立體幾何解題技巧例說-在線瀏覽
2025-02-23 20:06本頁面
【正文】 時(shí)， A′ O取得最小值 6．即當(dāng) DE恰為△ ABC的中位線時(shí)， A′到 BC的距離最小，其值為 6． (五 )立體幾何綜合問題 【例 6】 已知如圖， ABC－ A1B1C1是正三棱柱， D是 AC的中點(diǎn)， (1)求證 AB1∥ 面 DBC1；(2)若 AB1⊥BC 1，求以 BC1 為棱 DBC1與 CBC1為面的二面角的度數(shù)． 點(diǎn)撥： (1)欲證 AB1∥ 平面 DBC1，只需在平面 DBC1內(nèi)找出一條與 AB1 平行的直線即可．由于 D是 AC的中點(diǎn)，就自然要考慮取 BC1的中點(diǎn) E，顯然 DE∥ AB1，問題即可解決． (2)欲求二面角 D－ BC1－ C即二面角α的度數(shù)，則需找出它的平面角，由已知，平面ABC⊥面 B1BCC1，則過 D作 DF⊥ BC，則 DF⊥面 B1BCC1，連接 EF，由條件 AB1⊥BC 1，可證明 DE⊥ BC，再利用三垂線定理 (或內(nèi)定理 )可證出 BC1⊥CF ，即可得二面角α的平面角∠DEF．通過計(jì)算，問題可解決． 解 ： (1)∵ A1B1C1－ ABC 是正三棱柱，∴四邊形 B1BCC1是矩形．連接 B1C交 BC1于 E，則 B1E=EC，連結(jié) DE．在△ AB1C中，∵ AD=DC， ∴ ∥ ，又∵ 平面 ， 平面 ，∴ ∥平面DE AB AB D B C DE D B C AB1 1 1 1? ?DBC1． (2)在面 ABC內(nèi)，過 D 作 DF⊥ BC于 F，則 DF⊥平面 B1BCC1，連接 EF，則 EF是 ED在平面 B1BCC1內(nèi)的射影． ∵ AB1⊥BC 1， ∴ 由 (1)知 AB1∥DE ，∴ DE⊥ BC1，由三垂線逆定理可知 BC1⊥EF ．∴∠DEF 是二面角α的平面角，設(shè)為θ，設(shè) AC=a， 則 ，∵△ 是正三角形．CD = 12 a A B C ∴在 △ 中， ∠ ．Rt D C F DF = DC s in D C F = 34 aCF = DC c o s D C F = 14 a 取 BC的中點(diǎn) G，∵ EB=EC∴ GE⊥ BC． 在 △ 中， ，∴ ．∴ ∠ ∴∠ 176。 點(diǎn)評(píng)： 要善于從不同角度觀察某一幾何體，這是考查空間想象能力的重要方面，把一個(gè)正三棱柱放倒之后，其性質(zhì)是不改變的，如 B1BCC1是矩形，面 ABC⊥面 B1BCC1等，應(yīng)正確識(shí)別． (1)的證明，體現(xiàn)了將證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行的轉(zhuǎn)化思想； (2)的解答，是通過作出二面角的平面角，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何的有關(guān)計(jì)算問 題來解決的． (六 )解立體幾何計(jì)算題的一般方法 1．幾何計(jì)算題的結(jié)構(gòu)是根據(jù)已知的若干幾何量或位置關(guān)系推求另一些幾何量．而已知的位置關(guān)系通常也要轉(zhuǎn)化為幾何量 最基本的幾何量有兩個(gè)：線段和角．其他幾何量或者用線段和角來定義，或者可表示成線段和角．例如，兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到平面的距離其本身就是線段的長；異面直線所成的角，直線與平面所成的角，是直接用角來表述的概念；而求積公式也都可以用線段或角來表示． 由上述可知，幾何計(jì)算題的結(jié)構(gòu)實(shí)為根據(jù)已知的線段和角推算未知的線段和角．為此，解幾何計(jì)算題必須了解和運(yùn) 用由線段和角構(gòu)成的關(guān)系式 (即以線段和角為未知量而構(gòu)成的多元方程 )．滿足這個(gè)需要的基本知識(shí)多是三角形的邊角關(guān)系 (銳角或鈍角的三角函數(shù)，正弦定理，余弦定理等 )．所以，解幾何計(jì)算題的一般方法是，把題中的線段和角 (已知的和未知的 )看成三角形的元素，而后借助于三角形的解法推算出所求的結(jié)果． 所以，解幾何計(jì)算題的過程大多是一連串的解三角形的過程，而解三角形的過程又是解方程 (組 )的過程． 解幾何計(jì)算題的一般方法與解幾何證明題的一般方法一樣，也是從題目自身的特點(diǎn)得出的．由于計(jì)算過程就是推算過程，當(dāng)我們尋求計(jì)算題的已 知條件與未知量的聯(lián)系時(shí)，也要使用綜合法及分析法．
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