求極限的幾種方法__相關(guān)論-在線瀏覽
2025-02-23 12:21本頁(yè)面
【正文】 im 20 xxxx ?? 解： )31ln (0 xx ?? 時(shí)，? ～ x3 ， )arctan( 2x ～ 2x ， ? 原式 = 33lim20 ??? x xxx。??12??178。 微分中值定理 一、 羅爾定理 1. 費(fèi)馬定理 :設(shè) f(x)在 U(x0)內(nèi)有定義 ,且在 x0處可導(dǎo) ,若 ?x0?U(x0),有 f(x)≤ f(x0)[或 f(x)≥ f(x0)], 則 f′( x0)=0. 證明 :不妨設(shè) x?U(x0)時(shí) ,有 f(x)≤ f(x0).則對(duì) x0+?x?U(x0),有 f(x0+?x)≤ f(x0) 即 當(dāng) ?x0 時(shí) , x xfxxf ? ??? )()( 00 ≤ 0。 從而 : f′( x0)= f′ +(x0)=??? 0limx xxfxxf ? ??? )()( 00 ≤ 0。 于是 f′( x0)= 0 2. 羅爾定理 :如果函數(shù) y=f(x)滿足： f(x)?C[??， ??] 1) f(x)在閉區(qū)間 [??， ??]上連續(xù) 2) f(x)在開(kāi)區(qū)間 (??,??)內(nèi)可導(dǎo) 3) f(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等即： ??(??) = ??(??) 那么在（ a， b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ (aξ b),使得 : f′( ξ )=0. 證明 :因?yàn)?f(x)∈ C[??， ??],所以 f(x)在 [??， ??]內(nèi)存在最大值 M和最小值 m. 以下分兩種情形討論 : 1) M= f(x)在 [??， ??]上必然取得相同的值 f(x)=M. 此時(shí)有 f′( x)=0,即 對(duì) ?ξ ∈ (??,??),有 f′( ξ )=0. 2) M f(a)=f(b),所以 M和 m中至少有一個(gè)不等于 f(x)在 [a,b]上的函數(shù)值 .不妨設(shè) :M≠ f(a).則在 (??,??)內(nèi)必有 ξ 使得 f(ξ )=M. 即 ?x?,[??， ??]有 f(x)≤ f(ξ ). 有費(fèi)馬定理得 : f′( ξ )=0. 二、 拉格朗日中值定理 拉格朗日定理 : 如果函數(shù) y=f(x) 1） f(x)在閉區(qū)間 [??， ??]上連續(xù) 2） f(x)在開(kāi)區(qū)間 (??,??)內(nèi)可導(dǎo) 那么在 (??,??)內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ (aξ b),成立等式 : f(b)f(a)=f′( ξ )(ba) 此公式稱為拉格朗日中值公式 . 此公式稱為拉格朗日中值公式 . 定理的幾何解釋 : ab afbf ?? )()( 為弦 AB的斜率 . f′( ξ )為曲線點(diǎn) C處的斜率 . 幾何意義 :如果曲線 y=f(x)在弧 AB 上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線 ,那么在這弧上至少存在一點(diǎn) C,使曲線在 C 點(diǎn)處的切線平行于弦 AB. 輔助函數(shù)的建立 : 有向線段 NM的值是 x的函數(shù) ,記為 φ (x),則顯然有 φ (a)=φ (b)=0. 由于直線 AB的方程為 :L(x)=f(a)+ ab afbf ?? )()( (xa) 又點(diǎn) N、 M 的縱坐標(biāo)分別為 L(x)、 f(x),因此有向線段 NM 的值的函數(shù)為 :φ (x)=f(x)L(x)=f(x)f(a) ab afbf ?? )()( (xa) 此函數(shù)滿足羅爾定理的全部條件 . 證明 :作輔助函數(shù) : φ (x)=f(x)L(x)=f(x)f(a) ab afbf ?? )()( (xa) 則該函數(shù)在 [a,b]內(nèi)滿足羅爾定理的條件 ,從而在
公司管理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1