【正文】 證至少有兩根筷子是同色的？為什么？（ 2）至少拿幾根，才能保證有兩雙同色的筷子，為什么？ 解 4：把 3 種顏色的筷子當(dāng)作 3 個(gè)抽屜。 【例 5】 證明在任意的 37 人中，至少有 4 人的屬相相同。即在任意的 37 人中，至少有 4（ 37247。 【例 6】 某班有個(gè)小書(shū)架， 40 個(gè)同學(xué)可以任意借閱，試問(wèn)小書(shū)架上至少要有多少本書(shū)，才能保證至少有 1 個(gè)同學(xué)能 借到 2 本或 2 本以上的書(shū)？ 分析：從問(wèn)題 “有 1 個(gè)同學(xué)能借到 2 本或 2 本以上的書(shū) ”我們想到，此話(huà)對(duì)應(yīng)于 “有一個(gè)抽屜里面有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋(píng)果 ”。 解 6：將 40 個(gè)同學(xué)看作 40 個(gè)抽屜，書(shū)看作是蘋(píng)果，由 “抽屜原理 1”知：要保證有一個(gè)抽屜中至少有 2 個(gè)蘋(píng)果，蘋(píng)果數(shù)應(yīng)至少為 40＋ 1＝ 41（個(gè)）。 下面我們來(lái)看兩道國(guó)考真題： 【例 7】 （國(guó)家公務(wù)員考試 2020 年 B 類(lèi)第 48 題的珠子問(wèn)題）： 有 紅、黃、藍(lán)、白珠子各 10 粒，裝在一個(gè)袋子里，為了保證摸出的珠子有兩顆顏色相同，應(yīng)至少摸出幾粒？（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 解 7：把珠子當(dāng)成 “蘋(píng)果 ”，一共有 10 個(gè)，則珠子的顏色可以當(dāng)作 “抽屜 ”，為保證 摸出的珠子有 2 顆顏色一樣，我們假設(shè)每次摸出的分別都放在不同的 “抽屜 ”里，摸了 4 個(gè)顏色不同的珠子之后，所有 “抽屜 ”里都各有一個(gè)，這時(shí)候再任意摸 1 個(gè)，則一定有一個(gè) “抽屜 ”有 2 顆，也就是有 2 顆珠子顏色一樣。 【例 8】 （國(guó)家公務(wù)員考試 2020 年第 49 題的撲克牌問(wèn)題）：從一副完整的撲克牌中，至少抽出 （ ）張牌，才能保證至少 6 張牌的花色相同？ A． 21 B． 22 C． 23 D． 24 解 8：完整的撲克牌有 54 張，看成 54 個(gè) “蘋(píng)果 ”，抽屜就是 6 個(gè)（黑桃、紅桃、梅花、方塊、大王、小王），為保證有 6 張花色一樣，我們假設(shè)現(xiàn)在前 4 個(gè) “抽屜 ”里各放了 5 張，后兩個(gè) “抽屜 ”里各放了 1 張，這時(shí)候再任意抽取 1 張牌， 5 那么前 4 個(gè) “抽屜 ”里必然有 1 個(gè) “抽屜 ”里有 6 張花色一樣。 歸納小結(jié)：解抽屜問(wèn)題，最關(guān)鍵的是要找到誰(shuí)為 “蘋(píng)果 ”，誰(shuí)為 “抽屜 ”，再結(jié)合兩個(gè)原理進(jìn)行相應(yīng)分析。 八．“牛吃草”問(wèn)題 牛吃草問(wèn)題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長(zhǎng)出的草。 解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進(jìn)行對(duì)比分析，從而求出每日新長(zhǎng)草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進(jìn)而解答題總所求的問(wèn)題。（吃的較多的天數(shù)－吃的較少的天數(shù)） =草地每天新長(zhǎng)草的量。 下面來(lái)看幾道典型試題： 【例 1】 由于天氣逐漸變冷，牧場(chǎng)上的草每天一均勻的速度減少。那么可供 11 頭牛吃幾天？（ ） 【答案 C】解析：設(shè)每頭牛每天吃 1 份草，則牧場(chǎng)上的草每天減少（ 205－ 166） 247。（ 11+4） =8 天。（ 8－ 6） =12 份，如果放牧 12 頭牛正好可吃完每天長(zhǎng)出的草，故至多可以放牧 12 頭牛。用 5 臺(tái)抽水機(jī) 20 小時(shí)可將水抽完，用 8 臺(tái)抽水機(jī) 15 小時(shí)可將水抽完。（ 20－ 15） =4 份水，原來(lái)有水 815+415=180 份，故需要 180247。 練習(xí)： 1．一片牧草，可供 16 頭牛吃 20 天，也可以供 80 只羊吃 12 天，如果每頭牛每天吃草量等于每天 4 只羊的吃草量，那么 10 頭牛與 60 只羊一起吃這一片草，幾天可以吃完？（ ） 2．兩個(gè)孩子逆著自動(dòng)扶梯的方向行走。則該扶梯靜 止時(shí)共有多少級(jí)可以看見(jiàn)？（ ） 3． 22 頭牛吃 33 公畝牧場(chǎng)的草， 54 天可以吃盡， 17 頭牛吃同樣牧場(chǎng) 28 公畝的草， 84 天可以吃盡。利潤(rùn)占成本的百分?jǐn)?shù)就是利潤(rùn)率。如果某種商品打 “八折 ”出售，就是按原價(jià)的 80%出售；如果某商品打 “八五 ”折出售，就是按原價(jià)的 85%出售。本金是存入銀行的錢(qián)。利息是存款到期后，除本金外，按利率付給儲(chǔ)戶(hù)的錢(qián)。這一問(wèn)題常用的公式有： 定價(jià) =成本 +利潤(rùn) 利潤(rùn) =成本 利潤(rùn)率 定價(jià) =成本 （ 1+利潤(rùn)率 ) 利潤(rùn)率 =利潤(rùn) 247。成本 100% 售價(jià) =定價(jià) 折扣的百分?jǐn)?shù) 利息 =本金 利率 期數(shù) 本息和 =本金 （ 1+利率 期數(shù) ) 【例 1】 某商品按 20%的利潤(rùn)定價(jià)， 又按八折出售，結(jié)果虧損 4 元錢(qián)。（ 196%)=100 元。這種商品每個(gè)定價(jià)多少元？ ( ) 【答案 D】解析：每個(gè)減價(jià) 35 元出售可獲得利潤(rùn) (4535)12=120 元，則如按八五折出售的話(huà)，每件商品可獲得利潤(rùn) 120247。（ 185%)=200 元。 練習(xí)： ，凡購(gòu)?fù)环N書(shū) 100 本以上，就按書(shū)價(jià)的 90%收款，某學(xué)校到書(shū)店購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種書(shū)，其中乙書(shū)的冊(cè)數(shù)是甲書(shū)冊(cè)數(shù)的 ，只有甲種書(shū)得到了優(yōu)惠，這時(shí)，買(mǎi)甲種書(shū)所付總錢(qián)數(shù)是買(mǎi)乙種書(shū)所付錢(qián)數(shù)的 2 倍，已知乙種書(shū)每本定價(jià)是 元，優(yōu)惠前甲種書(shū)每本定價(jià)多少元？ ：每次買(mǎi)書(shū) 200 元至 元者優(yōu)惠 5%，每次買(mǎi)書(shū) 500 元以上者 (含 500 元 )優(yōu)惠 10%。已知第一次付款是第三次付款的 ，這位顧客第二次買(mǎi)了多少錢(qián)的書(shū)？ ，按 30%的利潤(rùn)定價(jià)，售出 60%以后，打八折出售，這批洗衣機(jī)實(shí)際利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)是多少？ 十． 平均數(shù)問(wèn)題 這里的平均數(shù)是指算術(shù)平均數(shù)，就是 n 個(gè)數(shù)的和被個(gè)數(shù) n 除所得的商，這里的 n 大于或等于 2。 平均數(shù)應(yīng)用題 的基本數(shù)量關(guān)系是： 總數(shù)量和 247。平均數(shù) =總份數(shù) 解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定 “總數(shù)量 ”以及和總數(shù)量對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。為使 4 場(chǎng)游戲得分的平均數(shù)為 145，第四場(chǎng)他應(yīng)得多少分？ ( ) 【答案 C】解 ： 4 場(chǎng)游戲得分平均數(shù)為 145，則總分為 1454=580，故第四場(chǎng)應(yīng) 得 580130143144=163 分。回來(lái)時(shí)走了 15分鐘到家，則李 是多少？ ( ) 米 /分 米 /分 米 /分 D90 米 /分 【答案 A】解 ： 李明往返的總路程是 90102=1800(米 )，總時(shí)間為 10+15=25 均速度為 1800247。 【例 3】 某校有有 100 個(gè)學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，平均得 63 分，其中男生平均 60 分，女生平均 70 分，則男生比女生多多少人？ ( ) 【答案 C】解：總得分為 63100=6300，假設(shè)女生也是平均 60 分，那么 100 個(gè)學(xué)生共的 6000 分 ，這樣就比實(shí)得的總分少 300 分。10=30 人，男生有 10030=70 人，故男生比女生多 7030=40 人。如果把這 5 個(gè)數(shù)從小到大排列，那么前 3 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 70，后 3 個(gè)數(shù)的和是 390。 3. 一個(gè)旅游團(tuán)租車(chē)出游，平均每人應(yīng)付車(chē)費(fèi) 40 元。如果行數(shù)與列數(shù)都相等，則正好排成一個(gè)正方形，這種圖形就叫方隊(duì)，也叫做方陣（亦叫乘方問(wèn)題）。4）＋ 1 3．方陣外一層總?cè)藬?shù) 比內(nèi)一層總?cè)藬?shù)多 2 4．去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù) 2－ 1 【例 1】 學(xué)校學(xué)生排成一個(gè)方陣，最外層的人數(shù)是 60 人，問(wèn)這個(gè)方陣共有學(xué)生多少人 ? A． 256 人 B． 250 人 C． 225 人 D． 196 人 （ 2020 年 A 類(lèi)真題） 解析：正確答案為 A。根據(jù)四周人數(shù)和每邊人數(shù)的關(guān)系可以知：每邊人數(shù) =四周人數(shù) 247。 方陣最外層每邊人數(shù)： 60247。 【例 2】 參加中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。問(wèn)參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員有多少人？ 分析 :如下圖表示的是一個(gè)五行五列的正方形隊(duì)列。 原題中去掉一行、一列的人數(shù)是 33，則去掉的一行（或一列）人數(shù)＝（ 33+1） 247。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用 5 枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是 ( )： A． 1 元 B． 2 元 C． 3 元 D． 4 元 （ 2020 年中央真題） 2. 某儀仗隊(duì)排成方陣，第一次排列若干人，結(jié)果多余 100 人；第二次比第一次每行、每列都增加 3 人，又少 29 人。年齡問(wèn)題往往是 “和差 ”、 “差倍 ”等問(wèn)題的綜合應(yīng)用。 解答年齡問(wèn)題的一般方法： 幾年后的年齡 =大小年齡差 247。 幾年前的年齡 =小年齡－大小年齡差 247。乙對(duì)甲說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將有67 歲，甲乙現(xiàn)在各有： A． 45 歲， 26 歲 B． 46 歲， 25 歲 C． 47 歲， 24 歲 D． 48 歲， 23 歲 【答案 B】解：甲、乙二人的年齡差為（ 67－ 4） 247。 【例 2】 爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是 64 歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？ A． 34 B． 39 C． 40 D． 42 【答案 C】解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為： x、 y 和 z。可求得 x=40。 2020 年，甲的年齡是乙的年齡的 3 倍。 31998 年乙的年齡 =2（ 1998 年乙的年齡 +4） 。 練習(xí)： 1. 爸爸在過(guò) 50 歲生日時(shí)，弟弟說(shuō)： “等我長(zhǎng)到哥哥現(xiàn)在的年齡時(shí)，我和哥哥的年齡之和等于那時(shí)爸爸的年齡 ”，那么哥哥今年多少歲？ 2. 甲、乙兩人的年齡和正好是 80 歲，甲對(duì)乙說(shuō)： “我像你現(xiàn)在這么大時(shí)，你的年齡正好是我的年齡的一半。 【例 1】 b 比 a 增加了 20%，則 b 是 a 的多少？ a 又是 b 的多少呢？ 解析：可根據(jù)方程的思想列式得 a（ 1＋ 20%）＝ b，所以 b 是 a 的 倍。 【例 2】 養(yǎng)魚(yú)塘里養(yǎng)了一批魚(yú)，第一次捕上來(lái) 200 尾，做好標(biāo)記后放回魚(yú)塘，數(shù)日后再捕上 100 尾，發(fā) 現(xiàn)有標(biāo)記的魚(yú)為5 尾，問(wèn)魚(yú)塘里大約有多少尾魚(yú) ? A． 200 B． 4000 C． 5000 D． 6000 （ 2020 年中央 B 類(lèi)真題） 解析：方程法：可設(shè)魚(yú)塘有 X 尾魚(yú)，則可列方程， 100/5＝ X/200，解得 X=4000，選擇 B。如果 2020年該公司的計(jì)算機(jī)銷(xiāo)售額為 3000 萬(wàn)元，那么 2020 年的計(jì)算機(jī)銷(xiāo)售額大約是多少 ? A． 2900 萬(wàn)元 B． 3000 萬(wàn)元 C． 3100 萬(wàn)元 D． 3300 萬(wàn)元（ 2020 年中央 A 類(lèi)真題） 解析：方程法：可設(shè) 2020 年時(shí)，銷(xiāo)售的計(jì)算機(jī)臺(tái)數(shù)為 X，每臺(tái)的價(jià)格為 Y，顯然由題意可知， 2020 年的計(jì)算機(jī)的銷(xiāo)售額 =X（ 1+20%） Y（ 120%），也即 3000 萬(wàn) =，顯然 XY≈3100。 特殊方法：對(duì)一商品價(jià)格而言，如果上漲 X 后又下降 X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少？或者下降 X 再上漲 X，求此時(shí)的商品價(jià)格原價(jià)的多少？只要上漲和下降的百分比相同，我們就可運(yùn)用簡(jiǎn)化公式， 1－ X 。對(duì)于此題而言，計(jì)算機(jī)臺(tái) 數(shù)比上一年度上升了 20％，每臺(tái)的價(jià)格比上一年度下降了 20％，因?yàn)殇N(xiāo)售額＝銷(xiāo)售臺(tái)數(shù) 每臺(tái)銷(xiāo)售價(jià)格，所以根據(jù)乘法的交換律我們可以看作是銷(xiāo)售額上漲了 20%又下降了 20%，因而 2020 年是 2020 年的 1－（ 20%） ＝ ， 2020 年的銷(xiāo)售額為 3000 萬(wàn)，則 2020 年銷(xiāo)售額為 3000247。 【例 4】 生產(chǎn)出來(lái)的一批襯衫中大號(hào)和小號(hào)各占一半。如果這批襯衫總共有 100 件，其中大號(hào)白色襯衫有 10 件，問(wèn)小號(hào)藍(lán)色襯衫有多少件 ? （ 2020 年中央 A 類(lèi)真題） A． 15 B． 25 C． 35 D． 40 解析：這是一道涉及容斥關(guān)系（本書(shū)后面會(huì)有專(zhuān)題講解）的比例問(wèn)題。 【例 5】 某企業(yè)發(fā)獎(jiǎng)金是根據(jù)利潤(rùn)提成的，利潤(rùn)低于或等于 10 萬(wàn)元時(shí)可提成 10%；低于或等于 20 萬(wàn)元時(shí)，高于 10 萬(wàn)元的部分按 %提成；高于 20 萬(wàn)元時(shí)，高于 20 萬(wàn)元的部分按 5%提成。根據(jù)要求進(jìn)行列式即可。 【例 6】 某企業(yè)去年的銷(xiāo)售收入為 1000 萬(wàn)元，成本分生產(chǎn)成本 500 萬(wàn)元和廣告費(fèi) 200 萬(wàn)元兩個(gè)部分。根據(jù)題意列式如下：（ 1000500200） P％ +（ 20010002%） P％ =120 即 480P％ =120 P％ =25% 所以，答案為 B。設(shè)乙每小時(shí)加工 X 個(gè)零件，則甲每小時(shí)加工 個(gè)零件，并可列方程如下： （ 1+） 8=736 X=40 所以，選擇 C。 【例 9】 某儲(chǔ)戶(hù)于 1999 年 1 月 1 日存人銀行 60000 元，年利率為 %，存款到期日即 2020 年 1 月 1 日將存款全部取出，國(guó)家規(guī)定凡 1999 年 11 月 1 日后孳生的利息收入應(yīng)繳納利息稅，稅率為 20％，則該儲(chǔ)戶(hù)實(shí)際提取本金合計(jì)為 ：A． 61 200 元 B． 61 160 元 C． 61 000 元 D． 60 040 元 解析，如不考慮利息稅，則 1999 年 1 月 1 日存款到期日即 2020 年 1 月 1 可得利息為 600002%=1200，也即 100 元 /月，但實(shí)際上從 1999 年 11 月 1 日后要收 20%利息稅，也即只有 2 個(gè)月的利息收入要交稅，稅額 =20020%=40 元 ， 所以，提取總額為 60000+120040=61160，正確答案為 B。 首先應(yīng)該掌握如下知識(shí)要點(diǎn)： 2452＋ 613＝ 3065 和的尾數(shù) 5 是由一個(gè)加數(shù)的尾