【正文】 S?S?S?F?F?S?S 平面順時(shí)針s?F?F ( S ) 平面順時(shí)針F? 既不包圍零點(diǎn)也不包圍極點(diǎn) 2 1 0A B CDEFGH1 2 3順時(shí)針S 平面S?S?A ’0B ’C ’D ’E ’F ’G ’H ’ 12? ? s 2ssF ??當(dāng) s沿圍線 順時(shí)針變化一周時(shí)，因子 (s+2)和 (s+0)1的幅角 變化量 都為 0即 即映射 在 F(s)平面上沿 A’,B’,C’,D’,E’,F’,G’,H’,A’變化一周后的幅角變化 量應(yīng)等于 0。 ? ? ? ? ? ? 002sF ??????????? ssS?F?F? 只包圍零點(diǎn)不包圍極點(diǎn) S?當(dāng) s沿圍線 順時(shí)針變化一周時(shí)，因子 (s+2)和 (s+0)1的幅角 變化分別為 3600和 00即 即 映射 在 F(s)平面上順時(shí)針包圍原點(diǎn)一周。 ? ? ? ? ? ? 036002sF ???????????? ssS?F?S?F?A ’0D ’G ’C ’E ’F ’H ’? ?s2ssF ?? 2 3 0 A B C D F E 順時(shí)針 S 平面 S ? H G 只包圍極點(diǎn)不包圍零點(diǎn) S?當(dāng) s沿圍線 順時(shí)針變化一周時(shí)，因子 (s+2)和 (s+0)1的幅角 分別為 00 和 3600即 即映射 在 F(s)平面上逆時(shí)針包圍原點(diǎn)一周。 ? ? ? ? ? ? 036002sF ??????????? ssS?F?S?F? 2 0A B CDF E順時(shí)針S 平面S?HG 1E ’0A ’G ’C ’F ’H ’B ’D ’ 1? ? s 2ssF ?? 包圍 Z 個(gè)零點(diǎn)和 P 個(gè)極點(diǎn) 由上述分析，如果圍線 包圍 Z個(gè)零點(diǎn)和 P個(gè)極點(diǎn)，那么 當(dāng) s沿 順時(shí)針繞行一周時(shí)， 應(yīng)順時(shí)針包圍原點(diǎn) ZP次， 也即 順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次數(shù)為： N=ZP S?F?S? 應(yīng)當(dāng)指出， s平面上極點(diǎn)或零點(diǎn)的位置，不論是在 s右半平面還是左半平面都沒(méi)有區(qū)別，但是包圍的是極 點(diǎn)還是零點(diǎn)卻是有區(qū)別的。 閉合曲線 包圍 F(s)平面原點(diǎn)的圈數(shù)等于 閉合曲線 包圍 F(s)平面 (1， j0)點(diǎn)的圈數(shù)。 在已知開(kāi)環(huán)傳函 G(s)H(s)的條件下，上述優(yōu)點(diǎn)為應(yīng)用幅角 原理創(chuàng)造了條件。 如果在 s平面上選擇一條能夠整個(gè)包圍 s右半平面的封閉曲線，則幅角原理就可用來(lái)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 現(xiàn)設(shè)： (s)在 s右半平面的零點(diǎn)數(shù) (即閉環(huán)特征方程在 s右半平面 的特征根數(shù) )為 Z； (即開(kāi)環(huán)特征方程在 s右半平面的特征根數(shù) )為 P； 則根據(jù)幅角原理，當(dāng) s沿上述奈氏路徑順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一 周時(shí)，映射到 F(s)平面上的圍線 順時(shí)針包圍原點(diǎn)的次 數(shù) N=ZP。由于 G(s)H(s)與 F(s)只相差一個(gè)常數(shù) 1，所 以只要將 F(s)平面上的虛軸沿實(shí)數(shù)軸向右平移一個(gè)單位， 就可得到 G(s)H(s)平面坐標(biāo)系，于是原來(lái)在 F(s)平面上的圍線 就變成了 G(s)H(s)平面上的圍線 。其中N0表示在 G(s)H(s)平面上的圍線 順時(shí)針包圍點(diǎn) (1,j0)的次數(shù)； N0表示 逆時(shí)針包圍 (1,j0)點(diǎn)的次數(shù) F? GH?F?GH?GH?GH?F?ReIm0)()(1 ?? jHjG? )()( ?? jHjG?1?平面GH曲線對(duì)原點(diǎn)的包圍，恰等于 )()( ?? jHjG)()(1 ?? jHjG?曲線對(duì) (1,j0)點(diǎn)的包圍 虛軸向右平移 1 ?＝ 0～ ? Re Im 平面 GH ? 1 ) ( ) ( 1 ? ? j H j G ? 1 0 ?＝ 0～ ? F平面 F(s)平面上的虛軸沿實(shí)數(shù)軸向右平移一個(gè)單位，就可得到 G(s)H(s)平面坐標(biāo)系 P的說(shuō)明 P表示 F(s)=1+G(s)H(s)在 s右半平面上的極點(diǎn)數(shù)。換言之， P表示開(kāi)環(huán)傳函 G(s)H(s)在 s右半平面上的極點(diǎn)數(shù) 。 確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵，就在于確定 G(s)H(s)平面上圍線 是否包圍 (1,j0)點(diǎn)，而圍線 就是系統(tǒng)的 開(kāi)環(huán)頻率特性 的極坐標(biāo)圖 GH?GH? GH?? ? ? ??? jHjG? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?n21m21pspspszszszsKsHsG?????????0型系統(tǒng) ： ： ： ??? 變化到由頻率 0, ??js22,Re???? ????? 由Rs j0, 變化到由頻率 ??? ??jss沿半徑為無(wú)窮大的半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，在 G(s)H(s)平面上只映射 為圍線 上的原點(diǎn)或 (K,j0)，只有當(dāng) s從 沿虛軸運(yùn)動(dòng)到 時(shí)，才在 G(s)H(s)平面上映射出 整個(gè) ，圍線 稱為奈氏曲線。 ?對(duì)于開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)， G(s)H(s)在 s右半平面上有 P個(gè) 極點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線當(dāng) 從 時(shí)，以逆時(shí)針包圍 (1, j0)點(diǎn) P次。 ?若奈氏曲線順時(shí)針?lè)较虬鼑?(1, j0)點(diǎn)，則不論開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 穩(wěn)定與否，閉環(huán)系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。 所謂不包圍 (1, j0)點(diǎn)，是指行進(jìn)方向的右側(cè)不包圍它。 ? ? ? ? ? ?? ?52ss2sKsHsG2 ????解 (1)：繪制開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖 ? ? ? ?2222 454 ???????? KA ? ? 211 5 2tg2tg ????? ???? ??? ? ? ?? ? ? ? 22222 249410410Re?????????? K ? ? ? ?? ? ? ? 222222494109Im???????????? K? ? ? ? ? ? ? ? ；＝，＝，＝，時(shí)，＝當(dāng) 0Im10Re0100 0 ?????? KKA ?? ? ? ? ? ? ? ? ；＝，＝，＝，時(shí)，＝當(dāng) 0Im0Re2700 0 ?????? ??? A? ? ? ? ；＝，此時(shí)與虛軸得交點(diǎn)為＝，得＝令 ?? K??? ? ? ? ；＝，此時(shí)與虛軸得交點(diǎn)為和＝，得＝令 263Re300Im K???當(dāng) K＝ 52時(shí)，奈氏曲線為： 此時(shí)，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)均 在 s左半平面，即 P=0,從圖 中看出，奈氏曲線順時(shí)針 包圍 (1,j0)點(diǎn) 2次。 1 2????????0??若要系統(tǒng)穩(wěn)定，則要求極坐標(biāo)圖與實(shí)軸的交點(diǎn)： ? ? 26K1,26 K3Re ???? 即＝用 Routh判據(jù)也可得，只是要寫出閉環(huán)特征方程 ? ? ? ?2222 454 ???????? KA? ? ；＝＝?? K??