【正文】 分析：從問題 “有 1 個(gè)同學(xué)能借到 2 本或 2 本以上的書 ”我們想到，此話對(duì)應(yīng)于 “有一個(gè)抽屜里面有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的蘋果 ”。 【例 5】 證明在任意的 37 人中，至少有 4 人的屬相相同。即：一定能找到 2 個(gè)學(xué)生，他們是同年同月同日出生的。為保證有 2 人的得分一樣，該班至少得有幾人參賽？（ ） A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 解 2：毫無(wú)疑問，參賽總?cè)藬?shù)可作 “蘋果 ”，這里需要找 “抽屜 ”，使找到的 “抽屜 ”滿足：總?cè)藬?shù)放進(jìn)去之后，保證有1 個(gè) “抽屜 ”里，有 2 人。上面（ 4）、（ 5）、（ 6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多幾的情況，可用 “蘋果數(shù) ”除以 “抽屜數(shù) ”，若余數(shù)不為零，則 “答案 ”為商加 1；若余數(shù)為零，則 “答案 ”為商。我們一定能找到一個(gè)拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個(gè)蘋果？（答案： 17247。抽屜問題可以簡(jiǎn)單歸結(jié)為一句話：有多少個(gè)蘋果，多少個(gè)抽屜，蘋果和抽屜之間的關(guān)系。即：無(wú)論怎么放，都會(huì)找到一個(gè)抽屜，它里面至少有 6 個(gè)蘋果。 由上可以得出： 題 號(hào) 物 體 數(shù) 量 抽屜數(shù) 結(jié) 果 （ 1） 蘋 果 3 個(gè) 放入 2 個(gè)抽屜 有一個(gè)抽屜至少有 2 個(gè)蘋果 （ 2） 手 帕 5 塊 分給 4 個(gè)人 有一人至少拿了 2 塊手帕 （ 3） 鴿 子 6 只 飛進(jìn) 5 個(gè)籠子 有一個(gè)籠子至少飛進(jìn) 2 只鴿 上面三例的共同特點(diǎn)是：物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)多一個(gè)，那么有一個(gè)抽屜至少有 2 個(gè)這樣的物體。 （ 3） 6 只鴿子飛進(jìn) 5 個(gè)鴿籠，那么一定有 1 個(gè)鴿籠至少飛進(jìn) 2 只鴿子。 3 題目要求的是甲運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)上面的分析可知，經(jīng)過(guò)這段時(shí)間之后，甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算式就是 ： 90t＝ 300n 其中， t 是甲運(yùn)動(dòng)的時(shí)間， n 是一個(gè)整數(shù)。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要 16 分40 秒，甲就能看到乙。這時(shí)甲、乙兩人相距 300 米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說(shuō)，如果單純的認(rèn)為甲、乙距離差為 300 米時(shí)，甲就能看到乙的話就會(huì)出錯(cuò)。 圖中每一個(gè) “格檔 ”長(zhǎng)為 300 米，如此可以將題目化為這樣的問題 “經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，甲、乙能走入同一格檔？ ” 觀察題目選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有 15 分鐘、 16 分鐘兩個(gè)整數(shù)時(shí)間，比較方便計(jì)算。有一種錯(cuò)誤的理解就是 “甲看到乙 ”則是甲與乙在同一邊上的時(shí)候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小于 300 米時(shí)候甲就能看到乙了，其實(shí)不然。因?yàn)閮杀芤鹤罱K濃度相同，因此整個(gè)過(guò)程可以等效為 ——將甲、乙兩杯溶液混合均勻之后，再分開成為 400 克的一杯和 600 克的一杯。問現(xiàn)在兩倍溶液的濃度是多少 ( ) % % % % 2 【答案 B】解析：這道題要解決兩個(gè)問題： (1)濃度問題的計(jì)算方法 ： 濃度問題在國(guó)考、京考當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)很少，但是在浙江省的考試中，每年都會(huì)遇到濃度問題。乙班 160247。 (和 +差 )247。 【例題 2】為了把 2020 年北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國(guó)各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。李大爺步行到第幾棵數(shù)時(shí)就開始往回走？ 32棵 32 棵 32 棵 32 棵 解析：李大爺從第一棵數(shù)走到 第 15 棵樹共用了 7 分鐘，也即走 14 個(gè)棵距用了 7 分鐘，所以走沒個(gè)棵距用 分鐘。6=4 即可得到做錯(cuò)的題 ,所以可知選擇 B。答案為 A。 【例題 2】電視臺(tái)向 100 人調(diào)查前一天收看電視的情況，有 62 人看過(guò) 2 頻道， 34 人看過(guò) 8 頻道， 11 人兩個(gè)頻道都看過(guò)。 三、 植樹 問題 核心要點(diǎn)提示： ① 總路線長(zhǎng) ② 間距 (棵距 )長(zhǎng) ③ 棵數(shù)。當(dāng)他回到第 5 棵樹時(shí)，共用了 30 分鐘，計(jì)共走了 30247。某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路的 (不相交 )兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長(zhǎng)度是另一條路長(zhǎng)度的兩倍還多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，則少 2754 棵；若每隔 5 米栽一棵 ，則多 396 棵，則共有樹苗： ( ) 棵 棵 棵 棵 解析：設(shè)兩條路共有樹苗 ⅹ 棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長(zhǎng)度是不變的，所以可 以 根據(jù)路程相等列出方程： (ⅹ+27544)4=(ⅹ 3964)5 (因?yàn)?2 條路共栽 4 排，所以要減 4)。2=較大數(shù)； (和 —差 )247。（ 3+1)=40(本 )，甲班 403=120(本 )。這類問題的計(jì)算需要掌握的最基本公式是 (2)本題的陷阱條件 ： “現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取 出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同。這道題就簡(jiǎn)單的變成了 “甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少 ”這個(gè)問題?？紤]一種特殊情況，就是甲、乙都來(lái)到了這個(gè)正方形的某個(gè)角旁邊，但是不在同一條邊上，這個(gè)時(shí)候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時(shí)候甲還是不能看到乙。因此代入 15 分鐘值試探一下經(jīng)過(guò) 15 分鐘甲、乙的位置關(guān)系。 考慮由于甲行走的比乙快，因此當(dāng)甲再行走 150 米，來(lái)到拐彎處的時(shí)候，乙行走的路程還不到 150 米。這種不是常規(guī)解法，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的考生可能很難想到。帶入題目四個(gè)選項(xiàng)，經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)可知，只有 A 選項(xiàng) 16 分 40 秒過(guò)后，甲運(yùn)動(dòng)的距離為 ： 90（ 1660＋ 40)/60＝ 1500＝ 3005 符合 “甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長(zhǎng) ”這個(gè)要求，它是正確答案。 我們用列表法來(lái)證明例題（ 1）： 放 法 抽 屜 ① 種 ② 種 ③ 種 ④ 種 第 1 個(gè)抽屜 3 個(gè) 2 個(gè) 1 個(gè) 0 個(gè) 第 2 個(gè)抽屜 0 個(gè) 1 個(gè) 2 個(gè) 3 個(gè) 從上表可以看出，將 3 個(gè)蘋果放在 2 個(gè)抽屜里，共有 4 種不同的放法。從而得出： 抽屜原理 1：把多于 n 個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的物體。從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律： 抽屜原理 2：把多于 mn 個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有 m＋ 1 個(gè)或多于 m＋ l 個(gè)的物體。解此類問題的重點(diǎn)就是要找準(zhǔn) “抽屜 ”，只有 “抽屜 ”找準(zhǔn)了， “蘋果 ”才好放。8＝ 2……1， 2＋ 1＝ 3，所以答案為 3） （ 6）從幾個(gè)抽屜中（填最大數(shù)）拿出 25 個(gè)蘋果，才能保證一定能找到一個(gè)抽屜，從它當(dāng)中至少拿了 7 個(gè)蘋果？（答案： 25247。其中第（ 6）題是已知 “蘋果數(shù) ”和 “答案 ”來(lái)求 “抽屜數(shù) ”。仔細(xì)分析題目， “抽屜 ”當(dāng)然是得分，滿分是 30 分，則一個(gè)人可能的得分有 31 種情況（從 0 分到 30 分），所以 “蘋果 ”數(shù)應(yīng)該是 31＋ 1＝ 32。 【例 4】 有紅色、白色、黑色的筷子各 10 根混放在一起。 解 5：將 37 人看作 37 個(gè)蘋果， 12 個(gè)屬相看作是 12 個(gè)抽屜，由 “抽屜原理 2”知， “無(wú)論怎么放一定能找到一個(gè)抽屜，它里面至少有 4 個(gè)蘋果 ”。所以我們應(yīng)將 40 個(gè)同學(xué)看作 40 個(gè)抽屜，將書本看作蘋果，如某個(gè)同學(xué)借到了書，就相當(dāng)于將這個(gè)蘋果放到了他的抽屜中。答案選 C?？梢钥闯鰜?lái)，并不是每一個(gè)類似問題的 “抽屜 ”都很明顯， 有時(shí)候 “抽屜 ”需要我們構(gòu)造，這個(gè) “抽屜 ”可以是日期、撲克牌、考試分?jǐn)?shù)、年齡、書架等等變化的量，但是整體的出題模式不會(huì)超出這個(gè)范圍。 這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是： 1．（牛的頭數(shù) 吃草較多的天數(shù)－牛頭數(shù) 吃草較少的天數(shù)） 247。經(jīng)計(jì)算，牧場(chǎng)上的草可供 20 頭牛吃 5 天，或供 16頭牛吃 6 天。 【例 2】 有一片牧場(chǎng)， 24 頭牛 6 天可以將草吃完； 21 頭牛 8 天可以吃完，要使牧草永遠(yuǎn)吃不完，至多可以放牧幾頭牛？（ ） 【答案 C】解析：設(shè)每頭牛每天吃 1 份草，則牧場(chǎng)上的草每天生長(zhǎng)出（ 218－ 246） 247。如果僅靠出水口出水，那么多長(zhǎng)時(shí)間將水漏完？（ ） 【答案 D】解析：出水口每小時(shí)漏水為（ 815－ 520） 247。 20 秒內(nèi)男孩走 27 級(jí)，女孩走了 24 級(jí)，按此速度男孩 2 分鐘到達(dá)另一端，而女孩需要 3 分鐘才能到達(dá)。商店有時(shí)減價(jià)出售商品，我們把它稱為 “打折 ”，幾折就是百分之幾十。利率是銀行公布的，是把本金看做單位 “1”，按百分之幾或千分之幾付給儲(chǔ)戶的。成本 6 利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù) =(售價(jià) 成本 )247。 【例 2】 某商品按定價(jià)出售，每個(gè)可以獲得 45 元的利潤(rùn)，現(xiàn)在按定價(jià)的八五折出售 8 個(gè)，按定價(jià)每個(gè)減價(jià) 35 元出售 12 個(gè)，所能獲得的利潤(rùn)一樣。 【例 3】 一種商品，甲店進(jìn)貨價(jià)比乙店便宜 12%，兩店同樣按 20%的利潤(rùn)定價(jià)，這樣 1 件商品乙店比甲店多收入24 元，甲店的定價(jià)是多少元？ ( ) 【答案 C】解析：設(shè)乙店進(jìn)貨價(jià)為 x 元，可列方程 20%x20%（ 112%)x=24，解得 x=1000，故甲店定價(jià)為 1000（ 112%)（ 1+20%)=1056 元 。通常把與兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的算術(shù)平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，叫做平均數(shù)問題。 【例 1】 在前面 3 場(chǎng)擊球游戲中，某人的得分分別為 1 14 144。25=72 米 /分。 練習(xí)： 1. 5 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 102。后來(lái)又增加了 8 人，這樣每人應(yīng)付的車費(fèi)是 35 元，則租車費(fèi)是多少元？ ( ) 十一 .方陣問題 學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。 方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。4+1=16（人） 整個(gè)方陣共有學(xué)生人 數(shù)： 1616=256（人）。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數(shù)相等；最外層每邊人數(shù)是 5，去一行、一列則一共要去 9 人，因而我們可以得到如下公式： 去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)＝去掉的每邊人數(shù) 2－ 1 解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數(shù)。儀仗隊(duì)總?cè)藬?shù)為多少？答案 ： 2. 500 人 十二 .年齡問題 主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長(zhǎng)，但是年齡差始終不變。倍數(shù)差－小年齡 。3=21 歲，故今年甲為 67－ 21=46 歲，乙的年齡為 45－ 21=25 歲。解法二，利用 “年齡差 ”是不變的，列方程求解。 【例 1】 1998 年，甲的年齡是乙的年齡的 4 倍。1998 年乙 的 年齡 =4 歲 ， 則 2020 年乙的年齡為 10 歲。 A/b＝ 1/＝ 5/6，所以 a 是 b 的 5/6。答案為 C?！?100。 根據(jù)已知 大號(hào)白 =10 件，因?yàn)榇筇?hào)共 50 件，所以，大號(hào)藍(lán) =40 件； 大號(hào)藍(lán) =40 件，因?yàn)樗{(lán)色共 75 件，所以，小號(hào)藍(lán) =35 件； 此題可以用另一思路進(jìn)行解析（多進(jìn)行這樣的思維訓(xùn)練，有助于提升解題能力） 大號(hào)白 =10 件，因?yàn)榘咨?25 件，所以，小號(hào)白 =15 件； 小號(hào)白 =15 件，因?yàn)樾√?hào)共 50 件，所以，小號(hào)藍(lán) =35 件； 所以，答案為 C。 獎(jiǎng)金應(yīng)為 1010%+（ 2010） %+（ 4020） 5%= 所以，答案為 B。 【例 7】 甲乙兩名工人 8 小時(shí)共加 736 個(gè)零件，甲加工的速度比乙加工的速度快 30%，問乙每小時(shí)加工多少個(gè)零件 ? A． 30 個(gè) B． 35 個(gè) C． 40 個(gè) D． 45 個(gè) （ 2020 年 A 類真題） 解析：選用方程法。 十四 . 尾數(shù)計(jì)算 問題 1． 尾數(shù)計(jì)算法 知識(shí)要點(diǎn)提示：尾數(shù)這是數(shù)學(xué)運(yùn)算題解答的一個(gè)重要方法，即當(dāng)四個(gè)答案全不相同時(shí)，我們可以采用尾數(shù)計(jì)算法，最后選擇出正確答案。 2452247。 9＋ 9＋ 9＝ 27，所以答案為 D。 2． 自然數(shù) N 次方的尾數(shù)變化情況 知識(shí)要點(diǎn)提示： 我們首先觀察 2n 的變化情況 21 的尾數(shù)是 2 22 的尾數(shù)是 4 23 的尾數(shù)是 8 24 的尾數(shù)是 6 25 的尾數(shù)又是 2 10 我們發(fā)現(xiàn) 2 的尾數(shù)變化是以 4 為周期變化的即 21 、 2 29……24n+1 的尾數(shù)都是相同的。4＝ 497 余 1，所以 81989 的尾數(shù)和81 的尾數(shù)是相同的，即 19881989 的尾數(shù)為 8。 十五 . 最小公倍數(shù)和最小公約數(shù)問題 1．關(guān)鍵提示：最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不難，但一定要細(xì)致審題，千萬(wàn)不要粗心。公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。顯然 5， 9， 12 的最小公倍數(shù)為 5334＝ 180。 120247。顯然 1 分鐘之后，無(wú)論甲、乙、丙跑 幾圈都回到了起跑線上。 11 這兩艘船在距離乙岸 400 米處又重新相遇。 1760 米 典型兩次相遇問題，這題屬于兩岸型 (距離較近的甲岸 720 米處相遇、距離乙岸 400 米處又重新相遇 )代入公式3720400=1760 選 D。需要 A個(gè)人劃船，共需過(guò)河 (MA)/ (NA)次 例 37 名紅軍戰(zhàn) 士渡河，現(xiàn)在只有一條小船，每次只能載 5 人，需要幾次才能渡完 ? ( ) 解： (371)/(51)=9 第五、牛吃草問題：草場(chǎng)原有草量 =(牛數(shù) 每天長(zhǎng)草量 )*天數(shù) 例 5：有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干， 10 臺(tái)抽水機(jī)需抽 8 小時(shí)， 8 臺(tái)抽水機(jī)需抽 12 小時(shí)，如果用 6 臺(tái)抽水機(jī)，那么需抽多少小時(shí) ?( )