論文：淺談一元二次方程的整數(shù)根問題-資料下載頁
2025-06-05 00:01本頁面
【正文】 1=23 5q+1=2 52 解得： ????? p=3q=499 ????? p=7q=249 ????? p=9q=199 ?????p=19q=99 ?????p=39 q=49 其中 均為質(zhì)數(shù)的解為： ????? p=3q=499 代入 ① 得： k2+ak+502=0 ④ 56 依題意，方程 ④ 有惟一解 ,∴⊿ =a24 502=0 即 a=2 502 （負(fù)值舍去）， 經(jīng)驗(yàn) 證， a=2 502 為所求。 ? 變換主元，綜合利用判別式、韋達(dá)定理、整數(shù)的整除性等知識 。 例 已知方程 (a1)x2(a2+a+1)x+2a2+a=0 ① 有整數(shù)根，求實(shí)數(shù) a 的值； ② 有兩整數(shù)根，求實(shí)數(shù) a 的值； ③ 恰有一個整數(shù)根，求實(shí)數(shù) a 的值。 解：視 a 為主元， x 為參數(shù)，則原方程變?yōu)椋?x2)a2(x2x+1)a+x(x+1)=0 分解因式，得： (ax)[(x2)a(x+1)]=0 ∴ 當(dāng) x=2 時， a=2； 當(dāng) x≠ 2 時， a=x 或 a=x+1x2 ①當(dāng)原方程有整數(shù)根 t 時，實(shí)數(shù) a 的值為： a=t 或 a=t+1t2 ,(t≠ 2) ② 當(dāng)原方程有兩整數(shù)根 x1,x2時，則 a=x1且 a=x2+1x22 .(x2≠ 2)消去 a,得： x1=x2+1x22 , x1=1+ 3x22 ∵ x1,x2是整數(shù)，∴ x22|3 ∴ x22=177。 1,177。 3. ∴ x2=3,1,5,1； x1=4,2,2,0 故當(dāng) a=4,2,2,0 時，原方程有兩整數(shù)解。 ③ ∵當(dāng) a 為整數(shù)時，原方程恒有整數(shù) 解 x=a,∴當(dāng) a 取不等于 4， 2， 2，0 的整數(shù)時，原方程恰有一個整數(shù)根 a. 又當(dāng) a 不是整數(shù)時，由 ① 知當(dāng) a=t+1t2（ t 取不等于 2， 5， 3， 1， 1 的整數(shù)）時，原方程恰有一個整數(shù)根 x=t. 綜上所述：當(dāng) a 取不等于 4， 2， 2， 0 的整數(shù)或 a=t+1t2，其中 t 為整數(shù) 57 且 t≠ 2,5,3,1,1 的數(shù)時，原方程恰有一個整數(shù)根。 注：該文是漣源市伏口中心學(xué)校教師闕昌福指導(dǎo)學(xué)生闕詩琴寫作。
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