【正文】 數(shù)學(xué)運(yùn)算題型詳講（上）公務(wù)員考試是一種人才測(cè)評(píng)手段，公考的數(shù)學(xué)運(yùn)算部分考查的重點(diǎn)不是一個(gè)人數(shù)學(xué)能力的如何，而是人的素質(zhì)水平高低。過(guò)多的涉及公式的考試，是不符合人才測(cè)評(píng)目的的考試。因此，在解答數(shù)學(xué)運(yùn)算部分試題時(shí)，盡量不要涉及太多公式，對(duì)于排列組合部分，更是如此。由于公考考生的地域分布、學(xué)科分布較散，有相當(dāng)一部分考生對(duì)排列公式、組合公式的運(yùn)用并不嫻熟，甚至是相當(dāng)陌生的，強(qiáng)記、強(qiáng)用這些本身就很易混淆的公式，效果往往事倍功半，會(huì)將很多簡(jiǎn)單的問(wèn)題復(fù)雜化，使解答題目的用時(shí)過(guò)長(zhǎng)，正確率卻得不到保證。加法原理和乘法原理是數(shù)學(xué)概率方面的最基本原理，運(yùn)用基本方法解決問(wèn)題是解決公考中一切問(wèn)題的最重要、最常用手段。在這里，我們提倡考生在解決排列組合問(wèn)題時(shí)，用最簡(jiǎn)單、最好理解的加法原理和乘法原理解題，以達(dá)到快捷、正確解題的目的。解答排列組合題目時(shí)，要求考生注意以下幾點(diǎn)：關(guān)于加法原理的運(yùn)用：加法原理的運(yùn)用：一項(xiàng)任務(wù)，完成它有N類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有M1種不同的方法，在第二類(lèi)辦法中有M2種不同的方法，……，在第N類(lèi)辦法中有MN種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+……+MN種不同的方法。關(guān)于乘法原理的運(yùn)用：乘法原理的運(yùn)用：一項(xiàng)任務(wù)，完成它需要分成N個(gè)步驟，做第一步有M1種不同的方法，做第二步有M2不同的方法，……，M2M3…Mn 種不同的方法。注意排列組合問(wèn)題中的“捆綁”與“插空”當(dāng)題目中出現(xiàn)“相鄰”、“連續(xù)”等字眼時(shí)，我們要注意使用捆綁法，將這些“相鄰”、“連續(xù)”的元素捆綁起來(lái)，看做一個(gè)整體（要考慮被捆綁元素之間有無(wú)位置變化關(guān)系），再與其他元素一起進(jìn)行排列組合。如，A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排，其中A、B兩人必須站在一起，共有（ ）種排法？ 此題為基本的捆綁問(wèn)題，先將A、B二人捆綁在一起，有A左B右，A右B左兩種捆綁方法。就可以把此題看做四個(gè)人無(wú)附加條件的排列組合問(wèn)題。共有（4321）2=48種排法。解決捆綁問(wèn)題時(shí)，要注意計(jì)算捆綁方法。當(dāng)題目中出現(xiàn)“不相鄰”、“不連續(xù)”等字眼時(shí)，我們要注意使用插空法，先將其他元素排好，再將“不相鄰”、“不連續(xù)”元素排到以排好元素的空當(dāng)中。如，A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排，其中A、B兩人不站在一起，共有（ ）種排法？ 要使A、B兩人不站在一起，需先將C、D、E三人進(jìn)行排列，有321=6種排法。C、D、E三人排隊(duì)后產(chǎn)生4個(gè)空位，將A、B兩人排到4個(gè)空位中，有43=12種排法。共有612=72種排法。解決插空問(wèn)題，一般步驟是“先找空，再插入”。用“剔除法”解決排列組合問(wèn)題當(dāng)題目中出現(xiàn)元素較多時(shí)，從正面解決排列組合問(wèn)題就相對(duì)復(fù)雜、繁瑣。此時(shí)，我們可以運(yùn)用“剔除法”，先將全部排列組合方式列出，再剔除重復(fù)的、不合要求的方法，從逆向角度，快捷、準(zhǔn)確的解決排列組合問(wèn)題。還看這道例題，A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排，其中A、B兩人不站在一起，共有（ ）種排法？用剔除法解決此題，也比較方便。如果5個(gè)人沒(méi)有任何限定條件共有54321=120種排法，A、B兩人相鄰的排法有48種（見(jiàn)捆綁法例題），則兩人不相鄰的排法有12048=72種。【例題1】 自然數(shù)12321，90009，41014 ……有一個(gè)共同特征：它們倒過(guò)來(lái)寫(xiě)還是原來(lái)的數(shù)，那么具有這種“特征”的五位偶數(shù)有（ ）個(gè)。 【例題解析】本題就是一道典型乘法原理題目由于所求是偶數(shù)，同時(shí)，第一位也不能是0，所以個(gè)位只有四種可能8十位有十種可能3……0百位有十種可能3……0所以一共有41010=400種可能故應(yīng)選擇A選項(xiàng)。【重點(diǎn)提示】任何數(shù)字的首位均不能為“0”。【例題2】(2008國(guó)考第57題)一張節(jié)目表上有3個(gè)節(jié)目，如果保持這三個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去兩個(gè)新節(jié)目，有多少種安排方法？ 【例題解析】第一個(gè)新節(jié)目加入有4種選擇。第一個(gè)新節(jié)目安排進(jìn)去之后，為四個(gè)節(jié)目。那么第五個(gè)節(jié)目添加進(jìn)去的時(shí)候有5種選擇，所以添加方法總共有4x5=20種，故應(yīng)選擇A選項(xiàng)?！纠}3】有十張幣值分別為1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民幣，能組成多少種不同的幣值？A1021 B1022 C 1023 D 1024【例題解析】分幣一共3種，可有8種取法1+1+2+全取和全不取同理角幣也是8種取法，元幣有16種取法。這樣共有88161=1023種取法，減一種是因?yàn)椴荒芏疾蝗。?不算一種幣值。故應(yīng)選擇C選項(xiàng)?！舅悸伏c(diǎn)撥】將十個(gè)幣種按“元、角、分”分類(lèi)考慮，結(jié)合乘法原理的應(yīng)用，可以有效簡(jiǎn)化答題步驟?！纠}4】(2005年國(guó)家考試一卷48題)從1，2，3，4，5，6，7，8，9中任意選出三個(gè)數(shù)，使它們的和為偶數(shù)，則共有（ ）種不同的選法。 【例題解析】欲使任意3數(shù)的和為偶，則只有兩種情況，①三個(gè)數(shù)都是偶數(shù) ②三個(gè)數(shù)中，一個(gè)為偶數(shù)，兩個(gè)為奇數(shù)。1—9中有4個(gè)偶數(shù)，8，他們?nèi)齻€(gè)一組，共是4種可能1—9中有5個(gè)奇數(shù)，9，他們兩兩一組，共有10種可能。三個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的情況有4種可能；一個(gè)為偶數(shù)，兩個(gè)為奇數(shù)有104=40種可能。共有4+40=44種不同選法，故應(yīng)選擇C選項(xiàng)?！纠}5】（2007年浙江第16題）同時(shí)扔出A、B兩顆骰子（其六個(gè)面上的數(shù)字都為1,2,3,4,5,6）問(wèn)兩個(gè)骰子出現(xiàn)的數(shù)字的積為偶的情形有幾種？A、27種 B、24種 C、32種 D、54種【例題解析】?jī)蓚€(gè)骰子出現(xiàn)的數(shù)字的積的情況共有66=36種只有兩個(gè)骰子同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)時(shí)，它們的積才是奇數(shù)，共有33=9那么出現(xiàn)偶數(shù)的情況為：369=27故應(yīng)選擇A選項(xiàng)。【重點(diǎn)提示】此題采用剔除的辦法，有效地簡(jiǎn)化了答題步驟。【例題6】（2009浙江51題）如圖所示，圓被三條線段分成四個(gè)部分?，F(xiàn)有紅、橙、黃、綠四種涂料對(duì)這四個(gè)部分上色，假設(shè)每部分必須上色，且任意相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，問(wèn)共有幾種不同的上色方法？ 【例題解析】先涂區(qū)域，有4種顏色選擇；再涂區(qū)域，顏色選擇不能與區(qū)域相同，故有41=3種選擇方法；區(qū)域與區(qū)域、區(qū)域顏色選擇不同，只能有42=2種選擇方法；區(qū)域只與區(qū)域相鄰，有41=3種顏色選擇的方法。根據(jù)乘法原理，總的上色方法共有4323=72種。故應(yīng)選擇B選項(xiàng)?！纠}7】（2008湖北42題）四個(gè)房間，每個(gè)房間里不少于2人，任何三個(gè)房間里的人數(shù)不少于8人，這四個(gè)房間至少有多少人？ 【例題解析】要保證每個(gè)房間里不少于2人，且任何三個(gè)房間里的人數(shù)不少于8人，那么若每個(gè)房間都安排3人，可保證任意三個(gè)房間的人數(shù)都為9人，要使三個(gè)房間的人數(shù)不少于8人，則可使且僅可使其中一個(gè)房間的人數(shù)為2人，才能符合題意，故四個(gè)房間至少有33+2=11人。故應(yīng)選擇B選項(xiàng)?！纠}8】（2009國(guó)考115題）廚師從12種主料中挑出2種，從13種配料中挑選出3種來(lái)烹飪某道菜肴，烹飪的方式共有7種，那么該廚師最多可以做出多少道不一樣的菜肴? 【例題解析】主料的選擇共有1211247。2=66配料的選擇共有131211247。（23）=286所以總的選擇方法共有662867=132132【例題9】（2010國(guó)考46題）某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少發(fā)放9份材料。問(wèn)一共有多少種不同的發(fā)放方法？ 【例題解析】由題干中將30份材料分配到3個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少發(fā)放9份材料，可知，需要均分到三個(gè)部門(mén)的材料數(shù)為93=27（份），從而此題需要考慮的發(fā)放方法為3份材料的分配方案（3027=3）。當(dāng)3份材料均分時(shí)，分配方法為1/1/1，一種；當(dāng)3份材料分成兩組分配時(shí)，分配方法為0/1/0/2/1/0/1/2/0、2/0/2/1/0，六種；當(dāng)3份材料按一組分配時(shí)，分配方法為3/0/0、0/3/0、0/0/3，三種。故共有1+3+6=10種分配方法，故選擇C選項(xiàng)?！纠}10】(2006年國(guó)家考試一卷46題) 四人進(jìn)行籃球傳接球練習(xí)，要求每人接球后再傳給別人。開(kāi)始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，若第五次傳球后，球又回到甲手中，則共有傳球方式（ ）。 A．60種 B．65種 C．70種 D．75種【例題解析】大家知道，題目中只給出了一個(gè)要求條件“由甲發(fā)球，五次后，回甲手中”。相對(duì)問(wèn)題“共有多少種傳球方式？”我們可以對(duì)要求條件進(jìn)行提煉①“由甲發(fā)球”給定了第一次傳球后的接球?qū)ο?②“五次后，回甲手中”給定了第五次傳球者，不能是甲，也就是第四次傳球后，接球者不能是甲。好，明白了這兩個(gè)條件后，我們對(duì)傳球過(guò)程進(jìn)行逐級(jí)分析：第一次傳球，球可以傳至任意其他三人，有三種方式第二次傳球，球可以傳至任意其他三人，有三種方式第三次傳球，球可以傳至任意其他三人，有三種方式第四次傳球，注意，通過(guò)提煉條件，我們已知，此時(shí)球不能傳至甲手上，則，分兩種情況①第四次傳球者為甲時(shí)，有三種方式 ②第四次傳球者為非甲時(shí)，只有兩種方式（因不能傳給甲）第五次傳球，球只能傳至甲手中，只有一種可能大家發(fā)現(xiàn)，第四次傳球時(shí)，若甲傳球則比非甲球員方式多一種。我們暫且按當(dāng)甲傳球時(shí)，也只有兩種方式計(jì)算那么，共有傳球方式種然后，我們對(duì)甲傳球時(shí)，少計(jì)算的一種方式進(jìn)行補(bǔ)齊因?yàn)檠a(bǔ)齊的是：第四次傳球的傳球者，也就是第三次傳球后的接球者為甲的情況。所以，要求條件變更為“由甲傳球，三次后，球傳至甲手中”那么就是說(shuō)，第三次傳球者不能是甲，也就是第二次傳球的接球者不能是甲，則，第一次傳球，球可傳至任意其他三人，有三種方式第二次傳球，球已不能傳至甲手中，有二種方式第三次傳球，只能傳給甲，只有一種方式那么，共有傳球方式種則補(bǔ)齊后，共有傳球方式種答案為A本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)該注意的事項(xiàng)：概率問(wèn)題類(lèi)似于排列組合問(wèn)題，只要在答題過(guò)程中找準(zhǔn)所要求條件的概率，正確根據(jù)題目要求對(duì)所分析得到的事件概率累加或者相乘即可。對(duì)立法求概率問(wèn)題：一般運(yùn)用所求次數(shù)除以總次數(shù)的方法求概率；但是運(yùn)算比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，也可以考慮運(yùn)用對(duì)立面事件來(lái)求，用1減去對(duì)立面事件概率即為所求概率。單獨(dú)概率與“之前如何無(wú)關(guān)”：要看清楚題中所給的條件，分清求連續(xù)概率還是求單獨(dú)概率。如一個(gè)人投籃命中率為90%，當(dāng)他連續(xù)投籃九次都沒(méi)命中之后，在這一事件過(guò)程中，他第十次投籃的命中率是多少？注意，這人第十次投籃的命中率還是90%。抽獎(jiǎng)問(wèn)題：在不知道前一個(gè)人是否中獎(jiǎng)的情況下，不論抽獎(jiǎng)券的順序先后，中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)都是一樣的。有放回的抽取問(wèn)題：在有放回的抽取中，前一次的抽取不影響后一次抽取的概率，即每次抽取的概率是相同的；在無(wú)放回抽取中，前一次的抽取會(huì)影響到后一次抽取的概率?！纠}1】(2005年北京第21題)現(xiàn)有甲乙兩個(gè)水平相當(dāng)?shù)募夹g(shù)工人需進(jìn)行三次技術(shù)比賽,規(guī)定三局兩勝者為勝方。如果在第一次比賽中甲獲勝,這時(shí)乙最終取勝的可能性有多大?A. B. C. D.【例題解析】由于甲、乙兩人技術(shù)相當(dāng)，所以每次比賽乙獲勝的可能性都是，甲已經(jīng)勝了一場(chǎng)，乙只有在剩下的兩場(chǎng)中全部獲勝，才能贏得比賽答案為C【例題2】(2005年山東第7題)有一個(gè)擺地?cái)偟臄傊?，他拿?個(gè)白球，3個(gè)黑球，放在一個(gè)袋子里，讓人們摸球中獎(jiǎng)。只需2元就可以從袋子里摸3個(gè)球，如果摸到的3個(gè)球都是白球，可得10元回扣，那么如果一天有300人摸獎(jiǎng)，攤主能騙走多少元? A.350 B.400 C. 420 【例題解析】第一次摸到白球的可能性是第二次摸到白球的可能性是第三次摸到白球的可能性是連續(xù)三次摸到白球的可能性是也就是說(shuō)平均每收20次2元，可能給出10元攤主能騙走3002=450元。故應(yīng)選擇D選項(xiàng)?！纠}3】（2007年吉林乙級(jí)第9題）有三張密封的獎(jiǎng)券，其中一張有獎(jiǎng)，共有三個(gè)人按順序且每人只能抓走一張，問(wèn)誰(shuí)抓到獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)最大？ 【例題解析】因?yàn)槿龔堉兄挥幸粡埵怯歇?jiǎng)的，那么第一個(gè)人抽到獎(jiǎng)的概率為，第二個(gè)人抽到的概率為（1）=第三個(gè)人抽到的概率為1=所以三個(gè)人抽到獎(jiǎng)的概率都是故應(yīng)選擇D選項(xiàng)?！局攸c(diǎn)提示】任何抽獎(jiǎng)券的活動(dòng)，在不知道前一個(gè)人是否中獎(jiǎng)的情況下，不論抽的先后，中獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)都是一樣的。【例題4】（2010年福建春季第101題）田忌與齊威王賽馬并最終獲勝被傳為佳話，假設(shè)齊威王以上等馬、中等馬和下等馬的固定程序排陣，那么田忌隨機(jī)將自己的三匹馬排陣時(shí)，能夠獲得兩場(chǎng)勝利的概率是：A. 2/3 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/9 【例題解析】田忌的第一場(chǎng)可以共有3種選擇，第二場(chǎng)可以共有2種選擇，第三場(chǎng)只有1種選擇，所以總的排列方式共有6種，而田忌能獲勝兩場(chǎng)的方式只有1種，所以田忌能獲勝兩場(chǎng)的概率為1/6。故應(yīng)選擇C選項(xiàng)?！纠}5】（2009江蘇79題）某商店搞店慶，購(gòu)物滿200元可以抽獎(jiǎng)一次。一個(gè)袋中裝有編號(hào)為0到9的十個(gè)完全相同的球．滿足抽獎(jiǎng)條件的顧客在袋中摸球，一共摸兩次．每次摸出一個(gè)球（球放回），如果第一次摸出球的數(shù)字比第二次大，則可獲獎(jiǎng)，則某抽獎(jiǎng)?lì)櫩瞳@獎(jiǎng)概率是（ ）％ ％ ％ ％【例題解析】總的抽獎(jiǎng)方式共有1010=100種 當(dāng)?shù)谝淮蚊角驗(yàn)?時(shí)，第一次比第二次大的方式共有9種； 當(dāng)?shù)谝淮蚊角驗(yàn)?時(shí)，第一次比第二次大的方式共有