【正文】 均數(shù) 1 2 112112KikiKk iik imm m mHmmm mx x x x??? ? ???? ? ??? ? 在實(shí)際工作中，調(diào)和平均數(shù)通常是作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用的，也就是由于受所掌握資料的限制，有時(shí)不能直接采用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算平均數(shù)，這就需要使用調(diào)和平均數(shù)的形式進(jìn)行計(jì)算。 ? 某商品有三種不同的規(guī)格 ， 銷售單價(jià)與銷售量如表 ， 求這三種不同規(guī)格商品的平均銷售單價(jià) 。 某商品三種規(guī)格的銷售數(shù)據(jù) 根據(jù)表給出的原始數(shù)據(jù)（三種規(guī)格的銷售單價(jià)與銷售額）計(jì)算平均價(jià)格時(shí)，就無法直接采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)形式。 ? 這與采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式的計(jì)算結(jié)果完全相等。在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可掌握這樣的原則，當(dāng)計(jì)算算術(shù)平均數(shù)其分子資料未知時(shí)，就采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)，分母資料未知時(shí)，就采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)。 計(jì)劃 產(chǎn)值 某車間各班組工人勞動(dòng)生產(chǎn)率和實(shí)際產(chǎn)量資料如下： 班組 勞動(dòng)生產(chǎn)率 實(shí)際產(chǎn)量 (件 工時(shí) ) (件 ) 一 10 1000 二 12 2400 三 15 4500 四 20 6000 五 30 6000 合計(jì) — 19900 例 題 二 要求：計(jì)算五個(gè)班組工人的平均勞動(dòng)生產(chǎn)率。在實(shí)際中，往往由于缺乏總體單位數(shù)的資料而不能直接計(jì)算算術(shù)平均數(shù)，故需用調(diào)和平均法來求得平均數(shù)。 ? 含義：是分布數(shù)列中 n個(gè)變量值連乘積的 n次方根。幾何平均數(shù)常用來計(jì)算平均比率和平均速度。 ? 顯然對這樣的問題不能用算術(shù)平均的辦法來計(jì)算，因?yàn)榧偃缭摦a(chǎn)品投入 100只，經(jīng)過第一道工序后僅有 92只進(jìn)入第二道工序（ 100 92%=92只），類推可知，最后成品的合格率只有 92% 95% 90%=%，如將各工序的產(chǎn)品合格率視為變量 x（各單位標(biāo)志值），最后成品的合格率即為標(biāo)志總量，它是變量 x的連乘積。請問此 5年內(nèi)該地平均儲(chǔ)蓄年利率。 ? 用環(huán)比指數(shù)計(jì)算的幾何平均易受最初水平和最末水平的影響。 五、 眾 數(shù) 眾數(shù)是現(xiàn)象總體中最普遍出現(xiàn)的標(biāo)志值。 （ 2）由組距數(shù)列確定眾數(shù) 步驟 ：① 找出眾數(shù)所在的組 ② 根據(jù)公式計(jì)算眾數(shù) 公式： = + mo 下限 +組距 眾數(shù)組次數(shù) — 眾數(shù)組前一組次數(shù) 眾數(shù)組與前一 組次數(shù)之差 眾數(shù)組與后一 組次數(shù)之差 眾數(shù)： 指總體單位中，標(biāo)志值出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值。 （一）單項(xiàng)式數(shù)列的眾數(shù)確定： 統(tǒng)計(jì)分組以后找出出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值即可。 ? 出現(xiàn)次數(shù)最多或頻率最大的那個(gè)變量值即為眾數(shù)。 或?yàn)椋? 式中： M0 眾數(shù)； L眾數(shù)組的下限； d1 眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差； d2 眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差； i眾數(shù)組的組距 。 下限公式： iLM o ???? ???211 L：眾數(shù)組的下限 Δ1 ：眾數(shù)組次數(shù)與下一組次數(shù)之差 Δ2 ：眾數(shù)組次數(shù)與上一組次數(shù)之差 I：眾數(shù)組的組距 上限 公式： iUM o ???? ???212? 某地家庭收入的組距資料： 農(nóng)民家庭按年人均純收入分組（元） 農(nóng)民家庭數(shù)（戶） 1000~1200 1200~1400 1400~1600 1600~1800 1800~2022 2022~2200 2200~2400 2400~2600 240 480 1050 600 270 210 120 30 合 計(jì) 3000 iL dd dM ????2110例 現(xiàn)檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時(shí)間，得到資料如下表所示： 耐用時(shí)間 產(chǎn)品個(gè)數(shù)（個(gè)） 600以下 84 600800 161 8001000 244 10001200 157 12001400 36 1400以上 18 合計(jì) 700 101211283800 200 897 .6583 8787100 0 200 897 .6583 87oM L iM U i?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?＝ ＝ ＝ （ 小 時(shí) ）或 者 ：＝ ＝ （ 小 時(shí) ）? 眾數(shù)位于第三組 ? L=800 U=1000 i=1000800=200 ? ＝ 244161＝ 83 ＝ 244157＝ 87 1? 2?也可以作圖求解眾數(shù) 0501001502002503006 0 0 以下 600800 8001000 10001200 12001400 1 4 0 0 以上耐用時(shí)間產(chǎn)品個(gè)數(shù)M0= 方法 :即先畫相鄰三組次數(shù)分布直方圖 ,然后連接相鄰兩組次數(shù)差的 對角線 ,再以對角線的交點(diǎn)向 x軸引一條垂線 ,它與 X軸的交點(diǎn)即為眾數(shù) . 例 2022年某地大學(xué)生消費(fèi)支出調(diào)查資料 月消費(fèi)額 組中值（元） 調(diào)查人數(shù)（人） 較小制累計(jì) 較小制累計(jì) 300以下 300~400 400~500 500~600 600~700 700以上 250 350 450 550 650 750 80 180 430 220 70 20 80 260 690 910 980 1000 1000 920 740 310 90 20 合 計(jì) —— 1000 —— —— ? ? ? ? ? ? 180430400 ????? ???oM? ? ? ? ? ? 220430500 ????? ???oM下限公式： 上限公式： ? 眾數(shù)的應(yīng)用特點(diǎn) ? (1)眾數(shù)不受極端數(shù)值和開口組的影響，而且計(jì)算方便。 ? (3)有時(shí)分布數(shù)列中會(huì)出現(xiàn)雙眾數(shù)和多眾數(shù)，難以反映總體的一般水平。 眾數(shù)可能不存在。 中 位 數(shù) 的 計(jì) 算 方 法 （ 1）根據(jù)未分組資 料計(jì)算中位數(shù) 步驟： ①將資料按大小順序排列 ② 計(jì)算中位數(shù)的位次： + 1 2 n ③ 確定中位數(shù) （ 2）根 據(jù) 單 項(xiàng) 數(shù) 列計(jì)算中位數(shù) 步驟： ①計(jì)算數(shù)列的中間位置點(diǎn) ： f + 1 2 ∑ ② 計(jì)算累計(jì)次數(shù)找出中位數(shù)所在的組 ③ 確定中位數(shù) 六、 中 位 數(shù) 中位數(shù)（ Me）： 把總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列后，處于中點(diǎn)位次的標(biāo)志值就是中位數(shù)。 如：某班組９個(gè)工人生產(chǎn)的某種零件，按日產(chǎn)量順序排列如下： 16， 17， 18， 20， 20， 22 ， 23， 23， 25 則中位數(shù)是第 5項(xiàng)對應(yīng)的數(shù)據(jù)，為 20件。 則中位數(shù)為： 26歲 總體單位數(shù)為偶數(shù)時(shí)： 中位數(shù)是第 n/2 項(xiàng)和第（ n+1） /2 項(xiàng)兩個(gè)標(biāo)志值的平均數(shù) 如例中去掉 24，則中位數(shù)是第 4項(xiàng)和第 5項(xiàng)標(biāo)志值 26和27的平均數(shù) (26+27)247。 ? ②假定在中位數(shù)組內(nèi)的各單位是均勻分布的，計(jì)算中位數(shù)的近似值： ??????????????212221fffxxxMe??為偶數(shù)當(dāng)為奇數(shù)當(dāng)ff2?f下限公式： 上限公式： ifsfLMmme ??????12ifsfUMmme ??????12? 還用 2022年某地大學(xué)生消費(fèi)支出調(diào)查資料： 中位數(shù)的位置為 1000/2 = 500，可知月消費(fèi)金額位居第500位的學(xué)生在月消費(fèi)額 400— 500元這個(gè)組，中位數(shù)為： 43026021 0 0 0400 ?????eM? 中位數(shù)的應(yīng)用特點(diǎn) ? (1)中位數(shù)處于頻數(shù)分布的中點(diǎn)，總體中有一半單位的標(biāo)志值大于中位數(shù)，另一半單位的標(biāo)志值小于中位數(shù)。 ? (2)中位數(shù)的測定要將變量值按大小順序排列，如果資料不全時(shí)就無法確定。 （ 3）根據(jù)組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù) 步驟 ： ①計(jì)算數(shù)列的中間位置點(diǎn) : ② 計(jì)算累計(jì)次數(shù)，找出中位數(shù)所在的組 ③ 用公式計(jì)算中位數(shù) 2 ∑ f 公式： 中位數(shù) = 下限 +組距 中間位置點(diǎn) — 中位數(shù)組次數(shù) 眾數(shù)和中位數(shù)的主要特點(diǎn)： 不受極端變量值的影響 中位數(shù)組前一組 累計(jì)次數(shù) 例 現(xiàn)檢測某廠生產(chǎn)的一批電子產(chǎn)品的耐用時(shí)間，得到資料如下表所示： 耐用時(shí)間 產(chǎn)品個(gè)數(shù) 累計(jì)次數(shù) 以下累計(jì) 以上累計(jì) 600以下 84 84 700 600800 161 245（ Sm1) 616 8001000 244(fm) 489 455 10001200 157 646 211 （ Sm+1) 12001400 36 682 54 1400以上 18 700 18 合計(jì) 700 － － 1170035022800 10002452200 2442112200 244mmemmemfOfSM L iffSM U if?????? ? ????? ? ? ???? ? ? ?中 位 數(shù) 位 置 ：中 位 數(shù) 在 第 三 組 ， 即 小 時(shí) 之 間代 入 公 式 得 ：7002＝ 800+ ＝ （ 小 時(shí) ）7002＝ 1000 ＝ （ 小 時(shí) ）五、計(jì)算和應(yīng)用平均數(shù)的原則 ? 一、只能在同質(zhì)總體中計(jì)算。 ? 三、平均數(shù)必須同絕對數(shù)和具體事例結(jié)合應(yīng)用。其中 L=1600，Sm1=10+16=26,fm=35,i=100，下限公式：Me=L+ （ ∑f/2 Sm1） i/ fm=1600+（ 5026） 100/35=（元） 上限公式 Me=U（ ∑f/2 Sm+1） i/fm =1700（ 5039） 100/35 =（元） 算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) 三者之間 的關(guān)系 正態(tài)分布 右向偏態(tài) 左向偏態(tài) xeM xOM0MMx e ??eO MMx ??OMeM0MMx e ??眾數(shù)、中位