【正文】 N0表示逆時針包圍原點 S?F?二 .復(fù)變函數(shù) F(s)的選擇 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定是在已知開環(huán)傳函的條件下進 行的，為應(yīng)用幅角原理，選擇 ? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ??????(s)的零點為閉環(huán)傳函的極點 ,F(s)的極點為開環(huán)傳函的極點 ，故 F(s)的零點數(shù)和極點數(shù)相同 D ( s )C ( s )B ( s )A ( s )G ( s ) H ( s ) ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?sCsAsDsBsDsAsDsCsBsA1sBsAG ( s ) H ( s )1G ( s )( s )???????二 .復(fù)變函數(shù) F(s)的選擇 (續(xù) ) 運動一周所產(chǎn)生的兩條閉合曲線 和 只 相差常數(shù) “ 1”， 即閉合曲線 可由 沿實軸正方向平移一 個單位長度獲得 。 推廣：當圍線 包含 F(s)的 P個極點，在 F(s)平面上的映射 應(yīng)逆時針包圍原點 P次。 推廣：當圍線 包含 F(s)的 Z個零點，在 F(s)平面上的 映射 應(yīng)順時針包圍原點 Z次。這表明，圍線 不包圍原點。反過來，根據(jù) 是否包圍原點以及包圍原點的次數(shù)，也可推測出 的內(nèi)域中有關(guān)零、極點數(shù)的信息。 F?S?S 平面順時針s?S?S?F ( S ) 平面順時針F?在 F(s)平面上，由 映射得到的封閉曲線 的形狀和位置，嚴格取決于 。在 s平面上，用陰影表示的區(qū)域稱為 的內(nèi)域。 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?n21m21pspspszszszsKsF?????????幅角原理 用 向量 F(s)表示 s平面上的點在 F(s)平面上的映射，有 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?jjn1jiim1isFjpsje x ppsΠzsje x pzsΠKesFsF???????????? ? ? ? ? ?jn1jim1ipsΣzsΣsF ????????? 向量 F(s)的 幅角為 ? ? ? ???????????????????jn1jim1ijn1jim1i psΣzsΣj(e x ppsΠzsΠK? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?n21m21pspspszszszsKsF????????? 考慮 s平面上不經(jīng)過 F(s)極、零點的一條封閉曲線 。 F(s)的值域，也構(gòu)成一個復(fù)平面，稱為 F(s)平面 。 j 0. 57 2)j 2) ( 3(2 61j 2)F ( 1 ???????這樣，對于 s平面上給定的連續(xù)封閉軌跡，只要它不通過任何奇點，在 F(s)平面上就必有一個封閉曲線與之對應(yīng)。 C ( s )R ( s )G ( s )H ( s )2)1) ( s(s6G ( s ) H ( s )???特征方程為： 2)1 ) ( s(s83ss2)1 ) ( s(s61G ( s ) H ( s )1F ( s ) 2???????????02)1) ( s(s j 2. 4) 2. 4) ( (s ??? ?????函數(shù) F(s)在 s平面內(nèi)除了奇點外處處解析。 F(s)平面上的原點被封閉曲線包圍的次數(shù)和方向 ，在下面的討論中具有特別重要的意義。假定分子的階次比分母高，如： ? ? ? ?121)( 2 ???? ssssG??? ?????? 0201)(lim jjG ??? ????????jjjjjjjG1211121)(2????????結(jié)果與實際情況相矛盾 如果碰到一種元件的傳函分子階次高于分母，它指的一定是在一個指定的頻率范圍內(nèi)的近似傳函。這說明對于實際的物理系統(tǒng)，當 w很大時， |G(jw)|一定很小。 假設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)可以表示成 s的多項式之比，對于物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)， 傳遞函數(shù)的分母多項式的階數(shù)必須大于或等于分子多項式的階數(shù)，這表明，當 s趨于無窮大時，任何物理上可實現(xiàn)系統(tǒng) G(s)H(s)的極限，或趨于零，或趨于常數(shù)。因為閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性可由開環(huán)頻率響應(yīng)曲線圖解確定，無需實際求出閉環(huán)極點，所以該方法在控制工程中得到了廣泛應(yīng)用。 雖然開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)H(s)的極點和零點可能位于右半 s平面，但如果 閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于 左半 s平面 ，則 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 （ 3）該判據(jù)能指出提高和改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途 徑 (環(huán)節(jié)類型和參數(shù)變化 )，因而這種方法在 工程上獲得廣泛的應(yīng)用。53 頻域穩(wěn)定判據(jù) （奈氏判據(jù)） （ 1）根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的 開環(huán)頻率特性 判斷 閉環(huán)系統(tǒng) 穩(wěn)定性 的一種判據(jù)，當系統(tǒng)含某些非最小相 位環(huán)節(jié) (如延遲環(huán)節(jié) )也能判斷。 （ 2）該判據(jù)可以通過實驗法獲得系統(tǒng)開環(huán)頻率特 性來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用方便。 奈氏判據(jù)特點： C ( s )R ( s )G ( s )H ( s )閉環(huán)傳遞函數(shù)為 G (s )H (s )1G (s )R (s )C (s )Φ (s )???為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程 的全部根 都必須位于左半 s平面。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件： 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng) )j(H)j(G ??與 G ( s ) H ( s )1 ?聯(lián)系起來的判據(jù)。 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的 幅角原理的基礎(chǔ)上 。 在 右半 s平面內(nèi)的零點數(shù)和極點數(shù) 實驗表明 ,對于所有實際的物理系統(tǒng)或元件，當正弦輸入信號的頻率很高時，輸出信號的幅值一定很小。 以此為基礎(chǔ)，解釋為什么實際物理系統(tǒng)傳函的分子階次應(yīng)比分母階次低。 反證法： 預(yù)備知識 0G ( s ) H ( s )1F( s ) ??? 可以證明，對于 s平面上給定的一條不通過任何奇點的連續(xù)封閉曲線，在 F(s)平面上必存在一條封閉曲線與之對應(yīng)。我們將 F(s)平面上的奈氏曲線包圍原點的次數(shù)和方向與系統(tǒng)的穩(wěn)定性聯(lián)系起來。對于 s平面上的每一個解析點， F(s)平面上必有一點與之對應(yīng)。 例如 s=1+j2,則 F(s)為 考慮開環(huán)傳遞函數(shù)： 一 .奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（幅角原理） 函數(shù) F(s)是復(fù)變量 s的單值函數(shù)， s可在整個 s平面上變化，對于其上的每一點，除 n個有限極點以外，函數(shù)F(s)都有唯一的一個值與之對應(yīng)。其中 s平面上關(guān)于 F(s)的零點都映射到 F(s)的原點； s平面上關(guān)于 F(s)的極點都映射到 F(s)平面的無限遠點； s平面上除了極、零點之外的有限點，都映射到 F(s)平面上的有限點。當 s沿 順時針方向繞行一周，連續(xù)取值時，則在 F(s)平面上映射出一條封閉曲線 。 由于我們規(guī)定沿順時針方向繞行，所以內(nèi)域始終處于行進方向的右側(cè)。在這種映射關(guān)系中，不需知道圍線 的確切形狀和位置， 只要知道它的內(nèi)域所包含的 F(s)的零點和極點的數(shù)目 ，就可預(yù)知映射 是否包圍坐標原點和包圍原點的次數(shù) 。