概率論與數(shù)理統(tǒng)計_第三章-在線瀏覽
2025-05-09 04:09本頁面
【正文】 }{)( ????xxiXixXPxF 又由一維離散型隨機變量分布函數(shù)與分布律關(guān)系得： 比較可得 X的分布律 為： ??????? ? ijiji ppxXP1}{ 同理可得 Y的分布律 為： ???? ?1iijj pp 我們稱 ???? ?1jiji ppjiijj ppyYP ??????? ?1}{ ——(X,Y)關(guān)于 X的 邊緣分布律 ——(X,Y)關(guān)于 Y的 邊緣分布律 顯然 ,由聯(lián)合分布律 可 求 得各個 邊緣分布律 ,只需 采用 “ 同一表格法 ” . 設(shè) Y的聯(lián)合分布律為 〖 解 〗 利用公式得邊緣分布律 ,見上表 “ 邊緣 ” . 求 X,Y的邊緣分布律 . 【 例 3】 三、連續(xù)型二維隨機變量的邊緣概率密度 設(shè) 連續(xù)型 二維隨機變量 (X,Y)的 概率密度 為 dxdyyxfxFxFxX ? ????????????????? ),(),()()),)((,( 2Ryxyxf ? 則由聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù)、聯(lián)合概率密度關(guān)系得： dttfxFxXX )()( ???? 又由一維連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)與概率密度關(guān)系得： 比較可得 X為連續(xù)型隨機變量 ,且 X的概率密度 為： ?????? dyyxfxf X ),()( 同理可得 Y的概率密度 為： 我們稱 ?????? dyyxfxf X ),()(?????? dxyxfyf Y ),()( —(X,Y)關(guān)于 X的 邊緣概率密度 —(X,Y)關(guān)于 Y的 邊緣概率密度 顯然 ,由聯(lián)合概率密度 可 求 得各個 邊緣概率密度 , 只需對某 一個變量在 (∞,+∞)上積分 ,但必須注意 另 一個變量應(yīng)在全體實數(shù)范圍內(nèi)取值 . ?????? dxyxfyf Y ),()(參量積分 【 例 4】 (典型題） 設(shè) Y的聯(lián)合概率密度為 ? 解題思路 求 X,Y的邊緣概率密度 . ??? ???,0,6),( 2其它xyxyxf ?畫出 聯(lián)合概率密度的 非零區(qū)域 。 ? 綜合上述兩點就 x(y) 分兩種情形 關(guān)于 y(x)由 ∞積分到 +∞,只需在積分直線 與非零區(qū)域 交線 上進行 . ?????? dyyxfxf X ),()(???????? ?,0,10,62其它xdyxx??? ????.,0,10)(6 2其它xxx類似可得 : 〖 解 〗 由公式得 : 例 4續(xù) 1 ?????? dxyxfyf Y ),()(例 4續(xù) 2 ?????? dxyxfyf Y ),()(???????? ?,0,10,6其它ydxyy??? ????.,0,10)(6其它yyy 本例是求邊緣概率密度的 典型題 ，不同的題目只是非零區(qū)域形狀和積分表達式的變化，必須熟練掌握 . □ 二維正態(tài)分布的邊緣分布 )。 相互獨立的隨機變量 則稱隨機變量 X與 Y是 相互獨立 的 . },{}{},{ yYPxXPyYxXP ????? 定義 1 設(shè) 分別為二維隨機 變量 (X,Y)分布函數(shù)與邊緣分布函數(shù) .如果對于任意 的實數(shù) 均有 )(),(),( yFxFyxF YXyx,一、概念 即 ),()(),( yFxFyxF YX? 利用兩事件的獨立性可以定義兩隨機變量的獨立性 . 二、判定 由定義可以判定隨機變量 X與 Y的 獨立性 : ).),()(()(),( 2RyxyFxFyxF YX ???? X與 Y相互 獨立 特別的，對離散性和連續(xù)性隨機變量，也可利 用其分布律與概率密度來判定獨立性。但當 X與 Y相互 獨立時，邊緣分布也可確定聯(lián)合分布。 (2)判定 X,Y的獨立性 . 〖 解 〗 (1)求 (X,Y)的邊緣概率 密度 dyyxfxf X ),()( ?????????????? ??,0,10,1其它xdyxx??? ???,0,10,2其它xxdxyxfyf Y ),()( ??????????????????????????,001,110,111其它ydxydxyy??? ?????,0,11|,|1其它yy?????????????,001,110,1其它yyyy例 1續(xù) 1 (2)判定獨立性 因為 )()(),( yfxfyxf YX? 即 X與 Y不獨立 。 (2)求關(guān)于 t的二次方程 t2+2Xt+Y=0 有實根的概率 . 〖 解 〗 (1)求 X與 Y的聯(lián)合概率密度 因為 X,Y獨立 ,且有 ??? ???,0,10,1)(其它xxf X????????,0,0,21)(2其它yeyfyY 所以 ,X與 Y的聯(lián)合概率密度為 ???????????.,00,10,)()(),( 221其它yxeyfxfyxfyYX例 2續(xù) 1 (2)求方程有實根的概率 “方程有實根 ” 即為 ,04)2( 2 ???? YX 故所求概率為 。 本題知識點回顧 不難看出：對于二維正態(tài)隨機變量 (X,Y),X與 Y相 互獨立的充要條件是參數(shù) ρ=0. 參數(shù) ρ稱為 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) (ch4). 如果隨機變量 X與 Y的 相關(guān)系數(shù) ρ=0,稱 X與 Y是 不 相關(guān) 的 . 一般 ,X與 Y相互 獨立 X與 Y不相關(guān) . 但對 二維正態(tài) 隨機變量 (X,Y),X與 Y獨立 與 不相 關(guān) 是 等價 的 . 續(xù) 由一、二維隨機變量推廣至 n維隨機變量 .請看教 材 我們知道： 二維正態(tài) 隨機變量 (X,Y)的 概率密度 為 ???? ????????? 21212221)()1(21e x p121),(???????xyxf???????????22222121 )())((2??????? yyx)。 條件分布 一、離散型二維隨機變量的條件分布律 定義 1 設(shè)（ X， Y）為離散型二維隨機變量， 對于固定的 j，當 時，稱 0}{ ?? jyYPjijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????}{},{}|{ ),2,1( ??i為 在 條件下 X的條件分布律 ； jyY ?由條件概率可以自然地引入條件分布。 ixX ?????????iijijiij ppxXPyYxXPxXyYP}{},{}|{ ),2,1( ??j對于固定的 i，當
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