【正文】 4,(2n+1)2=9,∴ 9T2 n＜ Q n； 當(dāng) n=2 時(shí) ， 22 n=16,(2n+1)2=25,∴ 9T2 n＜ Qn； 當(dāng) n≥ 3 時(shí)， 2231022 )12()(])11[(2 ????????? nCCCC nnnnnnn ?， ∴ 9T2 n＞ Q n. 3． 設(shè)不等式組 ??????????nnxyyx300所表示的平面區(qū)域?yàn)?Dn，記 Dn 內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的 點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為 f(n)(n∈ N*). （ 1）求 f(1)、 f(2)的值及 f(n)的表達(dá)式； （ 2）設(shè) bn=2nf(n)， Sn 為 {bn}的前 n 項(xiàng)和，求 Sn； （ 3）記 nn nfnfT 2 )1()( ?? ，若對(duì)于一切正整數(shù) n，總有 Tn≤ m 成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . （ 1） f(1)=3 f(2)=6 當(dāng) x=1 時(shí)， y=2n，可取格點(diǎn) 2n 個(gè)；當(dāng) x=2 時(shí) ,y=n，可取格點(diǎn) n 個(gè) ∴ f(n)=3n （ 2）由題意知 :bn=3n 21+6 23+? +3(n－ 1) 2n ∴ 2Sn=3 23+? +3(n－ 1) 2n+1 ∴－ Sn=3 22+3 2n－ 3n 2n+1 =3 4． 已知 0a? ，且 1a? ，數(shù)列 {}na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，它滿足條件111nnaSa? ??.數(shù)列 {}nb中， nnba? lg nnaa? lgnaa， ∴ 12nT b b? ? ? … … nb = 23lg ( 2 3a a a a? ? ?……+ ).nna 設(shè) 2323nu a a a? ? ? ?……+ nna ， ∴ 23(1 ) na u a a a? ? ? ? ?…… 1nna na?? 1( 1)1n naa naa ?????， ∴12( 1) .1 ( 1)nnn n a a au aa? ????? ∴ lgnTa? （Ⅰ）若 ()f x x? 且 x?R ，則稱 x 為 ()fx的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)，求 ()fx的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)； （ II）在數(shù)列 {}na 中， 1 2a? ， 1 ()nna f a? ? （ n ??N ），求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式。 已知函數(shù) ? ? ? ?Rxxf x ??? 24 1 ，點(diǎn) ? ?111 ,yxP ， ? ?222 ,yxP 是函數(shù) ??xf 圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，且線段 21PP 的中點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 21 ． ⑴求證：點(diǎn) P 的縱坐標(biāo)是定值； ⑵若數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為 ? ?mnNmmnfa n ,2,1, ?????????? ，求數(shù)列 ??na 的前 m 項(xiàng)的和mS ； ⑶若 Nm? 時(shí)，不等式 11???mmmm SaSa恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍． 解：⑴由題可知： 121221 ???? xx ，所以， ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? 214442 44444424 444242444424124121212121212121212121??? ?????? ???????????????? xxxxxxxxxxxxxxxxxfxfyy 點(diǎn) P 的縱坐標(biāo) 412 21 ??? yyy P 是定值，問題得證． ⑵由⑴可知：對(duì)任意自然數(shù) nm, ， 21??????? ???????? m nmfmnf 恒成立． 由于 ????????????? ???????? ????????????????? mmfmmfmmfmfmfS m 1221 ?，故可考慮利用倒寫求和的方法．即由于：????????????????????? ???????? ?????????????????????? ???????? ?????????????????mfmfmmfmmfmmfmmfmmfmmfmfmfS m12211221?? 所以， ? ? ? ?1361)1(212121122112?????????????????? ????????????? ????????? ?????? ??????????????? ?????? ?????????mfmmmfmfmmfmmfmfmmfmfS m ? 所以， ? ?13121 ?? mSm ⑵∵ ? ?13121 ?? mSm ， ∴ ? ?231211 ??? mS m ∴ 11???mmmm SaSa等價(jià)于 02313 112 ??????? ??? m ama m ① 依題意，①式應(yīng)對(duì)任意 Nm? 恒成立． 顯然 0?a ，因?yàn)?0?ma （ Nm? ），所以，需且只需 02313 1 ???? mam 對(duì)任意 Nm? 恒成立．即： 13 23 ??? mma 對(duì) Nm? 恒成立． 記 ? ? 13 23 ??? mmmg （ Nm? ）．∵ ? ? ? ? ? ?? ? 01323 913 2323 531 ??? ?????????? mmmmmmmgmg ， ∴ ??mg （ Nm? ）的最大值為 ?? 251?g ，∴ 25?a ． 題目 新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp::/新疆 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座 構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題 高考要求新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 縱觀近幾年的高考，在解答題中，有關(guān)數(shù)列的試題出現(xiàn)的頻率較高，不僅可與函數(shù)、方程、不等式、復(fù)數(shù)相聯(lián)系，而且還與三角、立體幾何密切相關(guān)；數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用，如增長(zhǎng)率，減薄率，銀行信貸，濃度匹配，養(yǎng)老保險(xiǎn)，圓鋼堆壘等問題新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 這就要求同學(xué) 們除熟練運(yùn)用有關(guān)概念式外，還要善于觀察題設(shè)的特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，迅速確定解題的方向，以提高解數(shù)列題的速度新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 重難點(diǎn)歸納新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 1新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí) ,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力；解答應(yīng)用性 問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段，建立出有關(guān)等差 (比 )數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決問題新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 縱觀近幾年高考應(yīng)用題看，解決一個(gè)應(yīng)用題，重點(diǎn)過三關(guān)新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)事理關(guān)新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 需要讀懂題意，明確問題的實(shí)際背景，即需要一定的閱讀能力新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (2)文理關(guān)新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/jyg/源頭學(xué)子小屋特級(jí)教師 王新敞新疆 需將實(shí)際問題的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:htp:/ (3)事理關(guān)新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中；要求考生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的檢索能力，認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，完成用實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型后，要正確得到問題的解，還需要比較扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 典型題例示范講解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 例 1從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，根據(jù)規(guī)劃，本年度投入 800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少 51 ，本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為 400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加 41新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ (1)設(shè) n 年內(nèi) (本年度為第一年 )總投入為 an萬(wàn)元，旅游 業(yè)總收入為 bn萬(wàn)元，寫出 an,bn的表達(dá)式； (2)至少經(jīng)過幾年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入？ 命題意圖新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，本題有很強(qiáng)的區(qū)分度，屬于應(yīng)用題型，正是近幾年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)題型新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 知識(shí)依托新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 本題以函數(shù)思想為指導(dǎo)，以數(shù)列知識(shí)為工具，涉及函數(shù)建模、數(shù)列求和、不等式的解法等知識(shí)點(diǎn)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 錯(cuò)解分析新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)問 an、 bn實(shí)際上是兩個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，易與“通項(xiàng)”混淆； (2)問是既解一元二次不等式又解指數(shù)不等式，易出現(xiàn)偏差新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 技巧與方法新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 正確審題、深刻挖掘數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)量模型是本題的靈魂， (2)問中指數(shù)不等式采用了換元法，是解不等式常用的技巧新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 (1)第 1年投入為 800萬(wàn)元， 第 2年投入為 800 (1－51)萬(wàn)元，? 第 n年投入為 800 (1－51)n－ 1萬(wàn)元， 所以， n年內(nèi)的總投入為新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 an=800+800 (1－51)+? +800 (1－51)n－ 1 =??nk1800 (1－51)k－ 1=4000［ 1－ (54)n］ 第 1年旅游業(yè)收入為 400萬(wàn)元， 第 2年旅游業(yè)收入為 400 (1+41 )，?， 第 n年旅游業(yè)收入 400 (1+41 )n－ 1萬(wàn)元新疆源頭學(xué) 子小屋 特級(jí)教 師 王新敞htp::/ 所以， n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入為 bn=400+400 (1+41 )+? +400 (1+41 )k－ 1 =??nk1400 (45 )k－ 1=1600［ (45 )n－ 1］ (2)設(shè)至少經(jīng)過 n 年旅游業(yè)的總收入才能超過總投入，由此 bn－ an＞ 0，即 1600［ (45 )n－ 1］－ 4000［ 1－ (54 )n］＞ 0， 令 x=(54 )n，代入上式得新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 5x2－ 7x+2＞ 0新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 解此不等式，得 x＜ 52 ，或 x＞ 1(舍去 )新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 即 (54 )n＜ 52 ，由此得 n≥ 5新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ ∴至少經(jīng)過 5年，旅游業(yè)的總收入才能超過總投入新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 例 2 已知 Sn=1+ 3121? +? +n1 ,(n∈ N*)，設(shè) f(n)=S2n+1－ Sn+1,試確定實(shí)數(shù) m 的取值范圍，使得對(duì)于一切大于 1的自然數(shù) n，不等式新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 f(n)＞［ logm(m－ 1)］ 2－ 2022 ［ log(m－ 1)m］ 2恒成立新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 命題意圖新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 本題主要考查應(yīng)用函數(shù)思想解決不等式、數(shù)列等問題，需較強(qiáng)的綜合分析問題、解決問題的能力新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 知識(shí)依托新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 本題把函數(shù)、不等式恒成立等問題組合在一起，構(gòu)思巧妙新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 錯(cuò)解分析新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/jyg/xc源頭學(xué)子小屋特級(jí)教師 王新敞新疆 本題學(xué)生很容易求 f(n)的和，但由于無(wú)法求和，故對(duì)不等式難以處理新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 技巧與方法新疆王新敞特級(jí)教師 源頭學(xué)子小屋htp:/:/新疆 解決本題的關(guān)鍵是把 f(n)(n∈ N*)看作是 n的函數(shù)，此