【正文】 1 一、容斥原理 （ 關(guān)鍵就兩個(gè)公式 ） ： 1. 兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式： A+B=A∪ B+A∩ B 2. 三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式： A+B+C=A∪ B∪ C+A∩ B+B∩ C+C∩ AA∩ B∩ C 【例題 1】某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)是 32 人，在第一次考試中有 26 人及格，在第二次考試中有 24 人及格，若兩次考試中，都沒及格的有 4 人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是 ( ) 解析 ： 設(shè) A=第一次考試中及格的人數(shù) (26 人 ),B=第二次考試中及格的人數(shù) (24 人 ),顯然 ,A+B=26+24=50； A∪ B=324=28，則根據(jù) A∩ B=A+BA∪ B=5028=22。答案為 A。 【例題 2】電視臺向 100 人調(diào)查前一天收看電視的情況，有 62 人看過 2 頻道， 34 人看過 8 頻道， 11 人兩個(gè)頻道都看過。問兩個(gè)頻道都沒看過的有多少人？ 解析：設(shè) A=看過 2 頻道的人 (62)， B=看過 8 頻道的人 (34)，顯然， A+B=62+34=96； A∩ B=兩個(gè)頻道都看過的人 (11)，則根據(jù)公式 A∪ B= A+BA∩ B=9611=85，所以，兩個(gè)頻道都沒看過的人數(shù)為10085=15 人。 二、作對或做錯(cuò)題問題 【例題】某次考試由 30 到判 斷題，每作對一道題得 4 分，做錯(cuò)一題倒扣 2 分，小周共得 96 分，問他做錯(cuò)了多少道題？ 方法一 ： 假設(shè)某人在做題時(shí)前面 24 道題都做對了 ,這時(shí)他應(yīng)該得到 96 分 ,后面還有 6 道題 ,如果讓這最后 6 道題的得分為0,即可滿足題意 .這 6 道題的得分怎么才能為 0 分呢 ?根據(jù)規(guī)則 ,只要作對 2 道題 ,做錯(cuò) 4 道題即可 ,據(jù)此我們可知做錯(cuò)的題為 4 道 ,作對的題為 26 道 . 方法二 ： 作對一道可得 4 分 ,如果每作對反而扣 2 分 ,這一正一負(fù)差距就變成了 6 分 .30 道題全做對可得 120 分 ,而現(xiàn)在只得到 96 分 ,意味著差距為 24 分 ,用 24247。6=4 即可得到做錯(cuò)的題 ,所以可知選擇 B。 三、 植樹 問題 核心要點(diǎn)提示： ① 總路線長 ② 間距 (棵距 )長 ③ 棵數(shù)。只要知道三個(gè)要素中的任意兩個(gè)要素，就可以求出第三個(gè)。 【例題 1】李大爺在馬路邊散步，路邊均勻的栽著一行樹，李大爺從第一棵數(shù)走到底 15 棵樹共用了 7 分鐘，李大爺又向前走了幾棵樹后就往回走，當(dāng)他回到第 5 棵樹是共用了 30 分鐘。李大爺步行到第幾棵數(shù)時(shí)就開始往回走？ 32棵 32 棵 32 棵 32 棵 解析：李大爺從第一棵數(shù)走到 第 15 棵樹共用了 7 分鐘，也即走 14 個(gè)棵距用了 7 分鐘，所以走沒個(gè)棵距用 分鐘。當(dāng)他回到第 5 棵樹時(shí)，共用了 30 分鐘，計(jì)共走了 30247。=60 個(gè)棵距，所以答案為 B。第一棵到第 33 棵共 32 個(gè)棵距，第 33 可回到第 5 棵共 28 個(gè)棵距， 32+28=60 個(gè)棵距。 【例題 2】為了把 2020 年北京奧運(yùn)會辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林。某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場館的兩條路的 (不相交 )兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多 6000 米，若每隔 4 米栽一棵，則少 2754 棵；若每隔 5 米栽一棵 ，則多 396 棵，則共有樹苗： ( ) 棵 棵 棵 棵 解析：設(shè)兩條路共有樹苗 ⅹ 棵，根據(jù)栽樹原理，路的總長度是不變的，所以可 以 根據(jù)路程相等列出方程： (ⅹ+27544)4=(ⅹ 3964)5 (因?yàn)?2 條路共栽 4 排，所以要減 4)。 解得 ⅹ =13000，即選擇 D。 四、和差倍問題 核心要點(diǎn)提示：和、差、倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和或差與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的值。 (和 +差 )247。2=較大數(shù)； (和 —差 )247。2=較小數(shù)；較大數(shù) —差 =較小數(shù)。 【例題】甲班 和乙班共有圖書 160 本，甲班的圖書是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有圖書多少本？ 解析：設(shè)乙班的圖書本數(shù)為 1 份，則甲班和乙班圖書本書的合相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的 4 倍。乙班 160247。（ 3+1)=40(本 )，甲班 403=120(本 )。 五． 濃度問題 【例 1】 (2020 年北京市應(yīng)屆第 14 題 ) 甲杯中有濃度為 17%的溶液 400 克，乙杯中有濃度為 23%的溶液 600 克?，F(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同。問現(xiàn)在兩倍溶液的濃度是多少 ( ) % % % % 2 【答案 B】解析：這道題要解決兩個(gè)問題： (1)濃度問題的計(jì)算方法 ： 濃度問題在國考、京考當(dāng)中出現(xiàn)次數(shù)很少，但是在浙江省的考試中，每年都會遇到濃度問題。這類問題的計(jì)算需要掌握的最基本公式是 (2)本題的陷阱條件 ： “現(xiàn)在從甲、乙兩杯中取出相同總量的溶液，把從甲杯中取 出的倒入乙杯中，把從乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩倍溶液的濃度相同。 ”這句話描述了一個(gè)非常復(fù)雜的過程，令很多人望而卻步。然而，只要抓住了整個(gè)過程最為核心的結(jié)果 ——“甲、乙兩杯溶液的濃度相同 ”這個(gè)條件，問題就變得很簡單了。因?yàn)閮杀芤鹤罱K濃度相同，因此整個(gè)過程可以等效為 ——將甲、乙兩杯溶液混合均勻之后，再分開成為 400 克的一杯和 600 克的一杯。這道題就簡單的變成了 “甲、乙兩杯溶液混合之后的濃度是多少 ”這個(gè)問題。 根據(jù)濃度計(jì)算公式可得，所求濃度為： 如果本題采用題設(shè)條件所述的過程來進(jìn)行計(jì)算，將相當(dāng)繁瑣。 六． 行程問題 【例 1】 (2020 年北京市社招第 21 題 ) 2 某單位圍墻外面的公路圍成了邊長為 300 米的正方形，甲乙兩人分別從兩個(gè)對角沿逆時(shí)針同時(shí)出發(fā)，如果甲每分鐘走 90 米，乙每分鐘走 70 米，那么經(jīng)過 ( )甲才能看到乙 分 40 秒 分 分 分 40 秒 【答案 A】 解析：這道題是一道較難的行程問 題，其難點(diǎn)在于 “甲看到乙 ”這個(gè)條件。有一種錯(cuò)誤的理解就是 “甲看到乙 ”則是甲與乙在同一邊上的時(shí)候甲就能看到乙，也就是甲、乙之間的距離小于 300 米時(shí)候甲就能看到乙了，其實(shí)不然。考慮一種特殊情況，就是甲、乙都來到了這個(gè)正方形的某個(gè)角旁邊，但是不在同一條邊上，這個(gè)時(shí)候雖然甲、乙之間距離很短，但是這時(shí)候甲還是不能看到乙。由此看出這道題的難度 ——甲看到乙的時(shí)候兩人之間的距離是無法確定的。有兩種方法來 “避開 ”這個(gè)難點(diǎn) ： 解法一：借助一張圖來求解 雖然甲、乙兩人沿正方形路線行走，但是行進(jìn)過程完全可以等效的視為兩人沿著直線行 走，甲、乙的初始狀態(tài)如圖所示。 圖中每一個(gè) “格檔 ”長為 300 米，如此可以將題目化為這樣的問題 “經(jīng)過多長時(shí)間，甲、乙能走入同一格檔？ ” 觀察題目選項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)有 15 分鐘、 16 分鐘兩個(gè)整數(shù)時(shí)間，比較方便計(jì)算。因此代入 15 分鐘值試探一下經(jīng)過 15 分鐘甲、乙的位置關(guān)系。經(jīng)過 15 分鐘之后，甲、乙分別前進(jìn)了 9015＝ 1350 米 ＝ (4300＋ 150)米 7015＝ 1050 米＝ (3300＋ 150)米 也就是說，甲向前行進(jìn)了 4 個(gè)半格檔，乙向前行進(jìn)了 3 個(gè)半格檔，此時(shí)兩人所在的地點(diǎn)如圖所示。 甲、乙兩人恰好分別在兩個(gè)相鄰的格檔的中點(diǎn)處。這時(shí)甲、乙兩人相距 300 米，但是很明顯甲還看不到乙，正如解析開始處所說，如果單純的認(rèn)為甲、乙距離差為 300 米時(shí)，甲就能看到乙的話就會出錯(cuò)。 考慮由于甲行走的比乙快，因此當(dāng)甲再行走 150 米，來到拐彎處的時(shí)候，乙行走的路程還不到 150 米。此時(shí)甲只要拐過彎就能看到乙。因此再過 150/90＝ 1 分 40 秒之后，甲恰好拐過彎看到乙。所以甲從出發(fā)到看到乙，總共需要 16 分40 秒，甲就能看到乙。這種不是常規(guī)解法，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱的考生可能很難想到。 解法二：考慮實(shí)際情況 由于甲追乙，而且甲的速度比乙快，因此實(shí)際情況下，甲能夠看到乙恰好是當(dāng)甲經(jīng)過了正方形的一個(gè)頂點(diǎn)之后就能看到乙了。也就是說甲從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，在到某個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，甲就能看到 乙了。 3 題目要求的是甲運(yùn)動的時(shí)間，根據(jù)上面的分析可知，經(jīng)過這段時(shí)間之后，甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長，轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)運(yùn)算式就是 ： 90t＝ 300n 其中， t 是甲運(yùn)動的時(shí)間， n 是一個(gè)整數(shù)。帶入題目四個(gè)選項(xiàng)，經(jīng)過檢驗(yàn)可知，只有 A 選項(xiàng) 16 分 40 秒過后，甲運(yùn)動的距離為 ： 90（ 1660＋ 40)/60＝ 1500＝ 3005 符合 “甲正好走了整數(shù)個(gè)正方形的邊長 ”這個(gè)要求，它是正確答案。 七． 抽屜問題 三個(gè)例子： （ 1） 3 個(gè)蘋果放到 2 個(gè)抽屜里，那么一定有 1 個(gè)抽屜里至少有 2 個(gè)蘋果。 （ 2） 5 塊手帕分給 4 個(gè)小朋友，那么一定有 1 個(gè)小朋友至少拿了 2 塊手帕。 （ 3） 6 只鴿子飛進(jìn) 5 個(gè)鴿籠，那么一定有 1 個(gè)鴿籠至少飛進(jìn) 2 只鴿子。 我們用列表法來證明例題（ 1）： 放 法 抽 屜 ① 種 ② 種 ③ 種 ④ 種 第 1 個(gè)抽屜 3 個(gè) 2 個(gè) 1 個(gè) 0 個(gè) 第 2 個(gè)抽屜 0 個(gè) 1 個(gè) 2 個(gè) 3 個(gè) 從上表可以看出，將 3 個(gè)蘋果放在 2 個(gè)抽屜里，共有 4 種不同的放法。 第 ① 、 ② 兩種放法使得在第 1 個(gè)抽屜里，至少有 2 個(gè)蘋果；第 ③ 、 ④ 兩種放法使得在第 2 個(gè)抽屜里，至少有 2 個(gè)蘋果。 即：可以肯定地說， 3 個(gè)蘋果放到 2 個(gè)抽屜里，一定有 1 個(gè)抽屜里至少有 2 個(gè)蘋果。 由上可以得出： 題 號 物 體 數(shù) 量 抽屜數(shù) 結(jié) 果 （ 1） 蘋 果 3 個(gè) 放入 2 個(gè)抽屜 有一個(gè)抽屜至少有 2 個(gè)蘋果 （ 2） 手 帕 5 塊 分給 4 個(gè)人 有一人至少拿了 2 塊手帕 （ 3） 鴿 子 6 只 飛進(jìn) 5 個(gè)籠子 有一個(gè)籠子至少飛進(jìn) 2 只鴿 上面三例的共同特點(diǎn)是：物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)多一個(gè)，那么有一個(gè)抽屜至少有 2 個(gè)這樣的物體。從而得出： 抽屜原理 1：把多于 n 個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有 2 個(gè)或 2 個(gè)以上的物體。 再看下面的兩個(gè)例子： （ 4）把 30 個(gè)蘋果放到 6 個(gè)抽屜中，問：是否存在這樣一種放法， 使每個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于 5？ （ 5）把 30 個(gè)以上的蘋果放到 6 個(gè)抽屜中，問：是否存在這樣一種放法，使每個(gè)抽屜中的蘋果數(shù)都小于等于 5？ 解答 :（ 4）存在這樣的放法。即：每個(gè)抽屜中都放 5 個(gè)蘋果；（ 5）不存在這樣的放法。即：無論怎么放，都會找到一個(gè)抽屜，它里面至少有 6 個(gè)蘋果。從上述兩例中我們還可以得到如下規(guī)律： 抽屜原理 2：把多于 mn 個(gè)的物體放到 n 個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有 m＋ 1 個(gè)或多于 m＋ l 個(gè)的物體。 可以看出， “原理 1”和 “原理 2”的區(qū)別是： “原理 1”物體多，抽屜少，數(shù)量比較接近； “原理 2”雖然也是 物體多，抽屜少，但是數(shù)量相差較大，物體個(gè)數(shù)比抽屜個(gè)數(shù)的幾倍還多幾。 以上兩個(gè)原理，就是我們解決抽屜問題的重要依據(jù)。抽屜問題可以簡單歸結(jié)為一句話：有多少個(gè)蘋果，多少個(gè)抽屜，蘋果和抽屜之間的關(guān)系。解此類問題的重點(diǎn)就是要找準(zhǔn) “抽屜 ”，只有 “抽屜 ”找準(zhǔn)了， “蘋果 ”才好放。 我們先從簡單的問題入手： （ 1） 3 只鴿子飛進(jìn)了 2 個(gè)鳥巢，則總有 1 個(gè)鳥巢中至少有幾只鴿子？（答案： 2 只） （ 2）把 3 本書放進(jìn) 2 個(gè)書架，則總有 1 個(gè)書架上至少放著幾本書？（答案： 2 本） （ 3）把 3 封信投進(jìn) 2 個(gè)郵筒，則總有 1 個(gè)郵筒投進(jìn)了不止幾封信？（答案 ： 1 封） （ 4） 1000 只鴿子飛進(jìn) 50 個(gè)巢，無論怎么飛，我們一定能找到一個(gè)含鴿子最多的巢，它里面至少含有幾只鴿子？（答案： 1000247。50＝ 20，所以答案為 20 只） （ 5）從 8 個(gè)抽屜中拿出 17 個(gè)蘋果，無論怎么拿。我們一定能找到一個(gè)拿蘋果最多的抽屜，從它里面至少拿出了幾個(gè)蘋果？（答案： 17247。8＝ 2……1， 2＋ 1＝ 3，所以答案為 3） （ 6）從幾個(gè)抽屜中（填最大數(shù)）拿出 25 個(gè)蘋果，才能保證一定能找到一個(gè)抽屜，從它當(dāng)中至少拿了 7 個(gè)蘋果？（答案： 25247?！酰?6……□，可見除數(shù)為 4，余數(shù)為 1，抽屜數(shù)為 4，所以答案為 4 個(gè)） 4 抽屜問題又稱為鳥巢問題、書架問題或郵筒問題。如上面（ 1）、（ 2）、（ 3）題，講的就是這些原理。上面（ 4）、（ 5）、（ 6）題的規(guī)律是：物體數(shù)比抽屜數(shù)的幾倍還多幾的情況，可用 “蘋果數(shù) ”除以 “抽屜數(shù) ”，若余數(shù)不為零，則 “答案 ”為商加 1；若余數(shù)為零，則 “答案 ”為商。其中第（ 6）題是已知 “蘋果數(shù) ”和 “答案 ”來求 “抽屜數(shù) ”。 【例 1】 某班共有 13 個(gè)同學(xué)，那么至少有幾人是同月出生？（ ） A. 13 B. 12 C. 6 D. 2 解 1：找準(zhǔn)題中兩個(gè)量，一個(gè)是人數(shù)，一個(gè)是月份，把人數(shù)當(dāng)作 “蘋果 ”，把月份當(dāng)作 “抽屜 ”，那么 問題就變成： 13個(gè)蘋果放 12 個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里放兩個(gè)蘋果。【已知蘋果和抽屜，用 “抽屜原理 1”】 【例 2】 某班參加一次數(shù)學(xué)競賽，試卷滿分是 30 分。為保證有 2