【正文】 z x y zyzx y z? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ， ，a a a a a a a a a。 解 ： 對 zz????r a a 取 散 度， ? ?1 3zz??????? ? ? ? ? ?r，對 rr?ra取 散 度，? ?221 3rrrr?? ? ? ? ??r ，看出對同一位置矢量 r 取 散 度不論選取什么坐標系都應得同一值， 坐標系的選取只是表示形式不同而已。 解 ： 1100zccz? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ，E a a E，由亥姆霍茲定理判定這是電荷源在無源區(qū) ? ?0gq?? 產生的無旋場；將 0?? ?E 與恒等式 ( ) 0u?? ? ? 對比，可知E 與 177。 解 ： F 滿足無旋場的條件為 0?? ?F ，在直角坐標系中表示為 ? ? 03 2 xzx y zy az bx z c y z? ? ? ?? ? ?? ? ? ?ya a a 解得 a=0， b=3 和 c=2。 解 ： 取22 2 2 2 21 1 1 1: 0 0s inr C C c crr r r r r r r r??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?， =F a F F a a，屬 于第一類的無 散 無旋場，由無 旋 性可以引入標量位的梯度來表示； 取 2221r c c crr r r r r? ??? ? ? ? ? ???? ??: ，F a F 1 1 1 0s in rccr r r r? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?F a a，屬于第二類的有 散 無旋場 ，由無旋性可以引入標量位的梯度來表示 ； 取 1:0s inccr r r? ??? ??? ? ? ? ???? ?? ，F a F 1 1 1s ins inr c c crrr r r r r r r r????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?F a a a2 cotr cr ??a ，屬于第三類的無 散 有旋場。由庫 侖 定律和 13 23FF? ， 可寫為 ? ?11 3 2 3 12 2 2 21 3 2 3 1 3 2 32 qq q q q qKKr r r r??， 故 23 ? ； 又 13 r x?? 解得13 ??。由圖可知secR ??? ， tanz ??? 和 2d sec dz ? ? ?? ，得 0cosdd4 lE? ? ? ??? ?? 2200c o s d42llE ?? ??????? ? ?? ????? ，02l? ??? ??Ea 。對圓環(huán)取積分得 ? ? ? ?332 2 2 2220221 , 44zzq z q zE a z a z? ? ? ?????故 Ea 圓環(huán)面中心點處 0z? 知 0?E ，這是由于具有軸對稱的電場強度不僅其徑向分量等值反向，相互抵消，且在 0z? 處無軸向分量。取盤上半徑為 ?? ，寬度為 d?? 的圓環(huán)，環(huán)上電荷密度為 dlS? ? ??? 。 若 S? 保持不變， 當 0a? 時，有 0?E ； 當 a?? 時，有 a?? ，有02S???E 。ES 在區(qū)域 r＜ a : 100S? ??， E ； 在區(qū)域 a＜ r＜ b : 22210144Sr E a? ? ???， 2 12 20 Sr a r???Ea； 在區(qū)域 r＞ b : ? ?2 2 23 1 2022 4 4SSr E a b? ? ? ? ????， ? ?223 1 2201r S Sabr ?????Ea。 S 在區(qū)域 ? ＜ 1: 0 0Sa ? ??， E ； 在區(qū)域 a ＜ ? ＜ 112 002: 2 SSaab ??? ? ??? ? ? ???E a a； 在區(qū)域 ? ＞ ? ?12 123 002: 2 SS SSab abb ??? ? ? ??? ? ? ? ?? ???E a a。 解 ： 兩無限長電流的磁場分布分別具有軸對稱分布，應用安培環(huán)路定理和疊加原理，得 在 y=a 處，1 2z Ia??Ha； 在 y=a 處，2 2x Ia??Ha。 解 ： 對于軸對稱分布，應用安培環(huán)路定理 0dS I???? 209。 解 ： 已知 sinmBt? ??Ba 和 nab?Sa ， 磁通為 1d s in d s in c o s d s in 22m n m mS S SB t S B t t S a b B t?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?B S a a 由法拉第電磁感應定律知 ? ?1 s in 2 c o s 22i n m ma b B t a b B ttt?? ? ? ???? ? ? ? ? ? 當線圈增至 N 匝時，磁通增至 N 倍，有 c o s 2in mN a b B t? ? ??? 。 解 ： 先假設雙線傳輸線為有限長度 2L，導線與 z 軸重合，其中點在原點處。 當 L?? 時 ，利用二項式定理 ? ? ? ?1 1 1n n? ? ?? ? ? =可知 ? ? 121 222 2 1LLl??????? ? ????????? 1L L?????????L ???。 現將平行 于 z 軸的雙線傳輸線分置于 dx z?? 處，可知在 xy 平面上兩電流元離場點的距離為 2 21 2dxy?????? ? ?????????和 2 22 2dxy?????? ? ?????????。 8 解 ： 對于球對稱分布，可由高斯定理求 E 和 D ，再由位場關系求 ? ，而求 P 的公式為 ? ?00 1r? ? ?? ? ? ?P D E E。 解 ： 對于軸對稱分布，可應用安培環(huán)路定理求磁場。 看出上述解與例 中令 0a? 的結果一致。 9 解 ： （ 1） 兩極板上面電荷密度均為S QS??。利用導體表面電場的法向邊界條件式（ ） SnnQS???? ? ? ?E a a 忽略極板邊緣效應，電介質內 E 為常量。 因此，S SQ S Ud?? ????????和 SQC U d???，結果相同。 地球的介電常數取為 0??? ，可得地球電容為 6 396 .5 1 0 0 .7 2 2 1 0 7 2 29 1 0C F F???? ? ? ??。為此，跨過螺線管 一 側作矩形閉合回路，與管長平行一邊的長度為 L，得磁感應強度 00BL nL I B nI????， 磁通和磁通鏈為 200nB S na I n SI? ? ? ? ?? ? ?， =n 單位長度電感 200L n S?? 10 解 ： 設內線圈中通以電流 I1，則管芯中與外線圈交鏈的 磁 通 ，可按 題得磁通 ? ?2112 0 1N aIl? ? ???? ???? 外線圈有 N2匝 ，得磁通鏈 201 2 2 1 2 1 2 11N N N a Il?? ? ??? 互感為 21 2 01 2 1 211nL N N aIl?? ??? 。 解 ： 解法類似于 題，只需將 ? 用 ? 來取代， 即 得 1222 22 1 1 11si n c osHH???????????? ?????? 2211arc ta n ta n??????? ????。由式（ ）和（ ）求得電容器的能量為 ? ?2221211d22eew CUUSw S Udd???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? 由 題知 SC d?? 。 解 ： 參考例 。 解 ： （ 1）利用靜電場量公式 圖 （ a）表示在球內取任一半徑為 r＇ 、 厚度為 dr＇ 的 微分球殼，其體積為 2d 4 dV r r???? ，dV? 內的電荷量為 20d 4 dq r r????? 。rr 12 （ 2）利用靜電位標量公式 將例 的結果改寫為如下形式 ? ?2200022000d d rd SSrr r r rrrr r r rrr???????????? ??????? ???? ??????r ? ?? ?? ?? ?23000230000030220000d 3d 31 34 3arrrar r arrr r arraQrarrErr r a???????? ? ? ??????? ? ??? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ?? ??????。r 解 ： 將載流圓柱腔看作半徑分別為 a 和 b，且電流密度反向的兩圓柱體疊加。B B B a a a a 13 解 ： 在 0y? 和 yd? 處的平行板電容器內的電荷滿足拉普拉斯方程 22 0y?? ?? 通解為 ay b??? 在 0y? 處 0?? ，可知 0b? ，得 ay?? 在 yd? 處 U?? ，可知 Ua d? 得 yUd?? 0||zzS y S y dUydUUdd?????????? ?? ? ? ? ??? ? ?，E a a 故 1Q U S SC U d U d????? ? ?????。 解 ： 按提示進行求解 。首先移去導體板，并代之以相同的媒質空間，在對稱于垂直板相距d1處設置 qq??? ，這將使 垂直 半平面的電位為零，但不能使 水平 半平面的電位為零。為了滿足在兩個平面上都能同 時 滿足零電位的要求，可在同時對稱于兩個正交板相距 d1和 d2處設置 qq???? 。 15 第 4 章 解：（ 1）對于僅由時變磁場穿過靜止單導線圓環(huán)產生的感應電動勢，可以根據ddin t?? ?? 來求解。 解：（ 1） 題已解出0 SC d??，由此得0 0 0s in s inSQ C U C U t U td? ? ?? ? ?，傳導電流為 000d c o s c o sd SUQI C U t ttd??? ? ?? ? ?； （ 2）位移電流為 0 0 0c o s c o sd d dUUDJ t I J S tt d d? ? ? ????? ? ? ?? ， ； （ 3） dII? 。 16 解 ： （ 1）將 A 的解代入方程中各項，得 ? ? ? ?? ? ? ?22222 22222sin c os c ossin c os sin c os sin c osxxxt y t y tyt y t y t y ttt? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ?? ? ? ? ???，xxA r a aA r, a a a 看出方程 得到滿足， A 是齊次方程的解得到驗證。xx y zE A a a aH a a a a a aa 解 ： 設待求 52 1 2 3( ) sin( 2 π 10 )x y zc c c t? ? ? ?H a a a，利用式 (， d)的邊界條件 12t t SH H J??， 12nnBB? 寫出邊界值振幅的分量 1 2 1 2 30 , 0 , 2 x x y y y r z r zc c c??? ? ? ? ? ? a a a a a a a 代入 1 5r?? 和 2 2r? ? ，得 1 1c? ， 2 1c?? 和 3 5c? 。 H l = J S 17 得 2 00002 π π c osc os2UHtdU td????? ? ??? ??????Ha 電 、 磁能量密度為 220002 2 2 2 20000