4－解析 原遞推公式可化為an＋1＝an＋－，則a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，a4＝a3＋－，…，an－1＝an－2＋－，an＝an－1＋－，逐項(xiàng)相加得an＝a1＋1－，故an＝4－.{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則a1＝________，S5＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 1 121解析 a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1，解得a1＝1，a2＝3，再由an＋1＝2Sn＋1，即an＝2Sn－1＋1(n≥2)，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝＝121.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2an－1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)答案 2n－1解析 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)，∴an＝2an－1，∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n－1，n∈N*.{an}的前n項(xiàng)和Sn＝1＋λan，其中λ≠{an}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.考點(diǎn) an與Sn關(guān)系題點(diǎn) 由Sn與an遞推式求通項(xiàng)解 由題意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.所以{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以an＝n－1.，都是以等差
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