線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)匯總-在線瀏覽
2025-06-06 02:47本頁面
【正文】 為 0。線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)匯總 線性代數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 1 行列式 （一）行列式概念和性質(zhì) 逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù) 行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和 行列式性質(zhì)：（用于化簡行列式） （ 1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變 （ 2）兩行（列）互換，行列式變號 （ 3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù) k乘此行列式 （ 4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。 （ 5）一行（列）乘 k加到另一行（列），行列式的值不變。 （二）重要行列式 上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積 副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘 Laplace展開式：（ A是 m階矩陣， B是 n階矩陣），則 n 階（ n≥ 2）范德蒙德行列式 數(shù)學(xué)歸納法證明 ★ 對角線的元素為 a，其余元素為 b的行列式的值： （三）按行（列）展開 按行展開定理： （ 1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值 （ 2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于 0 （四）行列式公式 行列式七大公式： （ 1） |kA|=kn|A| （ 2） |AB|=|A| 2 矩陣 （一）矩陣的運(yùn)算 矩陣乘法注意事項(xiàng)： （ 1）矩陣乘法要求前列后行一致； （ 2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若 B=E,O,A1， A*,f(A)時(shí)，可以用交換律） （ 3） AB=O不能推出 A=O或 B=O。 A1 (k≠ 0) （ 2）（ AB） 1=B1 初等變換與初等矩陣的性質(zhì)： （ 1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣 （ 2）初等矩陣均為可逆矩陣，且 Eij1=Eij（ i， j兩行互換）； Ei1（ c） =Ei（ 1/c）（第 i行（列）乘 c） Eij1（ k） =Eij（ k）（第 i行乘 k加到 j） ★（四）矩陣的秩 秩的定義：非零子式的最高階數(shù) 注：（ 1） r（ A） =0 意味著所有元素為 0，即 A=O （ 2） r（ An n） =n（滿秩）←→ |A|≠ 0 ←→ A 可逆； r（ A）＜ n←→ |A|=0←→ A不可逆； （ 3） r（ A） =r（ r= …、 n1）←→ r 階子式非零且所有 r+1子式均為 0。 B）≤ r（ A）177。 A ★（ 8） r（ A*） =n （ r（ A） =n）； r（ A*） =1 （ r（ A） =n1）； r（ A*） =0 （ r（ A）＜ n1） （六）分塊矩陣 1分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。 1 （二）線性組合和線性表示 線性表示的充要條件： 非零列向量β可由α 1，α 2，…，α s線性表示 (1)←→非齊次線性方程組（α 1，α 2，…，α s）（ x1， x2，…，xs） T=β有解。 線性表示的求法：（大題第二步） 設(shè)α 1，α 2，…，α s線性無關(guān)，β可由其線性表示。 （ 2）若 n維列向量α 1，α 2，α 3 線性無關(guān)，β 1，β 2，β 3 可以由其線性表示，即（β 1，β 2，β 3） =（α 1，α 2，α 3） C，則 r（β 1，β 2，β 3） =r（ C），從而線性無關(guān)。 C=（α 1，α 2，…，α n） 1（β 1，β 2，…，β n） 1坐標(biāo)變換公式： 向量γ在基α 1，α 2，…，α n與基β 1，β 2，…，β n 的坐標(biāo)分別為 x=（ x1， x2，…， xn） T， y=（ y1， y2，…， yn） T，即γ =x1α 1 + x2α 2 + … +xnα n =y1β 1 + y2β 2 + … +ynβ n，則坐標(biāo)變換公式為 x=Cy或 y=C1x。 C=（α 1，α 2，…，α n） 1（β 1，β 2，…，β n） （六） Schmidt正交化 1 Schmidt正交化 設(shè)α 1，α 2，α 3 線性無關(guān) （ 1）正交化 令β 1=α 1 （ 2）單位化 4 線性方程組 （一）方程組的表達(dá)形與解向量 解
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