【正文】 ???? 或代入 S—方程 ????????????????????????? ????? 00)?2?(2)(2 1122 ???? ESLceBrVzz?????????????????? 020? 11 ?? ?zS為因 ????????????????????????? ?????00)?(2)(21122 ???? ELceBrVz ??以所最后得 ?1 滿足的方程 1122)?(2)(2 ???? ELceBrV z ????????? ????? ??同理得 ?2 滿足的方程 2222)?(2)(2 ???? ELceBrV z ????????? ????? ??（ 1） 當(dāng) B=0 時(shí)（無外場(chǎng)），是有心力場(chǎng)問題，方程退化為不考慮自旋時(shí)的情況。 對(duì)氫原子情況 22422)( neErerVn ??????II。原來 m 不同能量相同的簡(jiǎn)并現(xiàn)象被外磁場(chǎng)消除了。當(dāng)原子處于 S 態(tài)時(shí)， l = 0, m = 0 的原能級(jí) En l 分裂為二。 （四） 簡(jiǎn)單 塞曼效應(yīng) （ 3）光譜線分裂 2p 1s Sz= ?/2 Sz= ?/2 m +1 0 1 m +1 0 1 0 0 (a) 無外磁場(chǎng) (b) 有外磁場(chǎng) I。39。 B ? 0 有外磁場(chǎng)時(shí) ? 39。39。(2)1(21 39。 mcBeEmcBeE lnnl ?? ???)39。39。 我們已分別討論過了只有 L 和只有 S 的情況 ， 忽略了二者之間的相互作用 ， 實(shí)際上 ， 在二者都存在的情況下 ， 就必須同時(shí)考慮軌道角動(dòng)量和自旋 ， 也就是說 ， 需要研究 L 與 S 的耦合問題 。 （一）總角動(dòng)量 （ 二 ） 耦合表象和無耦合表象 167。 [證畢 ] （ 1）二角動(dòng)量之和 21 ??? JJJ??? ?? 構(gòu)成總角動(dòng)量 （一）總角動(dòng)量 0?,?)2( 2 ??????? JJ ?證： ? ? ? ?xzyxx JJJJJJ ?,????,? 2222 ??? ? ? ? ? ? ?xzxyxx JJJJJJ ?,??,??,? 222 ???? ? ? ? ? ? ? ? zxzxzzyxyxyy JJJJJJJJJJJJ ??,??,????,??,??0 ?????zyyzyzzy JJiJJiJJiJJi ???????? ???? ?????0?同理，對(duì)其他分量亦滿足。 [證畢 ] 由上面證明過程可以看出，若對(duì)易括號(hào)將 J12用 J1代替，顯然有如下關(guān)系： ?????????????????????0?,?0?,?2212JJJJ?? 這是因?yàn)? 0?,?????? 1212121 ??????? ?? JJJJJJJ zzyyxx ?? ? .2,10??)4( 2 ?? iJJ iz證： ? ? ? ?212121 ?,???,? JJJJJ zzz ?? ? ? ? ?212211 ?,??,? JJJJ zz ?? 0?同理 ? ?0?,? 22 ?JJ z亦成立 。記為： 綜合上述對(duì)易關(guān)系可知：四個(gè)角動(dòng)量算符 22212 ?,?,?,? JJJJ z兩兩對(duì)易 （ 1） 本征函數(shù) ????????mjjjmmjjjJmjjjjjmjjjJmjjjz ,|,|?,|)1(,|?,|212121221221??zz JJJJ 222121 ?,?,?,?也兩兩對(duì)易，故也有共同完備的本征函數(shù)系，記為： ???? 22112211 ,|,|,| mjmjmjmj耦合 表象 基矢 非耦合表象基矢 （二）耦合表象和無耦合表象 由于這兩組基矢都是正交歸一完備的，所以可以相互表示，即： ????? ? mjjjmjmjmjmjmjjjmm,|,|,| 21221122112121稱為矢量耦合系數(shù) 或 Clebsch Gorldon 系數(shù) 因?yàn)? zzz JJJ 21 ??? ?? 所以有 21 mmm ??于是上式求和只需對(duì) m2 進(jìn)行即可。 |,|,|, 1211121121211mmjmjmmjmjmjjjmjjjm??????????????? ??共軛式 mmjjmjjjmjjj ???????? ??,|, 2121式左????????????????? ???mjjjmmjmjmmjmjmmjmjmmjmjmjjjmm,|,|,|,2112111211121112112111將上式左乘 j1 j2 j39。 |，并考慮正交歸一關(guān)系： 11mm???對(duì) m’ = m, ?m’ m=1, 于是： jj???將 |j1,m1,j2,m2 用耦合表象基矢 |j1,j2,j,m 展開： ????? ? 221121212211 ,|,|,| mjmjmjjjmjjjmjmjjmCG系數(shù) 實(shí)數(shù)性 ???????? ? mjjjmmjmjmmjmjmjjjm,|,|, 2112111211211jj???*21221121 ,|,| ???? ? mjjjmjmjmjjjjm???? ? mjjjmjmjmjjjjm,|,| 21221121|,|,|, 212122112211 mjjjmjjjmjmjmjmjmj????????????? ???????? ? mjjjmjmjmjjjmjmjjm,|,|,| 212211212211共軛式 左乘上式，并注意非耦合表象基矢的正交歸一性： ??????? 22112211 ,|,2211 mjmjmjmjmmmm ???????????????? ? ???mjjjmjmjmjjjmjjjmjjjmjmjmj jm,|,|,|,2122112121212211????????? ????? ?mjjjmjmjmjjjmjmj mmjjmj jm,|,|, 212211212211 ????????? ? mjjjmjmjmjjjmjmjjm,|,|, 212211212211?????? ?? mjjjmjmjmjjjmjmjjmmm ,|,|, 21221121221111?對(duì) m2’ = m2 情況 , 得： 考慮到上式兩個(gè) CG系數(shù)中總磁量子數(shù)與分量子數(shù)之間的關(guān)系： m2 = m m’1 和 m2 = m m1 最后得： 11,|,|, 211211211211 mmjm mjjjmmjmjmjjjmmjmj ??????????? ?上式與關(guān)系式 jjmmjjjmmjmjmmjmjmjjj ?????????? ?,|,|, 2112111211211一起反映了 CG系數(shù)的么正性和實(shí)數(shù)性。 m1 = j1, j11,..., j1+1, j1 → (m 1)max = j1。 再考慮到 m = m1 + m2，則有： mmax = (m1)max+ (m2)max = j = jmax，于是： jma x = j1 + j2 jmin 由于基矢 |j1 m1, |j2 m2 對(duì)給定的 j1 j2分別有 2j1+1和 2j2+1個(gè)， 所以非耦合表象的基矢 |j1, m1,j2,m2 = |j1,m1 |j2, m2 的數(shù)目為 (2j1+1)( 2j2+1)個(gè) 。 3. j 的取值范圍 由于 j 只取 ≥ 0 的數(shù)，所以當(dāng) j1 j2 給定后， j 的可能取值由下式給出： j = j1+j2, j1+j21, j1+j22, ......, |j1 j2|. 該結(jié)論與舊量子論中角動(dòng)量求和規(guī)則相符合 。 求得 j, m 后， J2, Jz 的本征值問題就得到解決。 ??? mjjmmmj ,|, 2112212121121212121211121121112111211211212212??????????????????jmjjmjjjmjjmjjmmj將這些系數(shù)代入本征矢表達(dá)式可得： ???????????????????????????????21212111211212121112112112112121211121121212111211211211,|12,|12,|,|12,|12,|mjjmjmjjmjmjjmjjmjmjjmjmjj（ 一 ） 復(fù)習(xí)類氫原子能譜 （ 無自旋軌道作用 ） （ 二 ） 有自旋軌道相互作用情況 （ 1） 無耦合表象 （ 2） 耦合表象 （ 1） Hamilton量 （ 2） 微擾法求解 （ 3） 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) （ 4）零級(jí)近似波函數(shù) 本節(jié)討論無外場(chǎng)作用下，考慮電子自旋對(duì)類氫原子能級(jí)和譜線的影響。 5 光譜精細(xì)結(jié)構(gòu) 返回 （ 1） 無耦合表象 類氫原子Hamilton量 )(2? 220 rVH ???? ??對(duì)類氫原子在不考慮核外電子對(duì)核電得屏蔽效應(yīng)情況下 ， 勢(shì)場(chǎng)可寫為： rZerV 2)( ??因?yàn)? H0, L2, Lz 和 Sz 兩兩對(duì)易， 所以它們有共同完備得本征函數(shù)（無耦合表象基矢）： ???? slmlmnlmn lm mmlnYrRrslsl,|),()(),( ?????可見電子狀態(tài)由 n, l, ml , ms 四個(gè)量子數(shù)確定， 能級(jí)公式 ?? ,3,2,12 22 42 ??? nneZE n ?只與 n 有關(guān) 能級(jí)簡(jiǎn)并度，不計(jì)電子自旋時(shí)，是 n2 度簡(jiǎn)并， 考慮電子自旋后，因 ms 有二值，故 En 是 2n2 度簡(jiǎn)并。 。二者不再是守恒量，相應(yīng)的量子數(shù) ml, ms都不是好量子數(shù)了，不能用以描寫電子狀態(tài)。 證： SLSLSLJ ??2??)??(? 2222 ????? ??????因?yàn)閉??[]???[?? 243222122221 ????? ??????? LJSLJSL所以0]??,?[0]??,?[0]??,?[22??????SLLSLJSLJz??????有顯然所以 L2, J2, Jz 都與 H’對(duì)易從而也與 H 對(duì)易。 H0 的波函數(shù)有兩套：耦合表象波函數(shù)和非耦合表象波函數(shù) 。 之所以方便 ， 是因?yàn)槲_ Hamilton 量 H’ 在耦合表象矩陣是對(duì)角化的 ， 而簡(jiǎn)并微擾法解久期方程的本質(zhì)就是尋找正確的零級(jí)波函數(shù)是 H39。 這樣我們就可以省去求解久期方程的步驟 。這是因?yàn)? Enlj(1) 仍與 m 無關(guān)，同一 j值，m 可取 2j+1個(gè)值，所以還有 2j+1度簡(jiǎn)并。 (1/ 2)有二值 ? = 0除外 具有相同 n, ? 的能級(jí)有二個(gè) 由于 ξ(r) 通常很小，所以這二個(gè)能級(jí)間距很小，這就是產(chǎn)生精細(xì)結(jié)構(gòu)的原因。 5896197。其中1 3 71)()(2)12(42)0(,)1)(12(42)0(,221221??????????????????ceEEEEllnnZcnljnlllnnZcnljnl??????n, ? j=?+1/2 j=?–1/2 （ 4）零級(jí)近似波函數(shù) 波函數(shù)的零級(jí)近似取為 Ψ nljm 對(duì)不同 m 的線性組合 ， 也可以就直接取為 Ψ nljm 因?yàn)槲_ Hamilton 量 H39。 上述波函數(shù)是耦合表象基矢，表示成相應(yīng)的 Dirac 符號(hào)后并用非耦合表象基矢表示出來。 作 業(yè) 周世勛 《 量子力學(xué)教程 》 、 、 、 曾謹(jǐn)言 《 量子力學(xué)導(dǎo)論 》 、 、 、