[中學(xué)教育]1999年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及解答-在線(xiàn)瀏覽
2025-02-24 18:57本頁(yè)面
【正文】 1+28561i］ = ． 8．在 △ ABC 中，記 BC = a ， CA = b ， AB = c ，若 9 a 2 +9 b 2 19 c 2 =0，則ctgBctgActgC? =__________. 解析： ． 10．已知點(diǎn) P 在雙曲線(xiàn) 1916 22 ?? yx 上，并且 P 到這條雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)的距離恰是 P 到這條雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等差中項(xiàng)，那么， P 的橫坐標(biāo)是 _____. 解析： ． 記半實(shí)軸、半虛軸、半焦距的長(zhǎng)分別為 a、 b、 c，離心率為e，點(diǎn) P 到右準(zhǔn)線(xiàn) l 的距離為 d，則 a=4, b=3, c=5, , 右準(zhǔn)線(xiàn) l 為 . 如果 P 在雙曲線(xiàn)右支，則 |PF1|=|PF2|+2a=ed+2a． 從而， |PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a2d， 這不可能；故 P 在雙曲線(xiàn)的左支，則 |PF2||PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d． 兩式相加得 2|PF2|=2a+2d． 又 |PF2|=ed,從而 ed=a+d． 故 . 因此， P 的橫坐標(biāo)為 ． 11．已知直線(xiàn) 0??? cbyax 中的 a , b , c 是取自集合 {3,2,1,0,1,2,3}中的 3個(gè)不同的元素，并且該直線(xiàn)的傾斜角為銳角，那么，這樣的直線(xiàn)的條數(shù)是______. 解析： 43 設(shè)傾斜角為θ，則 tgθ = 0．不妨設(shè) a0，則 b0． (1)c=0,a 有三種取法， b 有三種取法，排除 2 個(gè)重復(fù)(3x3y=0,2x2y=0 與 xy=0 為同一直線(xiàn) )，故這樣的直線(xiàn)有33 2=7 條； (2)c≠ 0 ，則 a 有三種取法， b 有三種取法， c 有四種取法，且其中任兩條直線(xiàn)均不相同，故這樣的直線(xiàn)有 334=36 條． 從而，符合要求的直線(xiàn)有 7+36=43 條． 12．已知三棱錐 S ABC 的底面是正三角形， A 點(diǎn)在側(cè)面 SBC 上的射影 H 是△ SBC 的垂心，二面角 H AB C 的平面角等于 30176。那么三棱錐 S ABC 的體積為
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