【正文】 知識(shí)，傳播足球文化，我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了 “足球在身邊 ”知識(shí)競(jìng)賽，各類(lèi)獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示，其中獲得三等獎(jiǎng)的學(xué)生共 50 名，請(qǐng)結(jié)合圖中信息，解答下列問(wèn)題： （ 1）獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)； （ 2）在本次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中， A， B， C， D 四所學(xué)校 表現(xiàn)突出，現(xiàn)決定從這四所學(xué)校中隨機(jī)選取兩所學(xué)校舉行一場(chǎng)足球友誼賽，請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求恰好選到 A， B 兩所學(xué)校的概率． 【考點(diǎn)】 列表法與樹(shù)狀圖法；扇形統(tǒng)計(jì)圖． 【分析】 （ 1）根據(jù)三等獎(jiǎng)所在扇形的圓心角的度數(shù)求得總?cè)藬?shù)，然后乘以一等獎(jiǎng)所占的百分比即可求得一等獎(jiǎng)的學(xué)生數(shù)； （ 2）列表將所有等可能的結(jié)果列舉出來(lái)，利用概率公式求解即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 三等獎(jiǎng)所在扇形的圓心角為 90176。 25%=200 人， ∴ 一等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)為 200 （ 1﹣ 20%﹣ 25%﹣ 40%） =30 人； （ 2）列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC ∵ 共有 12 種等可能的結(jié)果，恰好選中 A、 B 的有 2 種， ∴ P（選中 A、 B） = = ． 22．已知 P 是 ⊙ O 外一點(diǎn)， PO 交 ⊙ O 于點(diǎn) C， OC=CP=2，弦 AB⊥ OC， ∠ AOC 的度數(shù)為 60176。 ∴∠ OAB=30176。 ∴∠ BOC=60176。 BC=OC． ∵ OC=CP， ∴ BC=PC， ∴∠ P=∠ CBP． 又 ∵∠ OCB=60176。 ∴∠ OBP=90176。． （ 1）將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。故可證 △ AEG≌△ AEF； （ 2）將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。 MG=NF，利用勾股定理得出 EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明 EF2=ME2+NF2； （ 3）延長(zhǎng) EF 交 AB 延長(zhǎng)線于 M 點(diǎn)，交 AD 延長(zhǎng)線于 N 點(diǎn)，將 △ ADF 繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90176。得到 △ ABG， ∴ AF=AG， ∠ FAG=90176。 ∴∠ GAE=45176。得到 △ ABG，連結(jié) GM． 則 △ ADF≌△ ABG， DF=BG． 由（ 1）知 △ AEG≌△ AEF， ∴ EG=EF． ∵∠ CEF=45176。 ∴∠ GME=45176。=90176。得到 △ AGH，連結(jié) HM， HE． 由（ 1）知 △ AEH≌△ AEF， 則由勾股定理有（ GH+BE） 2+BG2=EH2， 即（ GH+BE） 2+（ BM﹣ GM） 2=EH2 又 ∴ EF=HE， DF=GH=GM， BE=BM，所以有（ GH+BE） 2+（ BE﹣ GH） 2=EF2， 即 2（ DF2+BE2） =EF2 25．如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的對(duì)稱軸為直線 x=﹣ 1，求拋物線經(jīng)過(guò) A（ 1， 0）， C（ 0， 3）兩點(diǎn)，與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)． （ 1）若直線 y=mx+n 經(jīng)過(guò) B、 C 兩點(diǎn)，求直線 BC 和拋物線的解析式； （ 2）在該拋物線的對(duì)稱軸 x=﹣ 1 上找一點(diǎn) M，使點(diǎn) M 到點(diǎn) A 的距離與到點(diǎn) C的距離之和最小，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 3）設(shè)點(diǎn) P 為該拋物線的對(duì)稱軸 x=﹣ 1 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使 △ BPC 為直角三角形的點(diǎn) P 的坐標(biāo)．（提示：若平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn) P（ x1， y1）、 Q（ x2， y2），則線段 PQ 的長(zhǎng)度 PQ= ）． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) A 和 B 關(guān)于 x=﹣ 1 對(duì)稱即可求得 B 的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式； （ 2）求得 BC 與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是 M； （ 3）設(shè) P 的坐標(biāo)是（﹣ 1， p），利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出 BC、 BP 和 PC的長(zhǎng)，然后分成 △ BPC 的三邊分別是斜邊三種情況討論，利用勾股定理列方程求得 p 的值，得到 P 的坐標(biāo)． 【解答】 解：（ 1） A（ 1， 0）關(guān)于 x=﹣ 1 的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣ 3， 0），則 B 的坐標(biāo)是（﹣3， 0）． 根據(jù)題意得： ， 解得： ， 則拋物線的解析式是 y=x+3； 根據(jù)題意得： ， 解得： ． 則拋物線的解析式是 y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2）在 y=x+3 中令 x=﹣ 1，則 y=﹣ 1+3=2， 則 M 的坐標(biāo)是（﹣ 1， 2）； （ 3）設(shè) P 的坐標(biāo)是（﹣ 1， p）． 則 BP2=（﹣ 1+3） 2+p2=4+p2． PC=（ 0+1） 2+（ 3﹣ p） 2=p2﹣ 6p+10． BC=32+32=18． 當(dāng) BC 時(shí)斜邊時(shí)， BP2+PC2=BC2，則（ 4+p2） +（ p2﹣ 6p+10） =18， 解得： p=﹣ 1 或 2， 則 P 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1， 2）； 當(dāng) BP 是斜邊時(shí)， BP2=PC2+BC2，則 4+p2=（ p2﹣ 6p+10） +18， 解得： p=4， 則 P 的坐標(biāo)是（﹣ 1， 4）； 當(dāng) PC 是斜邊時(shí)， PC2=BP2+BC2，則 p2﹣ 6p+10=4+p2+18， 解得： p=﹣ 2， 則 P 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 2）． 總之， P 的坐標(biāo)是（﹣ 1，﹣ 1）或（﹣ 1， 2）或（﹣ 1， 4）或（﹣ 1，﹣ 2）． 九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題 1． sin30176。的兩個(gè)等腰三角形 D．任意兩個(gè)菱形 3．麗華根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)作了如下表格： 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差 如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（ ） A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．中位數(shù) 4．如果關(guān)于 x 的一元二次方程（ m﹣ 1） x2+2x+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 m 的取值范圍是（ ） A． m＞ 2 B． m＜ 2 C． m＞ 2 且 m≠ 1 D． m＜ 2 且 m≠ 1 5．如圖，將寬為 1cm 的長(zhǎng)方形紙條沿 BC 折疊，使 ∠ CAB=45176。 （ 2）解方程：（ x+1）（ x﹣ 3） =﹣ 1． 18．（ 8 分）某班召開(kāi)主題班會(huì)，準(zhǔn)備從由 2 名男生和 2 名女生組成的班委會(huì)中選擇 2 人擔(dān)任主持人． （ 1）用樹(shù)狀圖或表格列出所有等可能結(jié)果； （ 2）求所選主持人恰好為 1 名男生和 1 名女生的概率． 19．（ 8 分）甲進(jìn)行了 10 次射擊訓(xùn)練，平均成績(jī)?yōu)?9 環(huán)，且前 9 次的成績(jī)（單位：環(huán)）依次為： 8， 10， 9， 10， 7， 9， 10， 8， 10． （ 1）求甲第 10 次的射擊成績(jī)； （ 2）求甲這 10 次射擊成績(jī)的方差； （ 3）乙在相同情況下也進(jìn)行了 10 次射擊訓(xùn)練，平均成績(jī)?yōu)?9 環(huán)，方差為 環(huán)2，請(qǐng)問(wèn)甲和乙哪個(gè)的射擊成績(jī)更穩(wěn)定？ 20．（ 10 分）如圖， △ ABC 中， ∠ C=90176。測(cè)得建筑物CD 的底部 D 點(diǎn)的俯角 ∠ EAD 為 45176。求 tan∠ AEO． 25．（ 12 分）如圖，在矩形 ABCD 中， AB=1， BC=2，點(diǎn) E 是 AD 邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A， D 重合 ），過(guò) A、 E、 C 三點(diǎn)的 ⊙ O 交 AB 延長(zhǎng)線于點(diǎn) F，連接 CE、 CF． （ 1）求證： △ DEC∽△ BFC； （ 2）設(shè) DE 的長(zhǎng)為 x， △ AEF 的面積為 y． ① 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng) x 為何值時(shí)， y 有最大值； ② 連接 AC，若 △ ACF 為等腰三角形，求 x 的值． 26．（ 14 分）已知二次函數(shù) y=mx2﹣ nx+n﹣ 2（ n＞ 0， m≠ 0）的圖象經(jīng)過(guò) A（ 2，0）． （ 1）用含 n 的代數(shù)式表示 m； （ 2）求證：二次函數(shù) y=mx2﹣ nx+n﹣ 2 的圖象與 x 軸始終有 2 個(gè)交點(diǎn)； （ 3）設(shè)二次函數(shù) y=mx2﹣ nx+n﹣ 2 的圖象與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B（ t， 0）． ① 當(dāng) n 取 n1， n2 時(shí)， t 分別為 t1， t2，若 n1＜ n2，試判斷 t1， t2 的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由． ② 若 t 為整數(shù)，求整數(shù) n 的值． 參考答案與試題解析 一、選擇題 1． sin30176。= ， 故選： A． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵． 2．下列各組圖形一定相似的是（ ） A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)等邊三角形 C．各有一角是 80176。的兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似； 任意兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似； 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵． 3．麗華根據(jù)演講比賽中九位評(píng)委所給的分?jǐn)?shù)作了如下表格： 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù) 方差 如果去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，則表中數(shù)據(jù)一定不發(fā)生變化的是（ ） A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．方差 D．中位數(shù) 【考點(diǎn)】 統(tǒng)計(jì)量的選擇． 【分析】 根據(jù)中位數(shù)的定義：位于中間位置或中間兩數(shù)的平均數(shù)可以得到去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分不影響中位數(shù)． 【解答】 解：去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分對(duì)中位數(shù)沒(méi)有影響， 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了統(tǒng)計(jì)量的選擇，解題的關(guān)鍵是了解中位數(shù)的定義，難度不大． 4．如果關(guān)于 x 的一元二次方程（ m﹣ 1） x2+2x+1=0 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么 m 的取值范圍是（ ） A． m＞ 2 B． m＜ 2 C． m＞ 2 且 m≠ 1 D． m＜ 2 且 m≠ 1 【考點(diǎn)】 根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】 根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到 m﹣ 1≠ 0 且 △ =22﹣ 4（ m﹣ 1） ＞ 0，然后求出兩個(gè)不等式的公共部分即可． 【解答】 解：根據(jù)題意得 m﹣ 1≠ 0 且 △ =22﹣ 4（ m﹣ 1） ＞ 0， 解得 m＜ 2 且 m≠ 1． 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0）的根的判別式 △ =b2﹣ 4ac：當(dāng) △＞ 0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) △ =0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜ 0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義． 5．如圖，將寬為 1cm 的長(zhǎng)方形紙條沿 BC 折疊，使 ∠ CAB=45176。 ∠ AHC=90176。 ∴ AH=CH=1， AC=AB= ， ∴ S△ ABC= ?AB?CH= ， 故選 D． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查翻折變換、矩形性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵，本題的突破點(diǎn)是證明 AC=AB= ，屬于中考?？碱}型． 6．如圖，二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a＞ 0）的圖象與直線 y=1 交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 1），（ 3， 1），則不等式 ax2+bx+c﹣ 1＞ 0 的解集為（ ） A． x＞ 1 B． 1＜ x＜ 3 C． x＜ 1 或 x＞ 3 D． x＞ 3 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)與不等式（組）． 【分析】 根據(jù)二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a＞ 0）的圖象與直線 y=1 交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到不等式 ax2+bx+c﹣ 1＞ 0 的解集． 【解答】 解：根據(jù)圖象得二次函數(shù) y=ax2+bx+c（ a＞ 0）的圖象與直線 y=1 交點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 1），（ 3， 1）， 而 ax2+bx+c﹣ 1＞ 0，即 y＞ 1， 故 x＜ 1 或 x＞ 3． 故選： C． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次不等式之間的聯(lián)系：根據(jù)當(dāng) y＞ 1時(shí)，利用圖象得出不等式解集是解題關(guān)鍵． 二、填空題： 7．拋物線 y=2x2﹣ 4x+1 的對(duì)稱軸為直線 x=1 ． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】 把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式可求得答案． 【解答】 解： ∵ y=2x2﹣ 4x+1=2（ x﹣ 1） 2﹣ 1， ∴ 對(duì)稱軸為直線 x=1， 故答案為： x=1． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵，即在 y=a（ x﹣ h） 2+k 中，對(duì)稱軸為 x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ h， k）． 8． 100 件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 ． 【考點(diǎn)】 概率公式． 【分析】 根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)： ① 全部情況的總數(shù)； ② 符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率． 【解答】 解： 100 件某種產(chǎn)品中有五件次品，從中任意取一件，恰好抽到次品的概率是 = ． 故答案為 ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有 n 種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件 A 出現(xiàn) m 種結(jié)果，那么事件 A 的概率 P（ A） = ． 9．將拋物線 y=﹣ 2x2+1 向右平移 1 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移 1 個(gè)單位