基本不等式經(jīng)典例題精講1資料-在線瀏覽
2025-05-12 00:14本頁(yè)面
【正文】 =1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來(lái)看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實(shí)上，我們可以把分母視作一個(gè)整體，用它來(lái)表示分子，原式即可展開(kāi).解：令t=x2+1，則t≥1且x2=t1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時(shí)，等號(hào)成立.∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì).解法一：利用“1的代換”,∵+=1,∴x+y=(x+y)新課標(biāo)人教A版高中數(shù)學(xué)必修五典題精講（）典題精講例1（1）已知0＜x＜，求函數(shù)y=x(13x)的最大值。（2）求函數(shù)y=x+的值域.思路分析：（1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個(gè)和為定值，可考慮把括號(hào)內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0與x＜0討論.（1）解法一：∵0＜x＜,∴13x＞0.∴y=x(13x)= (+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時(shí)，取等號(hào).又+=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y9)++10.∵y＞9,∴y9＞0.∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)y9=，即y=12時(shí)，取得等號(hào)，此時(shí)x=4.∴當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+：由+=1，得y+9x=xy,∴(x1)(y9)=9.∴x+y=10+(x1)+(y9)≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)x1=+=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時(shí)，x+y取得最小值16.綠
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