【正文】 ?? ? ? ? ? 10 Vm?? ? ? 距離自由電子處的電場 19 1 7 12 1 2 1 0 20 1 . 6 1 0 1 . 4 1 04 4 3 . 1 4 8 . 9 1 0 ( 1 0 0 1 0 )eE V m V mR??? ?????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 故 距離電偶極子處的電場最大值為 10 Vm??? 距離自由電子處的電場為 10 Vm??? 【習(xí)題 】解 2 解：設(shè)矢量0Re的方向從電荷 CL? 指向電荷 H? Rn是從由 CL? H? 構(gòu)成的電偶極子指向電場中的任一點(diǎn)的矢量，起點(diǎn)在正負(fù)電荷連 線的中點(diǎn)，且 0R 〈〈 R. （ e , n 為單位矢量， ? 是 e , n 的夾角） （ 1） 00330 3 c o s1 []4 q R q RE n eRR????? ( 41P ) 由向量減法的三角形法則及余弦定理得： = ? ? 20302 3 c o s 14 qRR ??? ?? ????? 220 0 0 03 3 3 303 c o s 3 3 c o s 31 2 c o s4 q R q R q R q RE R R R R?? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?由上題得 290( 2 .1 1 0 )ep q R cm?? ? ? 因此，當(dāng) 0?? 或 ??? 時(shí) E 有最大值， 03024 qRE R???? 50302 3 .7 1 04 qR V MR?? ?? （ 2） 72 01( ) 1 .4 1 04qR VE MRR ??? ? ? 【習(xí)題 】 證明： 電偶極距 qRep = 其方向?yàn)閺呢?fù)電荷指向正電荷。 0 = eA = y z e z x e xy e e 0y z e z x e xy e eyzyzyzAeex y zy z zx x yeex y z x y zA e ex y z? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ???證 明 為 調(diào) 和 場 即 無 源 又 無 旋 場 則 需 滿 足 以 下 條 件而++++xx y z xe ( ) ( )( ) 0AA =y z e z x e xy e e。 ?? MM xy 所以 4??tg 因此，方向余弦為 1711 1c os 2 ??? ?? tg 174cos ?? 236 ???? xyx? 623 2 ????? yxy? 所以所求的方向?qū)?shù)為 1760174617136c osc os ????????????? Myxl ????? 【習(xí)題 解】 ?標(biāo)量場 r1?? ? 該標(biāo)量為一個(gè)以直角坐標(biāo)系的 O 點(diǎn)為球心的球面 ?求切平面的方程 ?該平面的法線向量為 1 1 13 3 3x y zn e e e? ? ? 根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得平面方程為 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 03 3 3 3 3 3x y z? ? ? ? ? ? 整理，得： 3x y z? ? ? 【習(xí)題 解】 22c os c os c os( ) c os ( 2 ) c os ( 2 ) c os1 2 1( 1 1 2) ( 2 1 1 1 2) ( 2 2 1 1 )2 2 2130122x y zy y z x y x z z x y? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 【習(xí)題 解】 矢量 A 的方向余旋為 2 2 2 2c o s / ) ( ) ( ) 3y z y z x z x y? ? ? ? ?（ 2 2 2 1c o s / ) ( ) ( ) 3x z y z x z x y? ? ? ? ? ?（ 2 2 2 2c o s / ) ( ) ( ) 3x y y z x z x y? ? ? ? ? ?（ 滿足題意方向?qū)?shù)： 2 2 2 3c o s c o s c o s6 c o s ( 3 3 ) c o s ( 2 ) c o s173Mul A x y zx y x y z y z? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 【習(xí)題 解】 02 2 22 2 22 2 2c os c os c os9 5 4c os314( 5 1 ) ( 4 1 ) ( 19 2)4 1 3c os314( 5 1 ) ( 4 1 ) ( 19 2)19 2 17c os314( 9 5 ) ( 4 1 ) ( 19 2)4 3 17314 314 31441 2 5314xyzMl x y zlllllly z x z x yll? ? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ???? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ??又3 17 1232 5 1314 314 3141235 , 1 , 2 5 , 1 , 2 9 4 , 19314xyz?? ? ? ? ? ??即 函 數(shù) 在 點(diǎn) （ ） 處 沿 著 點(diǎn) （ ） 到 點(diǎn) （ ， ） 的 方 向 導(dǎo) 數(shù) 為 。電磁場與電磁波基礎(chǔ)課后習(xí)題解答 （劉嵐著） 第一章習(xí)題解答 【 習(xí)題 解 】 222 2 2222 2 2222 2 22 2 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 22 2 22 2 2c osc osc osc os c os c os1xxx y zyx y zzx y zx y zx y z x y z x y zx y zx y z矢 徑 r 與 軸 正 向 的 夾 角 為 ， 則同 理 ， 矢 徑 r 與 y 軸 正 向 的 夾 角 為 ， 則矢 徑 r 與 z 軸 正 向 的 夾 角 為 ， 則可 得從 而 得 證aabbgga b g=++=++=+++ + = + ++ + + + + +++==++ 【 習(xí)題 解 】 9 2 4 3 3 13 29 ( 2 4 3 ) 5 4( 9 ) ( 2 4 3 ) 2 36 3 35x y z x y z x y zx y z x y z x y zx y z x y zA B e e e e e e e e eA B e e e e e e e e eA B e e e e e eAB? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（ ） （ ）－ （ ）( 9 ) ( 2 4 3 ) 1 9 12 4 331 5 14x y zx y z x y zx y ze e ee e e e e ee e e? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 【 習(xí)題 解 】 已知 , 3 8 ,x y z x y zA e b e c e B e e e? ? ? ? ? ? ? （ 1） 要使 AB? ，則須散度 0AB? 所以從 1 3 8 0A B b c? ? ? ? ?可得： 3 8 1bc?? 即只要滿足 3b+8c=1 就可以使向量 和向量 垂直。 【 習(xí)題 解 】 令 ln( 2 2 2x y z??)=C, 2 2 2x y z??=ce ， ce =1+4+9=14 因此 C＝ ln14 2 2 2x y z??＝ 14為等值面方程 【習(xí)題 解】 求函數(shù) ? = 233xy? 在點(diǎn) M(2,3)處沿曲線 y= 2 1x? 朝 x 增大一方的方向?qū)?shù) 解 : ( 2 ,3 )| 6 | 3 6M xyx?? ??? 22( 2 , 3 )| 3 3 | 1 5M xyy?? ? ? ? ?? 在 L 取一點(diǎn) (x,y) y= 2x 1( 2x? ) 沿 L 的方向的方向余弦為 : 2x? c222os ( 2 ) ( 3 )xxl xy? ????? ? ? ?2 145xx? ?? 223c o s ( 2 ) ( 3 )yyl xy? ????? ? ? ?2 245xxx?? ?? 因?yàn)?0l?? 則 (x,y) ? (2,3) 所以 1cos17?? 4cos17?? 又因?yàn)?coslx ??? ????? cosy ???? ?= 2417? 【習(xí)題 解 2】 求函數(shù) ? = 223xy? 在點(diǎn) M(2,3)處沿曲線 y= 2 1x? 朝 x 增大一方的方向?qū)?shù) 曲線 y 在 M 點(diǎn)沿所取方向的切線斜率為： 4239。 （ 2） 解：在圓柱形坐標(biāo)中，拉普拉斯算子可表示為： 2222 2 211( ) ( )rr r r r z?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1 ()rr r r??＝－ 22cosnn r n??? 2221()r ???＝ 22cosnn r n??? 22z??＝ 0； 2222 2 211( ) ( )rr r r r z?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?＝ 0 ； 滿足拉普拉斯方程； 【習(xí)題 解】 2 3 3 2 22 3 3 2 2232 3 2 2 2 2( ) ( ) ( )( 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2x y zx y zyyxxzzx y zxye e ex y zA x y z e x z e x y ex y z x z x yA y zx y zAA AAAAA e e ey z z x x yx y x e x y z x y e x z x? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?ur u r u r u rur u r u r u rur urur ur u r u r u ru r u r解 ： （ 1 ）3222 2 222)1( 2)c os si nc os c os si n2 c os c os3 c os1c os 2 si nc os 0 si nzrzrzrzry z ee e er r zA r e r er r rA r rr r zre e eA r e r er r zrr??????? ? ?????????? ? ?? ? ? ?? ? ?????? ? ? ? ? ? ????????? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ???????urur u r u r u rur u r u rur uru r u r u rur ur u r u r222222si n11( 3 )si n11si n si n c os1 1 1 1 1( si n ) ( si n si n ) ( c os )si n si n23 si n c ossi n si nRRRree e eR R RA R e e eRRA R RR R R R R RReeeR R RA????????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ????? ? ??urur u ur u r u r