數列習題課(一)(已修改)
2025-04-06 02:51 本頁面
【正文】 習題課(一) 求數列的通項公式學習目標 的關系求通項公式的方法.知識點一 通過數列前若干項歸納出數列的一個通項公式思考 你能看出數列(1)：－1,1，－1,1…與數列(2): 0,2,0,2…的聯(lián)系嗎？由此寫出數列(2)的一個通項公式.答案 數列(1)每項加1得到數列(2).數列(1)的通項公式是an＝(－1)n ，故數列(2)的通項公式是an＝(－1)n ＋1.梳理 通過數列前若干項歸納出數列的一個通項公式，關鍵是依托基本數列如等差數列、等比數列，尋找an與n，an與an＋1的聯(lián)系.知識點二 利用遞推公式求通項公式思考 還記得我們是如何用遞推公式an＋1－an＝d求出等差數列的通項公式的嗎？答案 累加法.梳理 已知遞推公式求通項公式的主要思路，就是要通過對遞推公式賦值、變形，構造出我們熟悉的等差數列或等比數列，、變形的常見方法有累加、累乘、待定系數法、換元、迭代等.知識點三 利用前n項和Sn與an 的關系求通項公式思考 如何用數列{an}的前n項和Sn表示an ?答案 an＝梳理 當已知Sn或已知Sn與an 的關系式，可以借助上式求出通項公式，或者得到遞推公式，不要忘記對n討論..().(√)3.{Sn}也是一個數列.(√)類型一 通過數列前若干項歸納出數列的一個通項公式例1 由數列的前n項，寫出通項公式：(1)3,5,3,5,3,5，…(2)，，，…(3)2，，，…(4)，，，…考點 數列的通項公式題點 根據數列的前幾項寫出通項公式解 (1)這個數列前6項構成一個擺動數列，奇數項為3，＝4＋(－1)n.(2)數列中的項以分數形式出現(xiàn)，分子為項數，分母比分子大1，所以它的一個通項公式為an＝.(3)數列可化為1＋1,2＋，3＋，4＋，5＋，…，所以它的一個通項公式為an＝n＋.(4)數列可化為，，，…，所以它的一個通項公式為an＝.反思與感悟 這類數列通常是由基本數列如等差數列、等比數列通過加減乘除運算得到，故解決這類問題可以根據所給數列的特點(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動數列)聯(lián)想基本數列，再考察它與基本數列的關系.跟蹤訓練1 由數列的前幾項，寫出通項公式：(1)1，－7,13，－19,25，…(2)，，，…(3)1，－，－，…考點 數列的通項公式題點 根據數列的前幾項寫出通項公式解 (1)數列每一項的絕對值構成一個以1為首項，6為公差的等差數列，且奇數項為正，偶數項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(6n－5).(2)數列化為，，，…，分子，分母分別構成等差數列，所以它的一個通項公式為an＝.(3)數列化為，－，－，…，所以數列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1.類型二 利用遞推公式求通項公式例2 (1)數列{an}滿足a1＝1，對任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通項公式；(2)已知數列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，求an.考點 遞推數列通項公式求法題點 一階線性遞推數列解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，等式兩邊同時相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)由條件知＝，分別令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)個等式累乘之，即183
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