論文：淺談一元二次方程的整數(shù)根問題(編輯修改稿)
2025-07-11 00:01 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 +x2)? 0 ∴ (x12)(x22)? 4 不妨設(shè) x1? x2,則 x12? 2, ∴ x1? 4 ∴ x1的可能值為 1,2,3,4. 又 x12pqx1+p+q=0, ∴ x12=pqx1pq ∴ x13=pqx12px1qx1 ∴ x13+1=pqx12(p+q)x1+1 ∴ (x1p1)(x1q1)=x13+1 不妨設(shè) p? q， 當 x1=1 時，有： (p1)(q1)=2 ∴ ?????p1=1q1=2 ∴ ?????p=2q=3 當 x1=2 時，有 :(2p1)(2q1)=9 ∴ ?????2p1=12q1=9 或 ?????2p1=32q1=3 解得： ????? p=1 q=5 或 ?????p=2q=2 當 x1=3 時，有 :(3p1)(3q1)=28=2 14, 注意到 3p1≡ 3q1≡ (1)(mod3), 3p1? 1,3q1? 1 ∴ ????? 3p1=23q1=14 解 54 得 :?????p=1q=5 當 x1=4 時，有 :(4p1)(4q1)=65 ∵ 65 無 4k1 的因數(shù)，∴無整數(shù)解。 綜上所述 ：正整數(shù) p,q 的值為： ?????p=2q=3 ?????p=3q=2 ?????p=1 q=5 ????? p=5q=1 ?????p=2q=2 實系數(shù)一元二次方程整數(shù)根問題的解法 ： 實系數(shù)一元二次方程有一個整數(shù)根時，其另一個根可以是整數(shù)，有理分數(shù)，也可以是無理數(shù)。因此，不要誤認為實系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，就是兩根為整數(shù)。 ? 利用 x+y N =0( N 為無理數(shù)， x,y 為有理數(shù) )?x=y=0 例 已知方程 x2( 3 +1)x+ 3 a6=0 有整數(shù)根，求整數(shù) a 的值。 解 ：設(shè) x0為方程的整數(shù)根，則 x02( 3 +1)x0+ 3 a6=0 整理，得： (x02x06)+(ax0) 3 =0 ∵ a,x0為整數(shù)，∴上式等價于 : ?????x02x06=0ax0=0 解得： x0=2 或 3， 從而 a=x0=2 或 3. (說明：把題中的“整數(shù)”改為“有理數(shù)”，結(jié)論不變。 ) ? 利用判別式估計整數(shù)根的范圍 。 例 已知方程
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