【正文】 ?????363023200? 同理，可得： baabaacbabaadcba??????300200040002000aabaacbabaadcba?????? ?例 4 計算 3214214314324321? 解 ：把所有 列 都加到 第一列 上去，然后，從 第一列 提取 公因子 ，再把第二、三、四行都減去 第一行 。 3 行列式按行（列）展開 一. 余子式和代數(shù)余子式 在 n階行列式中 ， 把元素 所在第 i行和第 j列劃去后 ， 留下來的 n－ 1階行列式叫做元素 的余子式 .記作 .即 的余子式記作 . 的代數(shù)余子式 ijMijM? ? ijjiij MA ??? 1第三講 ....ijaija 中元素 的余子式和代數(shù)余子式分別為 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ?44434124232114131132aaaaaaaaaM ? 32M32a例如四階行列式? ? 323 2 3 21AM ?? ? ? ? 二 .行列式按行（列）展開定理 引理 設(shè) D為 n階行列式 ， 如果 D的第 i行所有 元素除 外 ， 其余元素均為零 ， 那么行列式 D等 于 與其代數(shù)余子式的乘積 ， 即 ijaijaijij AaD ? 證： 設(shè) nnnjnijnjaaaaaaaD????????????1111100?? ?nnnjnnijiinijiinjijiaaaaaaaaaaaaa????????????????????11111111111111001?????????? ? ? ?? ?ijijijijjinnnjnjnnjnijijiijinijijiijinjjjijjiAaMaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????????????????????????100001111111111111111111111111111111????????????????????????1 1 2 2 i i i i i n i nD a A a A a A? ? ? ?? ? 1 , 2 , , .in?? ?1 1 2 2 1 , 2 , , .j j j j n j n jD a A a A a Ajn? ? ? ?? 定理 1 行列式等于它的任一 行（列）的各元素與其對 應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和 ,即 證： nnnniniinaaaaaaaaaD???????????212111211?nnnniniinaaaaaaaaa??????????????2121112110000000 ???????????nnnninaaaaaaa???????????2111121100?nnnninaaaaaaa???????????2121121100?nnnninnaaaaaaa????????????211121100?? 類似地 .若按列證明，可得 ? ?1 1 2 2 1 , 2 , , .i i i i i n i na A a A a Ain? ? ? ??? ?1 1 2 2 1 , 2 , , .j j j j n j n jD a A a A a Ajn? ? ? ?? 例 3351110243152113???????D03550100131111115??????D:解 ? ?0551111115133???????055026115????? ?50285526131????????? 40? 例 2 計算 dcdcdcbababaD n00002????? 解 : 按第一行展開 ? ?00100122cdcdcbababddcdcbabaaDnn????????????以此作遞推公式 ， 即可得 ? ? ? ?122 ??? nn DbcadD? ? 21 Dbcad n ???? ?dcbabcadn 1??? ? ? nbcad ??? ? ? ? ???? ? 222 nDbcad? ? ? ? ? ?1211212 1 ???? ??? nnn DbcadD? ? ? ?1212 ?? ?? nn b c Da d D? ?12)( ??? nDbcad例 3 證明范蒙得（ Vandermonde） 行列式 ? ?,1111112112222121jijinnnnnnnnxxxxxxxxxxxD ??? ??????????????其中記號 “ Π”表示全體同類因子的乘積 . ??1 所以當(dāng) n=2時 （ 1） 成立 . 現(xiàn)在假設(shè) （ 1） 對于 n－ 1階 Vandermonde行列式 ， 即 ? ?jijinnnnnnnxxxxxxxxD ??? ????????222322321111??????? 證 : 用數(shù)學(xué)歸納法 .因為 ? ?jijixxxxxxD ????????? 121221211 我們來證明對 n階 Vandermonde行列式也成立 . ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?12132312221133122113120001111xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn?????????????????????? ?? ? ? ?223223211312111???????nnnnnnxxxxxxxxxxxx???????? ?? ? ? ?11312 xxxxxx n ???? ?? ?jijinxx ????? 2? ?jijinxx ?? ???? 112543254325432111133332222??D例 三、行列式展開定理的推論 推論 行列式某一行 （ 列 ） 的元素與另一行（ 列 ） 的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零 .即 ,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?或 ,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ? 證 : 設(shè) nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD????????????????21212111211?把 D按第 j行展開 ,有 nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaa????????????????21212111211jnjnjjjj AaAaAa ???? ?2211在上式兩端用 代替 inii aaa , 21 ? , 21 jnjj aaa ?得 nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaa????????????????21212111211jninjiji AaAaAa ???? ?2211? ?ji ? 同理可證 , ,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ? 顯然 ,等式左端行列式有兩行相同 ,故行列式等于零 ,即 . 綜合定理 1和推論有 ??????.,0,1jijiij 當(dāng)當(dāng)?其中 或kjnkki Aa?? 11 j , 0 j。 ijDiDi????? ???當(dāng)當(dāng)例 5． 已知行列式 求 , 其中 是 D 的第 4行元素的代數(shù)余子式 . 解： 3245543211114321?D44434241 AAAA ???44434241 , AAAA44434241 AAAA ????4 1 4 2 4 3 4 41 1 1 1 0A A A A? ? ? ? ? ? ? ?第一章 第四節(jié) 167。 定理 (4) 的系數(shù)行列式 D不等于 0,則齊次線性 方程組 (4)沒有非零解 . 例 2. 問 在什么條件下 ,方程組 ????????002121xxxx??有非零解？ 3? 解：由定理 知，若方程組 有非零解，則其系數(shù)行列式必為零。 1??1???1,101011212?????????????D3?例 3 設(shè)非齊次線性方程組 1 2 31 2 321 2 31x x xx x xx x x?????? ? ???? ? ??? ? ? ??問 λ 為何值時，該方程組有唯一解，并求其解。 D= 121 1 111D ????? 2( 1 ) ( 1 )??? ? ? ?2211111D??????2( 1)? ?3211111D?????? 22( 1 ) ( 1 )????11DxD?? 12?????22DxD??22( 1 )( 1 ) ( 2 )???? ???12? ?222( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 2 )?????????2( 1 )2??