【正文】 DAEBLL 00???????即，圖中： ?37 ? 例： ? 從表上數(shù)據(jù)看，最大的頻數(shù)是 350，即眾數(shù)組為 700800這一組，分別利用公式來計(jì)算眾數(shù)： 某企業(yè)職工按月工資分組資料表 累積次數(shù) 按月工資分組（元） 職工人數(shù)（人） f 由低到高累積 由高到低累積 400 500 140 140 1500 500 600 190 330 1360 600 700 300 630 1 170 700 800 350 980 870 800 900 260 1240 520 900 1000 200 1440 260 1000 1 100 40 1480 60 1 100 1200 20 1500 20 合計(jì) 1500 — — )260350()300350( 3003507000 ????? ???M)300350()260350( 2603508000 ????? ???M38 ? 課堂練習(xí)： 請指出下面幾組數(shù)據(jù)的眾數(shù)； ? 10個民工的年齡： 15， 19， 35，38， 39， 42， 43， 45， 46， 52； ? 某班 15個學(xué)生的年齡： 19， 19，19， 19， 19， 20， 20， 20， 20， 20，21， 21， 21， 21， 21； ? 某部門 10名員工月工資： 1300，1500， 1800， 1800， 1800， 2100，2100， 2100， 2500， 3000； 39 ? 注意： 眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的影響，從而增強(qiáng)了對變量數(shù)列一般水平的代表性。 ? 眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。在明顯存在極端數(shù)值的情況下，用中位數(shù)比平均數(shù)更能代表總體的一般水平。 41 ? （ 1）未分組資料 ：排序 確定位置（ n +1)/2 （ 其中 n為標(biāo)志值的個數(shù)或總體單位數(shù)） ? 若 n為奇數(shù)項(xiàng)，則居中點(diǎn)位置的數(shù)值即為中位數(shù)； 若 n為偶數(shù)項(xiàng)，則居中的兩個數(shù)值的平均數(shù)為中位數(shù)。例： 某車間工人按產(chǎn)量分組表 累積次數(shù) 按產(chǎn)量分組（件） x 工人數(shù)（人） f 由低到高累積 由高到低累積 159 2 ？ ？？ 162 4 ？ ？？ 167 5 ？ ？？ 169 6 ？ ？？ 171 3 ？ ？？ 173 1 ？ ？？ 合計(jì) 21 ？ ？？ 43 ? 填好數(shù)字的表如下： ? 計(jì)算 ∑f/2=21/2=。 ? 下限公式為： ? 上限公式為： dfsfLMmme12 ?????dfsfUMmme12 ?????45 ? 式中： Me代表中位數(shù)； ? L代表中位數(shù)所在組的下限； ? U代表中位數(shù)所在組的上限； ? d代表中位數(shù)所在組的組距； ? Sm1代表中位數(shù)所在組以下的累積次數(shù)； ? Sm+1代表中位數(shù)所在組以上的累積次數(shù)； ? 請大家先試著證明？ 46 ? 例： ? 第一步：確定中位數(shù)位置 = =1500/2=750；根據(jù)由低到高或由高到低累積次數(shù)，中位數(shù)所在的組為第四組，即 700800這一組； ? 第二步：根據(jù)公式計(jì)算； 某企業(yè)職工按月工資分組資料表 累積次數(shù) 按月工資分組（元） 職工人數(shù)（人） f 由低到高累積 由高到低累積 400 500 140 140 1500 500 600 190 330 1360 600 700 300 630 1 170 700 800 350 980 870 800 900 260 1240 520 900 1000 200 1440 260 1000 1 100 40 1480 60 1 100 1200 20 1500 20 合計(jì) 1500 — — 2?f47 ? 如果根據(jù)下限公式： ? 如果根據(jù)上限公式： 35063075070021??????????dfsfLMmme35052075080021??????????dfsfUMmme48 ? 課堂作業(yè)： 某地區(qū)抽樣調(diào)查職工家庭收入資料如下： 按平均每人月收入分組（元） 職工戶數(shù) 100 200 6 200 300 10 300 400 20 400 500 30 500 600 40 600 700 240 700 800 60 800 900 20 試根據(jù)上述資料計(jì)算職工家庭平均每人月收入（用算術(shù)平均數(shù)公式），并計(jì)算確定中位數(shù)和眾數(shù)； 49 ? 注意： 中位數(shù)也是一種位置平均數(shù)，它也不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。（同算術(shù)平均數(shù)比較） 對某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可以用中位數(shù)求其一般水平。元 )(900)10 002700(31)2(3100MMXXMMee?????????一組工人的月收入眾數(shù)為 700元，月收入的算術(shù)平均數(shù) 為 1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是： 例 均指標(biāo)只能適用于同質(zhì)總體。（例子） 五、平均指標(biāo)的運(yùn)用原則 某生產(chǎn)小組基期有工人 15人，報(bào)告期人數(shù)增加到 30人，兩時期各技術(shù)等級的工人數(shù)和工資總額如下 ?在下表中，每一級工的工資都漲了，但總平均工資卻下降了！ 級別 基 期 報(bào) 告 期 工人數(shù) (人 ) 比重 (%) 工資總額 (元 ) 平均工資 (元 ) 工人數(shù) (人 ) 比重 (%) 工資總額 (元 ) 平均工資 (元 ) 二級工 2 1000 500 16 9600 600 四級工 8 7200 900 10 10000 1000 七級工 5 7500 1500 4 6800 1700 合計(jì) 15 15700 1047 30 26400 880 例 某工業(yè)部門 100個企業(yè)年度利潤計(jì)劃完成程度資料如下： 按計(jì)劃完成程度分組 (%) 企業(yè)數(shù) 85 2 90 8 95 10 40 30 10 合 計(jì) 100 經(jīng)計(jì)算， 100個企業(yè)年度平均利潤計(jì)劃完成程度為 ％。 ? 二、意義：平均指標(biāo)是反映總體一般水平的綜合指標(biāo)，掩蓋了總體各單位標(biāo)志值的數(shù)量差異，而變異指標(biāo)反映總體內(nèi)各個觀察值之間差異程度，可以說明標(biāo)志值的分散程度，還可以說明平均指標(biāo)代表性的大小。 ? 三、作用： 標(biāo)志變動度是評價(jià)平均數(shù)代表性的依據(jù) 。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。 ? 計(jì)算（ 1）未分組或單項(xiàng)分組資料 （見例 1） ： R=最大標(biāo)志值 最小標(biāo)志值 （ 2）組距式分組資料 ： 僅限于首末兩組為閉口組，而且計(jì)算出來的全距要比實(shí)際全距大一些 （見例 2） ： R=末組上限 首組下限 ? 局限： 由于極差是根據(jù)總體的極端變量值計(jì)算的，沒有考慮中間變量值的變動情況，所以不能全面反映總體各個變量值的離散程度。在實(shí)際中，僅限于檢查產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性等，應(yīng)用范圍很小。 63 ? 例 1：有兩個學(xué)習(xí)小組的學(xué)習(xí)成績分別為： ? 甲組： 60 70 80 90 100 ? 乙組： 78 79 80 81 82 ? 兩組的平均成績都是 80分，通過平均成績的計(jì)算看不出兩組學(xué)生的成績差別，但計(jì)算全距： ? R甲 =10060=40分，而 R乙 =8278=4分，因此通過全距的計(jì)算，可以判定：乙組的平均成績更能代表乙組學(xué)生的成績水平； 64 ? 例 2：給定下列數(shù)據(jù)： ? 根據(jù)未分組資料計(jì)算全距： ? R=最大標(biāo)志值 最小標(biāo)志值 =139107=32 ? 對上面數(shù)據(jù)進(jìn)行組距分組的方法？ 1 17 122 124 129 139 107 1 17 130 122 125 108 131 125 1 17 122 133 126 122 1 18 108 1 10 1 18 123 126 133 134 127 123 1 18 1 12 1 12 134 127 123 1 19 1 13 120 123 127 135 137 1 14 120 128 124 1 15 139 128 124 121 65 ? 第一步：對數(shù)值進(jìn)行大小排序； ? 第二步：確定全距： 139107=32； ? 第三步：用經(jīng)驗(yàn)公式確定組數(shù) : ? m=1+lg50/lg2（ 約） =7 ? 第四步：確定組距： =全距 /組數(shù) =32/7 （約）=；為便于計(jì)算統(tǒng)計(jì)，也為了與組限的確定（以尾數(shù) 5或 0）銜接，確定組距為 5； ? 第五步：確定組限；第一組的下限應(yīng)低于最小變量值（本例中為 107），故第一組的下限取為 105；最后一組的上限應(yīng)大于最大變量值（本例中為 139），故最后一組的上限取為 140； 66 ? 組距分組的結(jié)果如下： ? 根據(jù)組距分組結(jié)果運(yùn)用公式計(jì)算： ? 全距 =末組上限 首組下限 =140105=35 按零件數(shù)分組（個） 頻數(shù) 頻率（ % ） 105 110 3 6 110 115 5 10 115 120 8 16 120 125 14 28 125 130 10 20 130 135 6 12