【正文】 )(1222222222222222222222222222122222223222322233333222212222232222322233222212222232222322233222212222232222322233333??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????同理可得：）（）證明：（ 【習(xí)題 解】 已知 122 2 2() x y zr x y z r x e y e z e? ? ? ? ? ? 所以 z( 1 ) ( ) ( )yzx y zz y x z y x( ) ( ) ( )y z z x x z0 0 0 0x y zx y zxyx y zr e e e x e y e zex y ze e exe e e? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? y12 2 22xy3 3 3 32 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22z1112 2 2 2 2 2 2 2 2222( 2 ) ( )r()z y z y xz xz( ) e ( ) e( ) ( ) ( ) ( )xy((yzx y z( ) ( ) ( )x y zxzxyx e y e z ere e ex y zx y zx y z x y z x y z x y zxye e exx y z x y z x y z??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???????? ? ?? ? ? ? ? ?z332 2 2 2 222 xy)e) ( )0 0 0 0z x y z?? ? ?? ? ? ?y12 2 22z1112 2 2 2 2 2 2 2 2222332 2 22 2 2 2 2 222( 3 ) [ f ( r ) ] ( ) [ f ( r ) ]r()yzx f ( r ) y f ( r ) z f ( r )( ) ( ) ( )z y f ( r ) z y f ( r ) z y y z f ( r(( ) ( )x y zxzxyx e y e zere e ex y zx y ze e exx y z x y z x y zx y zx y z x y z??? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???????? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ?x2 2 2y332 2 2 2 2 22 2 2 2 2 222z332 2 2 2 2 22 2 2 2 2 222))ex z x z f ( r ) x z x z f ( r )( ) e( ) ( )x y x y f ( r ) x y x y f ( r )()( ) ( )0 0 +0 0x y zx y z x y zx y z x y zex y z x y zx y z x y z????? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 【習(xí)題 解】 x y zx y zx y zA A AB B B??x x y y z zA A A A? ? ? ? ? ?x x y y z zB B B B? ? ?( ) ( ) ( )yyxxzzx y zAAAAAABBBy z z x x y??????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?()BA? ??x y zx y zB x y zA A A? ? ??? ? ?AB? ?? ( ) ( ) ( )y zBBBBBBAAAy z z x x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?()BA? ??? ?? ( ) ( ) ( )x y zy z z x x y? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( )x y zy z z x x y? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ()y z z y z x x z x y y xA B A B A B A B A B A Bx y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ()y z z y z x x z x y y xA B A B A B A B A B A Bx y z? ? ?? ? ? ? ?? ? ?【習(xí)題 解】 證明：令 則 左邊 = = 又由題得 = = 同理有 = 故 等式右邊 = — — = = 故左邊 =右邊，得證 【習(xí)題 解】 2 2 3 22 2 2V2Va2 2 403 2 505XZ X Y Z 2XY+Y Z[ ] VZ = X Y Z V 3Z V = ( 3Z 3 )3Z)5|adxydda Z dVaZa???? ? ? ???? ? ??????????V由 散 度 定 理 得 ：（ ） （ ） （ ） I=（ ） =(2 =5 【習(xí)題 解】 2222222211 1 1 1111 1 1( ) ( )()( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )HctEEc t c t c t c tEc t c tHHc t c t c tE E EHH H HE??? ? ? ?? ? ? ?????? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 證畢。 （ 2） 解：在圓柱形坐標(biāo)中，拉普拉斯算子可表示為： 2222 2 211( ) ( )rr r r r z?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1 ()rr r r??＝－ 22cosnn r n??? 2221()r ???＝ 22cosnn r n??? 22z??＝ 0； 2222 2 211( ) ( )rr r r r z?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?＝ 0 ； 滿足拉普拉斯方程； 【習(xí)題 解】 2 3 3 2 22 3 3 2 2232 3 2 2 2 2( ) ( ) ( )( 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2x y zx y zyyxxzzx y zxye e ex y zA x y z e x z e x y ex y z x z x yA y zx y zAA AAAAA e e ey z z x x yx y x e x y z x y e x z x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?ur u r u r u rur u r u r u rur urur ur u r u r u ru r u r解 ： （ 1 ）3222 2 222)1( 2)c os si nc os c os si n2 c os c os3 c os1c os 2 si nc os 0 si nzrzrzrzry z ee e er r zA r e r er r rA r rr r zre e eA r e r er r zrr??????? ? ?????????? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ????????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ???????urur u r u r u rur u r u rur uru r u r u rur ur u r u r222222si n11( 3 )si n11si n si n c os1 1 1 1 1( si n ) ( si n si n ) ( c os )si n si n23 si n c ossi n si nRRRree e eR R RA R e e eRRA R RR R R R R RReeeR R RA????????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ??urur u ur u r u rur u ur u r u rur urururu urur ur233si n si nsi n 1si n si n si n c osc os 2 c osc ossi nRRReeeR R RRRA RA R ARRe e eRR????????? ? ? ??? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?ururu uru ur u r u r 【習(xí)題 解】 22222 2 2 2222211( ) ( si n )si n si n( , , )()[ ( ) ]()()kRk R k Rk R k Rk R k R k RkRRR R R RReRRRR e eRe k ReRk e k e k Ree?? ? ? ? ?? ? ????????? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ????? ? ????? ? ???? ? ??? ? ??2222222證 明 ：在 球 面 坐 標(biāo) 下 ， 拉 普 拉 斯 算 子 表 示 式 為 ：1=R1R1R1 1 kR R R1R1RkR 【習(xí)題 解】 ? ?? ?xx y z xx y z x: A , , : A 0 。:yzyzx y zx y z x yey z z xzx zyex