【正文】 p1/2 3s1/2 D1 D2 5896197。 其他原子光譜中也可以發(fā)現這種譜線由更細的一些線組成的現象，稱之為光譜線的精細結構。 與其他力學量一樣 ， 自旋角動量 也是用一個算符描寫 ， 記為 S??自旋角動量 軌道角動量 異同點 與坐標、動量無關 pr ???? 不適用 同是角動量 滿足同樣的角動量對易關系 （一）自旋算符 yxzyxzxzyxzyzyxzyxSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSiSSLiLLSL?]?,?[?]?,?[?]?,?[?]?,?[?]?,?[?]?,?[??????????????????????????????????自旋角動量軌道角動量由于 自旋角動量 在空間任意方向上的投影只能取 177。 若已知電子處于 Sz = ?/2或 Sz = ?/2的自旋態(tài) ， 則波函數可分別寫為： ????????????????????? ),(00),(212121 trtr ????（二）含自旋的狀態(tài)波函數 （ 1） SZ的矩陣形式 電子自旋算符（如 SZ）是作用與電子自旋波函數上的，既然電子波函數表示成了2 1 的列矩陣，那末，電子自旋算符的矩陣表示應該是 2 2 矩陣。 ?/2， 所以 σ x,σ y,σ z的本征值都是 177。 此時 Φ 可以寫成如下形式： 波函數。 3 簡單塞曼效應 返回 （一）實驗現象 （二）氫、類氫原子在外場中的附加能 （三）求解 Schrodinger 方程 （四） 簡單塞曼效應 塞曼效應： 氫原子和類氫原子在外磁場中，其光譜線發(fā)生分 裂的現象。其解為： ),()(21 ????? lmnln l m YrR???I。 （ 2）外磁場存在時，能量與自旋狀態(tài)有關。 B = 0 無外磁場時 電子從 En ? 到 En’ ?’ 的躍遷的譜線頻率為： ?39。39。39。 mmcBeEE lnnl ???? ??? mcBe ??? ?? 20 ? 根據上一章選擇定則可知， )1(1,0 ?????? lm所以譜線角頻率可取三值： ????????????cBecBe??????22000??無磁場時的一條譜線被分裂成三條譜線 Sz= ?/2 時，取 +；Sz= ??/2 時，取 ? 。 4 兩個角動量耦合 返回 設有 J1, J2 兩個角動量，分別滿足如下角動量對易關系： 222111?????? JiJJJiJJ ???????? ????因為二者是相互獨立的角動量， 所以相互對易 ， 即 0?,? 21 ??????? JJ ??其分量 對易關系可寫為 ? ?? ?? ???????????yxzxzyzyxJiJJJiJJJiJJ??,???,???,????證： ? ? ? ?yyxxyx JJJJJJ 2121 ??,???,? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?yxyxyxy JJJJJJJJ 22122111 ?,??,??,??,? ????zz JiJi 21 ?00? ?? ???? zJi ??? )??( 21 zz JJi ?? ?同理，對其他分量成立。 [證畢 ] 所以這四個角動量算符有共同的正交歸一完備的本征函數系。 m39。 m2 = j2, j21,..., j2+1, j2 → (m2)max = j2。 j1, j2 和 j 所滿足的上述關系稱為三角形關系 ， 表示為 Δ(j 1, j2, j)。 167。通過一么正變換相聯系與 ),(),( zmn l mzn l j m srsrsl???? ??（ 1） Hamilton 量 基于相對論量子力學和實驗依據， LS自旋軌道作用可以表示為： SLrSLdrdVrcH????????? )(??12 1? 22 ??稱為自旋 軌道耦合項 （二）有自旋軌道相互作用情況 于是體系Hamilton量 SLrrVHHH ??? ????????? )()(2??? 220 ?? 由于 H 中包含有自旋 軌道耦合項，所以 Lz, Sz與 H 不再對易。 （ 2） 微擾法求解 ?? EHH ??? )??( 0本征方程因為 H0的本征值是簡并的，因此需要使用簡并微擾法求解。對角化 。 2. 精細結構 對給定的 n, ? 值， j=?177。 鈉原子 2P 項的精細結構 drrrrRr nl 220)()()( ?? ????? drr rRcZe nl )(220222 ????2221343222)1)((2 ealllnZace??????? 其中關 于 上 式 積 分 具 體 計 算 參 見 . Condon and . Shortley, The Theory of Atomic Spectra, . 原能級分裂為： 精細結構常數。 ???????????????????????????????2121212121212121212121212121212121212121,|12,|12,|,|12,|12,|mlnlmlmlnlmlmllnmlnlmlmlnlmlmlln上述討論適用于 ? 0的情況，當 ? = 0時，沒有自旋軌道耦合作用，因而能級不發(fā)生移動。因為二粒子在運動中，有各自確定的軌道，在任意時刻都有確定的位置和速度。為第其中 isrqqqVtqUtqqqqqHiiijiNjiiiNiNji},{),(),(2),(? 22121????????????? ???? ???? ?調換第 i 和第 j 粒子， 體系 Hamilton 量不變。 因此，二者相差一常數因子。 是對稱的。交換對稱性不隨時間改是守恒量，即ijij H ???? ?0?,??全同粒子體系哈密頓量是對稱的 結論： 描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數只能是對稱的或反對稱的，其對稱性不隨時間改變。 （四） Fermi 子和 Bose 子 （ 2） Fermi 子 凡自旋為 ? 半奇數倍（ s =1/2， 3/2， ……) 的粒子，其多粒子波函數對于交換 2 個粒子總是反對稱的，遵從 Fermi 統計，故稱為 Fermi 子。 子粒子）是（（氘核）和例如： B o s eHeH ?242121偶數個 Fermi 子組成 Bose 子組成 子是（氚核）和例如： F e r m iHeH 132131奇數個 Fermi子組成 奇數個 Fermi子組成 （一） 2 個全同粒子波函數 （二） N 個全同粒子體系波函數 （三） Pauli 原理 167。所以 ? (q1,q2) 和 ? (q2,q1) 不能用來描寫全同粒子體系。 n1=3， n2=n3=0 n2=3， n1=n3=0 n3=3， n2=n1=0 )()()), 312111321300 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 322212321030 qqqqqqS ???（（ ??)()()), 332313321003 qqqqqqS ???（（ ??III。 如上例，求體系可能狀態(tài)總數的問題實質上就是一個從 3 個狀態(tài)中每次取 3 個狀態(tài)的重復組合問題。此行列式稱為 Slater 行列式。, 21212211 NNNN sssrrrsrsrsr ????????? （（（ ????若是 Fermi 子體系，則 ? 應是反對稱化的。 ? 反對稱， ? 對稱。 I。波函數的反對稱化保證了全同 Fermi 子體系的這一重要性質。行列式展開后，每一項都是單粒子波函數乘積形式， 因而 ?A 是 本征方程 H ? = E ? 的解 . II。 )]()())()())()()[!3 !0!1!2), 122131223111322111321210 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ???? 另外還有 5 種可能的狀態(tài)，分別是： n1=1， n2=0， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!0!1), 132331331321332311321102 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=1， n3=2 )]()())()())()()[!3 !2!1!0), 132332331322332312321012 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=0， n2=2， n3=1 )]()())()())()()[!3 !1!2!0), 132232233212332212321021 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=1， n2=2， n3=0 )]()())()())()()[!3 !0!2!1), 122231321221322211321120 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????n1=2， n2=0， n3=1 )]()())()())()()[!3 !1!0!2), 132131233111332111321201 qqqqqqqqqqqqS ????????? （（（（ ????附注： 關于重復組合問題 從 m 個不同元素中每次取 n 個元素（元素可重復選?。┎还芘帕许樞驑嫵梢唤M稱為重復組合，記為： （ m 可大于、等于或小于 n ） nmC~)!1(!)!1(1~??????? mnnmCC nnmnm重復組合與通常組合不同，其計算公式為： 通常組合計算公式： )!(!!nmnmC nm ??重復組合計算公式表明： 從 m個不同元素中每次取 n個元素的重復組合的種數等于從（ m+n1）個不同元素中每次取 n個元素的普通組合的種數。 )]()())()())()())()())()())()()[31),233211331221132231231231133221332211321111qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqS??????????????????（（（（（（（???????I。.)2,1()( ?nq ni?（一） 2 個全同粒子波函數 III 交換簡并 粒子 1 在 i 態(tài)，粒子 2 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數為： ?????????)()(), 2121 qqqqEjiji????（驗證： ),),?2121 qqEqqH （（ ???粒子 2 在 i 態(tài)，粒子 1 在 j 態(tài)，則體系能量和波函數為： ?????????)()(), 1212 qqqqEjiji????（。 （ 3）由“基本粒子”組成的復雜粒子 如： ? 粒子（氦核）或其他原子核。 實驗表明：對于每一種粒子，它們的多粒子波函數的交換對稱性是完 全確定的，而且該對稱性與粒子的自旋有確定的聯系。 同理可證： t 時刻是反對稱的波函數 ?a ，在 t 以后任何時刻都是反對稱的。本征值反對稱波函數是的本征態(tài)；本征值對稱波函數是，所以1?1?1???????????ijij全同粒子體系波函數的這種對稱性不隨時間變化，即初始時刻是對稱的，以后時刻永遠是對稱的； 初始時刻是反對稱的，以后時刻永遠是反對稱的。 （二）波函數的對稱性質 （ 2）對稱和反對稱波函數 考慮全同粒子體系的含時 Shrodinger 方程 ),(),(?),(212121tqqqqqtqqqqqHtqqqqqtiNjiNjiNji?