【正文】 ]. .8 1 0)(。30)(。21)(。4)( DCBA ?? 4. 設(shè) G是 5階的可逆方陣 , 且 |G|≠1, G*是 G的伴隨矩陣 ,則有 [ ]. .||||)(。|| 1||)(。 (B)|A－ E|=0,但 |A+E|≠0。 D (C)|A－ E|=0, 且 |A+E|=0。 二 . 填空題 ? ? )(.12121???????????????nnbbbaaa????????????????nnnnnnbababababababababa???????212221212111 2. 設(shè) A=(aij)是 3階非零矩陣 , |A|是 A的行列式 , Aij是A的代數(shù)余子式 , 若 aij+Aij=0(i, j=1,2,3), 則 |A|=( ). 解 由 aij+Aij=0可得 , A*=－ AT, 于是－ AAT=|A|E. 所以 , － |A||AT|=|A|3, 因此 , |A|=0或 |A|=－ 1. 又由于 , A≠ O, 所以 , AAT≠ O, 因此 , |A|≠0. 所以 , |A|=－ 1. － 1 兩邊同取行列式， A的行列式相當(dāng)于一個(gè)數(shù) k p36且和轉(zhuǎn)置行列式相等 解 因?yàn)? 3. 設(shè) , B=P－ 1AP, 其中 P為三階可逆矩陣 , 則 B2022－ 2A2=( ). ?????????????100001010A21 0 00 1 00 0 1???????????A 41 0 0, 0 1 00 0 1??????????AE 所以 , B20222A2=P1A2022P2A2 =P1E501P2A2=E2A2 3 0 00 3 00 0 1????????????????????? 133 4. 設(shè) ?1, ?2, ?3, ?, ?均為 4 1矩陣 , A=(?1, ?2, ?3, ?), B=(?1, ?2, ?3, ?), 且 |A|=2, |B|=3, 則 |A3B|=( ). 56 解 |A3B|= |2?1, 2?2, 2?3, ?3?| = 8|?1, ?2, ?3, ?3?| = 8(|?1, ?2, ?3, ?| +|?1, ?2, ?3, 3?|) = 8(|A|3|B|)=56 5. 若對(duì)任意 n?1矩陣 X, 均有 AX=O, 則 A=( ). 解 A=AE=A(e1, e2,… ,en)=(Ae1, Ae2, … , Aen)=O. O 三 . 解答題 1. 設(shè)階矩陣 A, B滿足 AB=BA, 試證明下列等式： 證明 (A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2 =A2+2AB+B2 (1) (A+B)2=A2+2AB+B2 (2) A2－ B2=(A+B)(A－ B)=(A－ B)(A+B) 證明 (A+B)(A－ B)=A2－ AB+BA－ B2=A2－ B2 (A－ B)(A+B)=A2+AB－ BA－ B2=A2－ B2 解 令 則有 所以， z=0， x=w. 2. 求與 乘法可交換的所有矩陣 . 1101?????? ????????wzyx?????????????????????????????????10111011wzyxwzyx??????????????????? ??wzzyxxwzwyzx即與 乘法可交換的所有矩陣為： 1101??????Ryxxyx?????????,0所以 A6=(E)(E)=E , A12=E 13223122A??????????????3. 設(shè) , 求 A6及 A11. 21322,3122A???????????????? 解 由于 3 1001AE???? ? ?????? A11=A1= 13223122?????????????4 9 3 3=,2 1 1 2AP?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 4. 設(shè) , 求 (P1AP)n, An (n為正整數(shù) ). 1 231 ,139P? ??? ????? 解 (P1 AP)n=P1AnP . 所以 1 6 3 0 7 010 1 8 0 29P A P? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?n1nn70()0 ( 2 )P A P? ??? ????nnn1nn3 3 2 37 0 7 011 2 1 390 ( 2 ) 0 ( 2 )A P P? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?n n n nn n n n6 7 3 ( 2 ) 9 7 9 ( 2 )19 2 7 2 ( 2 ) 3 7 6 ( 2 )??? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ??? 解 利用分塊對(duì)角矩陣求逆公式可得 5. 求下列矩陣的逆矩陣 ???????????????1100210000120025)1(??????????????????????????????????3/13/1003/23/1000052002111002100001200251 解 因?yàn)? ????????????????????1111111111111111)2(????????????????????10000100001000011111111111111111???????????????????????10010101001100010220202022001111~????????????????????4/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/11000010000100001~??????????????????????1111001010100014000220020201111~ 所以， 解法 2 由于 ?????????????????????111111111111111141?????????????????????4/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/4/14/11AEAAA 4111111111111111111111111111111112???????????????????????????????????????????所以， A(1/4A)=E. 于是， A1=1/4A. 6. 已知 X=AX+B, 其中 求矩陣 X. ???????????????????????????350211,101111010BA 解 由 X=AX+B可得 , (EA)X=B, X=(EA)1B, ??????????????100201010101001011( EAE ???????????????110300011110001011~?????????????3/13/101003/13/21010001011~????????????3/13/101003/13/210103/13/20221~所以 ?????????????????????????35021111012312031X?????????????33063931?????????????110213 解 由于 A*=|A|A－ 1=aA－ 1, 所以 |A*|=|aA－ 1|=an|A－ 1|=an－ 1 7. 設(shè) A是 n階方陣 , 且 |A|=a ? 0, 求 |A*|. 8. 設(shè)實(shí)方陣 A ? O, 且 A*=AT, 證明 |A|?0. 證明 由于 AAT=AA*=|A|E, 記 A=(aij)n, 則 ai12+ai22+… +ain2=0, i=1,2,… ,n 所以 |A|?0. 由于 A是實(shí)矩陣 , 所以有 aij=0, i,j=1,2,… ,n, 若 |A|=0, 則有 AAT=O 即 A=O, 矛盾 . 9. 設(shè) A是 n階方陣 , 滿足 Am=E, 其中 m是正整數(shù) , E為n階單位矩陣 , A*是 A的伴隨矩陣 , 證明 (A*)m=E. 證明 由于 |Am|=|A|m=|E|=1, 所以， |A|=1. (A*)m=(A*)mE=(A*)mAm=(A*A)m=Em=E 又由于 A*A=|A|E=E, 所以有 解 由已知可得 : B(A－ E)=2E, 所以 |B||A－ E|=|2E|=4 又由于 |A－ E|=2, 所以 |B|=2. 10. 設(shè)矩陣 , 且滿足 BA=B+2E, 求 |B|. ???????