論文：淺談一元二次方程的整數(shù)根問題-在線瀏覽
2025-08-08 00:01本頁面
【正文】 266=229 ∴ x1=17, x2=59. ∴ k=x1+x2=76 又⊿ =25k220(66k1)=25 76220 (66 761)=21020 ∴ k=76 為所求。 ? 利用因式分解：如果 整系數(shù) 一元二次方程 ax2+bx+c=0 有整數(shù)根，那么可將方程左邊部分因式分解，轉(zhuǎn)化為： (a1x+b1)(a2x+b2)=m,其中a1,a2,b1,b2,m 為整數(shù)。 例 設(shè) a為整數(shù)，若存在整數(shù) b,c使 (x+a)(x15)25=(x+b)(x+c).求 a 的值。 5） (177。 1) (177。 25) (177。 5,177。 25 ； x+a=177。 25,177。 ? 有時還用到如下方法：變換主元，綜合利用判別式、韋達(dá)定理、整數(shù)的整除性、同余等知識對二次方程的整數(shù)根進(jìn)行分析討論 。 解 ：∵ a 為正整數(shù)，∴ a? 1 ,將原方程變形得： 53 a=2(x+6)(x+2)2? 1 ① 解 得： ?????4? x? 2 x≠ 2 將 x=4,3,2,177。 說明：如果在一個含參數(shù) a 的一元二次方程中，變換主元后，關(guān)于 a 的方程是一次方程時，可考慮使用上述方法先估計出整數(shù)根 x 的范圍，再確定 a 的值；當(dāng)關(guān)于 a 的方程是二次方程時，如果能用十字相乘法分解因式，也可作類似處理。 解 ：設(shè)方程的兩根為 x1,，得： ????? x1+x2=pq0 x1x2=p+q0 又∵方程有整數(shù)根，故 x1,x2均為正整數(shù)， 又 p,q 為正整數(shù)。 綜上所述 ：正整數(shù) p,q 的值為： ?????p=2q=3 ?????p=3q=2 ?????p=1 q=5 ????? p=5q=1 ?????p=2q=2 實(shí)系數(shù)一元二次方程整數(shù)根問題的解法 ： 實(shí)系數(shù)一元二次方程有一個整數(shù)根時，其另一個根可以是整數(shù)，有理分?jǐn)?shù)，也可以是無理數(shù)。 ? 利用 x+y N =0( N 為無理數(shù)， x,y 為有理數(shù) )?x=y=0 例 已知方程 x2( 3 +1)x+ 3 a6=0 有整數(shù)根，求整數(shù) a 的值。 ) ? 利用判別式估計整數(shù)根的范圍 。 解 ：顯然， a≠ 0,設(shè) x0是方程的整數(shù)根， 則關(guān)于實(shí)數(shù) a 的方程： (x027)a2x0a+1=0 有實(shí)根
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