【正文】 穩(wěn)定性判據(jù) 例 1 給出三個(gè)開環(huán)傳遞函數(shù)不含有積分環(huán)節(jié)的奈氏 曲線，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 P為開環(huán)傳遞函數(shù)在 s右半平面的極點(diǎn)數(shù) 。這種正負(fù)穿越之和即為 G(jω)H(jω) 包圍 (1, j0)的圈數(shù)。次負(fù)穿越 如果 G(jω)H(jω)按逆時(shí)針方向繞 (1, j0) 一周，則必正穿越一次。 I m Re0? ?? ? ??0_( ) ( )G j H j??( 1 , 0)j?ImRe0? ?? ??( 1 , 0)j??( ) ( )G j H j??0＋189。 次正穿越和 189。 負(fù)穿越： 由下而上穿過(guò)該段一次 (相角減少 )，用 表示。 所謂“穿越”是指 軌跡穿過(guò) 段。 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在使用時(shí)可能遇到以下兩種情況： ?????????? jes ? ??Rs??? 0??? 0? 一種簡(jiǎn)易的奈氏判據(jù) （ 1）正、負(fù)穿越的概念 G(jω)H(jω)曲線對(duì)稱實(shí)軸。Im,Re 90 00210????????????????????????，＝，＝時(shí)，有＝當(dāng)，＝，＝有時(shí)，＝當(dāng)ATTKA???????????? 0,10)I m (212121 TTTKTTT與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)解得令 ??由于開環(huán)系統(tǒng)無(wú)右半平面極點(diǎn)，即 P＝ 0，因此系統(tǒng)穩(wěn)定 的充要條件是極坐標(biāo)圖不包圍（ 1, j0）點(diǎn)，即要求極坐 標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)滿足下列關(guān)系： 21212121 001TTTTKTTTKT ??????????若開環(huán)系統(tǒng)在虛軸上有極點(diǎn)，應(yīng)將奈氏路徑做相應(yīng)的修 改，如下圖所示，在虛軸的極點(diǎn)處做半徑為無(wú)窮小的右 半圓，使得奈氏路徑不通過(guò)虛軸上的極點(diǎn)當(dāng)仍能包圍整 個(gè) s右半平面，奈氏判據(jù)仍可適用。 將 帶入開環(huán)傳函有 ?? 0??? 0?? ? ? ?? ?? ? ? ?11limlim1100??????????? ?????????jjvnjvjjimieTeeKsHsG?? jes ?000136021801180002222時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)，時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)，當(dāng)順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)到，相當(dāng)于奈氏曲線從變化到由時(shí)，變化到由當(dāng)?????? vvvvv ??????? ?10lim ???? ?jjvvj eeeK ?????? ???? v??1其中01180002222vvv順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)到相當(dāng)于奈氏曲線從，變化到由時(shí)，變化到由當(dāng)???? ?????????R eI m?? 0??? 0? ?????? 0????R eI m?? 0?????01 8 01 時(shí)，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)當(dāng) ?v 03 6 02 時(shí)，順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)當(dāng) ?v例 ，判斷使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí) K的取值范圍 ? ?? ?11)( 21 ??? sTsTs KsG222221 11)(????TTKA???? ? ???? 21110 tgtg90 TT ?? ????解：繪制系統(tǒng)的奈氏圖 211TT??2121TTTKT???? 0??????? 0? 1????? ?? ?? ?2212212111)R e ( ??? TTTTK?????? ?? ?? ?221221221111)I m (?????TTTTK?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 。為了使奈氏路徑不通過(guò)原點(diǎn)處的極點(diǎn)，但仍能包圍整個(gè) s 右半平面，現(xiàn)以原點(diǎn)為圓心做半徑為無(wú)窮小的右半圓繞過(guò)原點(diǎn)處的極點(diǎn)。所以閉環(huán) 系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且在 s右半 平面有兩個(gè)極點(diǎn)。 ???????????? 0從?例 用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ?在奈氏曲線上的行進(jìn)方向規(guī)定為 。 ?若閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在 s右半平面上的極點(diǎn) 數(shù)為 Z=N+P,N為奈氏曲線以順時(shí)針包圍 (1, j0)點(diǎn)的次數(shù)。 GH???? jj???? jj?GH? GH?????????0????Rs?132綜上，當(dāng) G(s)H(s)在 s平面的虛軸上不含極點(diǎn)時(shí)，奈氏 穩(wěn)定判據(jù)可表示為： ?對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)， G(s)H(s)在 s右半平面上無(wú)極點(diǎn)， 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線不包圍 (1, j0)點(diǎn)。 當(dāng)開環(huán)傳函 G(s)H(s)在 s右半平面上沒有極點(diǎn)時(shí) P=0,由 N=ZP可知閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是 N= 穩(wěn)定的系統(tǒng)，在 G(s)H(s)平面上的圍線 不包圍 (1,j0) 點(diǎn)，是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。由 F(s)的表達(dá)式可知 1+G(s)H(s)的極點(diǎn)就是 G(s)H(s)的極點(diǎn)。 與此相對(duì)應(yīng)，在 F(s)平面上圍線 對(duì)原點(diǎn)的包圍就變成在 G(s)H(s)平面上的圍線 對(duì)點(diǎn) (1,j0)的包圍。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為在 s右半平面上閉環(huán)特征方程 的特征根數(shù)為 0，也就是 F(s)在 s右半平面上的零點(diǎn)數(shù)為 0， 即 Z=0，于是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： N=P S?F? N的說(shuō)明 N表示 F(s)=1+G(s)H(s)平面上圍線 沿順時(shí)針方向包 圍原點(diǎn)的次數(shù)。 ： ： ： ??? 變化到由頻率 0, ??js22,Re???? ????? 由Rs j0, 變化到由頻率 ??? ??js上述封閉曲線 將包圍整個(gè) s右半平面，稱此封閉曲線 為奈氏路徑，考慮到奈氏路徑應(yīng)該不通過(guò) F(s)零極點(diǎn)的 要求，這里假定 F(s)沒有為 0的極點(diǎn)，也即開環(huán)系統(tǒng)不含 積分環(huán)節(jié)。 GH?F?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ??????D ( s )C ( s )B ( s )A ( s )G ( s ) H ( s ) ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?sCsAsDsBsDsAsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1G ( s )( s )???????S?三 s平面閉合曲線 的選擇 ????????0????Rs?132 當(dāng)知道開環(huán)傳函的極點(diǎn)，也 就是 F(s)的極點(diǎn)，如何判斷 F(s)在 s平面的右半部有無(wú)零點(diǎn)的問題， 也就是閉環(huán)傳函在 s平面的右半面 有無(wú)極點(diǎn)的問題。 S? F? GH?F?GH?F?GH?? ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?sDsBsCsAsDsBsDsCsBsA1G ( s ) H ( s )1F ( s ) ?????? 由 F(s)的特點(diǎn)可以看出 F(s)取上述特定形式具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)： ? 建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)與 F(s)的零、極點(diǎn)之間 的直接聯(lián)系； ? 建立了閉合曲線 和閉合曲線 之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。 N0表示順時(shí)針包圍原點(diǎn)