數(shù)列習(xí)題課(一)-wenkub
2023-04-09 02:51:33 本頁面
【正文】 的一個通項公式為an＝n＋.(4)數(shù)列可化為，…，所以它的一個通項公式為an＝.反思與感悟 這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運算得到，故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練1 由數(shù)列的前幾項，寫出通項公式：(1)1，－7,13，－19,25，…(2)，…(3)1，－，－，…考點 數(shù)列的通項公式題點 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出通項公式解 (1)數(shù)列每一項的絕對值構(gòu)成一個以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(6n－5).(2)數(shù)列化為，…，分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個通項公式為an＝.(3)數(shù)列化為，－，－，…，所以數(shù)列的一個通項公式為an＝(－1)n＋1.類型二 利用遞推公式求通項公式例2 (1)數(shù)列{an}滿足a1＝1，對任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，求通項公式；(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝an，求an.考點 遞推數(shù)列通項公式求法題點 一階線性遞推數(shù)列解 (1)∵an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，即a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，等式兩邊同時相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，即an＝a1＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)由條件知＝，分別令n＝1,2,3，…，n－1，代入上式得(n－1)個等式累乘之，即…＝212223…2n－1，即＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝，故an＝a1＝.故選C.(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－an－1＝n－1 (n＝2,3,4…)，求{an}的通項公式.考點 遞推數(shù)列通項公式求法題點 an＋1＝pan＋f(n)型解 ∵當(dāng)n＝1時，a1＝1，當(dāng)n≥2時，這n－1個等式累加得，an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝，故an＝＋a1＝且a1＝1也滿足該式，∴an＝(n∈N*).例3 已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.考點 遞推數(shù)列通項公式求法題點 一階線性遞推數(shù)列解 遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，則t＝－3.故遞推公式為an＋1＋3＝2(an＋3).令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.所以{bn}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列.所以bn＝42n－1＝2n＋1，即an＝2n＋1－3.反思與感悟 型如an＋1＝pan＋q(其中p，q為常數(shù)，且pq(p－1)≠0)可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下：第一步 假設(shè)將遞推公式改寫為an＋1＋t＝p(an＋t)；第二步 由待定系數(shù)法，解得t＝；第三步 寫出數(shù)列的通項公式；第四步 寫出數(shù)列{an}通項公式.跟蹤訓(xùn)練3 已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋35n，a1＝6，求數(shù)列{an}的通項公式.考點 遞推數(shù)列通項公式求法題點 an＋1＝pan＋f(n)型解 設(shè)an＋1＋x5n＋1＝2(an＋x5n)，①將an＋1＝2an＋35n代入①式，得2an＋35n＋x5n＋1＝2an＋2x5n，等式兩邊消去2an，得35n＋x5n＋1＝2x5n，兩邊除以5n，得3＋5x＝2x，則x＝－1，代入①式得an＋1－5
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